高考数学总复习 第五单元 第八节 正、余弦定理的应用举例课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第八节,正、余弦定理的应用举例,解斜三角形,已知,ABC,中，三个内角,A,，,B,，,C,，对应三边长分别为,a,，,b,，,c,.,a,x,，,b,2,，,B,45.,若该三角形有两解，求,x,的取值范围,分析,要使三角形有两解，即角,A,有两解，由于,B,45,，所以,A,B,，角,A,有满足条件的锐角和钝角两种情形,解,根据正弦定理 ，,x,2 sin,A,.,三角形有两解，而且,45,B,A,，,45,A,135,，,A,90,，,sin,A,1,，,2,x,2,，,x,的取值范围为,(2,2 ),规律总结,在应用正弦定理和余弦定理解斜三角形时，有可能出现无解、一解、两解的情形解的个数，需要依据三角形的性质进行判断常用的三角形的性质有：大角对大边，三角形的构成条件等,变式训练,1,在,ABC,中，,A,、,B,的对边分别是,a,、,b,，且,A,30,，,a,2,，,b,4,，那么满足条件的,ABC,(,),A,有一个解,B,有两个解,C,无解,D,不能确定,【,解析,】,由 ，得,sin,B,.,又,b,a,，,B,A,，故有两解故选,B.,【,答案,】,B,正、余弦定理在平面几何问题中的应用,如图所示，,A,、,B,是圆,O,上的两点，点,C,是圆,O,与,x,轴正半轴的交点，已知,A,(,3,4),，且点,B,在劣弧,CA,上，,AOB,为正三角形,(1),求,cos,COA,的值；,(2),求,|,BC,|,的值,分析,(1),用余弦函数的定义求解,(2),借助,(1),的结论，用余弦定理解三角形可求边长,解,(1),由题意可知：,x,3,，,y,4,，且圆半径,r,|,OA,|,5,，根据三角函数的定义,cos,COA,.,(2),在,BOC,中，,|,BC,|,2,|,OB,|,2,|,OC,|,2,2|,OB,|,OC,|cos,BOC,25,25,50cos,BOC,50,50cos,BOC,.,又,cos,COA,，,sin,COA,，,cos,BOC,cos,cos,COA,sin,COA,，,|,BC,|,2,50,5(4,3),65,20,，,|,BC,|,2,规律总结,解决平面几何中的长度、面积和角度问题，经常需要借助正余弦定理寻找解题途径，这是正余弦定理的重要应用之一,变式训练,已知圆内接四边形,ABCD,的边长分别为,AB,2,，,BC,6,，,CD,DA,4,，求四边形,ABCD,的面积,【,解析,】,如图所示，连接,BD,，则有四边形,ABCD,的面积：,S,S,ABD,S,CDB,AB,AD,sin,A,BC,CD,sin,C,.,A,C,180,，,sin,A,sin,C,，,S,(,AB,AD,BC,CD,)sin,A,(24,64)sin,A,16sin,A,.,由余弦定理，在,ABD,中，,BD,2,AB,2,AD,2,2,AB,AD,cos,A,20,16cos,A,.,在,CDB,中，,BD,2,CB,2,CD,2,2,CB,CD,cos,C,52,48cos,C,，,20,16cos,A,52,48cos,C,，,cos,C,cos,A,，,64cos,A,32,，,cos,A,.,又,0,A,180,，,A,120,，,S,16sin120,8 .,运用正、余弦定理解决测量问题,如图所示，甲船以每小时,30,海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于,A,1,处时，乙船位于甲船的北偏西,150,方向的,B,1,处，此时两船相距,20,海里；当甲船航行,20,分钟到达,A,2,处时，乙船航行到甲船的北偏西,120,方向的,B,2,处，此时两船相距,10,海里问：乙船每小时航行多少海里？,分析,根据已知条件判断,A,1,A,2,B,2,的性质先计算,A,1,A,2,与,A,1,A,2,B,2,的大小，可以发现,A,1,A,2,B,2,是等边三角形在,A,1,B,2,B,1,中，求,B,1,B,2,的长度，最后求乙船的速度,解,如图所示，连接,A,1,B,2,，由已知,A,2,B,2,10,，,A,1,A,2,30 ,10,，,A,1,A,2,A,2,B,2,.,又,A,1,A,2,B,2,180,120,60,，,A,1,A,2,B,2,是等边三角形，,A,1,B,2,A,1,A,2,10 .,由已知，,A,1,B,1,20,，,B,1,A,1,B,2,105,60,45,，,在,A,1,B,2,B,1,中，由余弦定理，,B,1,B,2,2,A,1,B,1,2,A,1,B,2,2,2,A,1,B,1,A,1,B,2,cos45,202,(10 )2,22010 ,200,，,B,1,B,2,10 .,因此，乙船的速度为,60,30 (,海里,/,小时,),规律总结,解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角通常会遇到两种情况：已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理；已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解,变式训练,3,(2010,福建高考,改编,),某港口,O,要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口,O,北偏西,30,且与该港口相距,20,海里的,A,处，并正以,30,海里,/,小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以,v,海里,/,小时的航行速度匀速行驶，经过,t,小时与轮船相遇,(1),若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？,(2),为保证小艇在,30,分钟内,(,含,30,分钟,),能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值,【,解析,】,(1),设相遇时小艇的航行距离为,S,海里，则,S,，,故当,t,时，,S,min,10,，,v,30,，,即小艇以,30,海里,/,小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小,(2),设小艇与轮船在,B,处相遇，如图所示,由题意可得：,(,vt,),2,20,2,(30,t,),2,22030,t,cos(90,30),，化简得：,利用正、余弦定理研究实际问题中的几何图形,(12,分,),如图所示，某住宅小区的平面图呈扇形,AOC,.,小区的两个出入口设置在点,A,及点,C,处，小区里有两条笔直的小路,AD,、,DC,，且拐弯处的转角为,120.,已知某人从,C,沿,CD,走到,D,用了,10,分钟，从,D,沿,AD,走到,A,用了,6,分钟若此人步行的速度为每分钟,50,米，求该扇形的半径,OA,的长,(,精确到,1,米,),分析,可以考虑两种办法：其一，设出半径,r,，在,CDO,中，用余弦定理得方程，从中解得,r,；其二，在,ADC,中，用余弦定理求,AC,，再作,OH,AC,交,AC,于,H,，在,R,t,OHA,中求半径,OA,.,解,方法一：设该扇形的半径为,r,米由题意，得,CD,500(,米,),，,DA,300(,米,),，,CDO,60.4,分,在,CDO,中，,CD,2,OD,2,2,CD,OD,cos60,OC,2,，,6,分,即,5002,(,r,300)2,2500(,r,300),r,2,，,9,分,解得,r,445(,米,).12,分,方法二：如图，连接,AC,，作,OH,AC,交,AC,于,H,.2,分,由题意，得,CD,500(,米,),，,AD,300(,米,),，,CDA,120.4,分,在,ACD,中，,AC,2,CD,2,AD,2,2,CD,AD,cos120,5002,3002,2500300,7002,，,AC,700(,米,),，,6,分,cos,CAD,.9,分,在,Rt,AHO,中，,AH,350(,米,),，,cos,HAO,，,OA,445(,米,).12,分,规律总结,解决实际问题中的几何问题，首先要在准确理解题意的基础上，把实际问题转化为平面几何问题，再根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型，通过求解数学模型，得出实际问题的解,变式训练,4,为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，如图所示，要求,ACB,60,，,BC,的长度大于,1,米，且,AC,比,AB,长,0.5,米为了广告牌稳固，要求,AC,的长度越短越好，求,AC,最短为多少米？且当,AC,最短时，,BC,长度为多少米？,【,解析,】,设,BC,的长度为,x,米，,AC,的长度为,y,米，则,AB,的长度为,(,y,0.5),米在,ABC,中，依余弦定理得：,AB,2,AC,2,BC,2,2,AC,BC,cos,ACB,，,即,(,y,0.5),2,y,2,x,2,2,yx,，,化简得,y,(,x,1),x,2,.,x,1,，,x,1,0,，,y,(,x,1),2,2,，当且,仅当,x,1,，即,x,1,时，,y,有最小值,2,.,1,方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角,(,一般指锐角,),，通常表达成北偏东,度，北偏西,度，南偏东,度，南偏西,度,2,正余弦定理应用举例常见题型,(1),解斜三角形；,(2),测量问题：距离、高度、角度、面积、航海和物理问题等,3,解三角形应用题的方法步骤,(1),读懂题意，理解背景，理清几个量的关系，明确已知与所求；,(2),据题意作图，将实际问题转化为解三角形的模型；,(3),恰当选择正余弦定理解决问题；,(4),将三角形的解还原为实际问题,在,ABC,中，如果,AB,AC,，求函数,y,cos,A,cos,B,cos,C,的取值范围,错解,设三个内角,A,，,B,，,C,对应的三边长分别为,a,，,b,，,c,.,AB,AC,，,b,c,，,B,C,，,由余弦定理得：,y,cos,A,cos,B,cos,C,2,1,，,y,，函数,y,的取值范围为,.,错解分析,上面解法中，应用余弦定理求函数,y,的表达式是正确的错误的原因在于求函数,y,的范围时，忘记了三角形三边本身所固有的大小关系，即任意两边之和大于第三边，亦即 的取值范围,正解,求函数,y,cos,A,cos,B,cos,C,的表达式与上述错解过程相同，,y,.,b,c,a,，即,2,b,a,，,0,2,，,1,，,函数,y,的取值范围为,.,