数学建模初等模型2.ppt

1,如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、,确定性模型描述就能达到建模目的时，基本上可以使,用初等数学的方法来构造和求解模型。,第二章 初等模型,衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是,采用了多么高深的数学方法。,2,2,d,墙,室内,T,1,室外,T,2,d,d,墙,l,室内,T,1,室外,T,2,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失,假设,热量传播只有传导，没有对流,T,1,T,2,不变，热传导过程处于稳态,材料均匀，热传导系数为常数,建模,热传导定律,Q,1,Q,2,Q,单位时间单位面积传导的热量,T,温差,d,材料厚度,k,热传导系数,双层玻璃窗的功效,3,d,d,墙,l,室内,T,1,室外,T,2,Q,1,T,a,T,b,记双层玻璃窗传导的热量,Q,1,T,a,内层玻璃的外侧温度,T,b,外层玻璃的内侧温度,k,1,玻璃的热传导系数,k,2,空气,的热传导系数,建模,4,记单层玻璃窗传导的热量,Q,2,2,d,墙,室内,T,1,室外,T,2,Q,2,双层与单层窗传导的热量之比,k,1,=4,10,-3,8 10,-3,k,2,=2.5,10,-4,k,1,/,k,2,=16 32,对,Q,1,比,Q,2,的减少量作最保守的估计，,取,k,1,/,k,2,=16,建模,5,h,Q,1,/,Q,2,4,2,0,0.06,0.03,0.02,6,模型应用,取,h,=,l/d,=4,则,Q,1,/,Q,2,=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少,97%,的热量损失。,结果分析,Q,1,/,Q,2,所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数,k,2,而这要求空气非常干燥、不流通。,房间通过天花板、墙壁,损失的热量更多。,双层窗的功效不会如此之大,6,类比分析法（动物的身长和体重）,建模的一个有效方法是把各类问题归结或转化为熟悉的模型，利用类比思维。,事实上，许多来自不同领域的问题在数学上具有相同的结构。,7,动物的身长和体重,四足动物的躯干长度（不含头尾）与它的体重有什么关系，这个问题有一定实际意义。,如收猪、屠宰场工作的人希望从生猪的身长估计出它的体重。,把四足动物的躯干看成圆柱体，长度,l,，直径,d,，断面面积,s,。,8,将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究成果。,设动物在自身体重,f,作用下躯干的,最大下垂度,为,b,，即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究,:,(1),因为,，所以,（,2,）,9,是动物躯干的,相对下垂度,，太大，四肢将无法支撑；,太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯,干的需要，无疑是一种浪费。,因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对于每种动物而言，已经达到其最合适的数值，换句话说，应视为与这种动物的尺寸无关的常数。,10,再从 以,（,3,）式代入得,（,4,）,即体重与躯干长度的,4,次方成正比。在根据统计数据确定出上述比例系数后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。,由（,2,）式得 （,3,）,几何模拟,2.4,圆盘切割,比例关系,2.1,冰淇淋销售量,2.2,公平的席位分配,2.3,划艇比赛成绩,图形方法,2.5,爬山问题,2.6,实物交换,2.7,核军备竞赛,参数识别,2.8,汽车刹车距离,2.9,录像机计数器的用途,2.10,量纲分析与无量纲化,量纲分析,第,二,章 初等模型,2.1,冰淇淋的销售,问题,在夏季商品交易会上，冰淇淋销售者要预测其冰淇淋的销售量，而他认为该量与下列因素有关,1),与来参加交易会的人数成正比,人数，温度，价格,2),与超过,15C,的温度成正比,3),与所售的价格成反比,假设,模型建立,符号：冰淇淋销售量,Y,人数为,n,，温度为,t,，价格为,p,13,问题,甲有物品,X,乙有物品,Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。,y,x,p,.,用,x,y,分别表示甲,(,乙,),占有,X,Y,的数量。设交换前甲占有,X,的数量为,x,0,乙占有,Y,的数量为,y,0,作图：,若不考虑双方对,X,Y,的偏爱，则矩形内任一点,p,(,x,y,),都是一种交换方案：甲占有,(,x,y,),，乙占有,(,x,0,-,x,y,0,-,y,),x,y,y,o,0,x,o,实物交换,14,x,y,y,o,y,1,y,2,0,x,1,x,2,x,o,p,1,p,2,.,.,甲的无差别曲线,分析与建模,如果甲占有,(,x,1,y,1,),与占有,(,x,2,y,2,),具有同样的满意程度，即,p,1,p,2,对甲是无差别的，,M,N,将,所有与,p,1,p,2,无差别的点连接起来，得到一条,无差别曲线,MN,线上各点的满意度相同,线的形状反映对,X,Y,的偏爱程度，,N,1,M,1,p,3,(,x,3,y,3,),.,比,MN,各点满意度更高的点如,p,3,，在另一条无差别曲线,M,1,N,1,上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。,15,p,1,.,p,2,.,c,1,y,0,x,f,(,x,y,)=,c,1,无差别曲线族的性质：,单调减,(,x,增加,y,减小,),下凸,(,凸向原点,),互不相交,在,p,1,点占有,x,少、,y,多，宁愿以较多的,y,换取较少的,x,;,在,p,2,点占有,y,少、,x,多，就要以较多的,x,换取较少的,y,。,甲的,无差别曲线族,记作,f,(,x,y,)=,c,1,c,1,满意度,（,f,等满意度曲线）,16,x,y,O,g,(,x,y,)=,c,2,c,2,乙的无差别曲线族,g,(,x,y,)=,c,2,具有相同性质（形状可以不同）,双方的交换路径,x,y,y,o,O,x,o,f,=,c,1,O,x,y,g,=,c,2,乙的无差别曲线族,g,=,c,2,(,坐标系,x,O,y,且反向）,甲的无差别曲线族,f,=,c,1,A,B,p,P,双方满意的交换方案必在,AB,（交换路径）上,因为在,AB,外的任一点,p,(,双方,),满意度低于,AB,上的点,p,两族曲线切点连线记作,AB,17,A,B,p,交换方案的进一步确定,交换方案,交换后甲的占有量,(,x,y,),0,x,x,0,0,y,y,0,矩形内任一点,交换路径,AB,双方的无差别曲线族,等价交换原则,X,Y,用货币衡量其价值，设交换前,x,0,y,0,价值相同，则等价交换原则下交换路径为,C,D,(,x,0,0),(0,y,0,),两点的连线,CD,AB,与,CD,的交点,p,设,X,单价,a,Y,单价,b,则等价交换下,ax,+,by,=,s,(,s=ax,0,=by,0,),y,y,o,0,x,o,.,.,x,18,核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景,19,以双方,(,战略,),核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的,核威慑战略：,1,、认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,2,、乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,20,图的模型,y,=,f,(,x,),甲方有,x,枚导弹，乙方所需的最少导弹数,.,x,=,g,(,y,),乙方有,y,枚导弹，甲方所需的最少导弹数,.,当,x,=0,时,y,=,y,0,，,y,0,乙方的,威慑值,x,y,y,0,0,y,0,甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,.,x,1,x,0,y,1,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),x,y,0,y,0,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),乙安全区,甲安全区,双方,安全区,P,平衡点,(,双方最少导弹数,),乙安全线,21,精细模型,乙方,残存率,s,甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。,乙方,sx,个基地未摧毁，,y,x,个基地未被攻击。,xy,甲方以,x,攻击乙方,y,个基地中的,x,个,y,0,=,sx,+,y,x,x=y,y,0,=,sy,乙的,x,y,个被攻击,2,次，,s,2,(,x,y,),个未摧毁；,y,(,x,y,)=2,y,x,个被攻击,1,次，,s,(2,y,x,),个未摧毁,y,0,=,s,2,(,x,y,)+,s,(2,y,x,),x,=2,y,y,0,=,s,2,y,yx,2,y,y,=,y,0,+(1-,s,),x,y,=,y,0,/,s,y,=,y,0,/,s,2,22,a,交换比,(,甲乙导弹数量比,),x,=,a y,精细模型,x=y,y,=,y,0,/,s,x,=2,y,y,=,y,0,/,s,2,y,0,威慑值,s,残存率,y,=,f,(,x,),y,是一条上凸的曲线,y,0,变大，曲线上移、变陡,s,变大，,y,减小，曲线变平,a,变大，,y,增加，曲线变陡,x,y,0,y,0,xy,y,=,y,0,+(1-,s,),x,x=y,x,=2,y,yx,p,2,/,n,2,，,对 不公平,A,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,公平分配方案应使,r,A,r,B,尽量小,设,A,B,已分别有,n,1,n,2,席，若增加1席，问应分给,A,还是,B,不妨设分配开始时,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,即对,A,不公平,对,A,的,相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义,r,B,(,n,1,n,2,),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即,“,公平”分配方法,若,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,，,定义,1,）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/,n,2,，,则这席应给,A,2,）若,p,1,/(,n,1,+1),p,2,/(,n,2,+1),，,应计算,r,B,(,n,1,+,1,n,2,),应计算,r,A,(,n,1,n,2,+1),若,r,B,(,n,1,+1,n,2,),p,2,/,n,2,问：,p,1,/,n,1,r,A,(,n,1,n,2,+1),则这席应给,B,当,r,B,(,n,1,+1,n,2,)ni=seat(p,100,1 1 1 1),Q,值法得席位数：,ni=94 2 2 2,94,2,2,2,100,解决方法？,介绍：最小方差法,p,i,/,n,i,p,/,N,考虑,公平？,记,q,i,=,Np,i,/,P,i,=1,2,m,小数席,模型,2.3,划艇比赛的成绩,赛艇,2000,米成绩,t,(,分),种类 1 2 3 4 平均,单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21,双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88,四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32,八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84,艇长,l,艇宽,b,(,米)(米),l,/,b,7.93 0.293 27.0,9.76 0.356 27.4,11.75 0.574 21.0,18.28 0.610 30.0,空艇重,w,0,(kg),浆手数,n,16.3,13.6,18.1,14.7,对四种赛艇（,单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,l,/,b,w,0,/,n,基本不变,问题分析,前进阻力,浸没部分与水的摩擦力,前进动力,浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,划浆,功率,赛艇,速度,赛艇,速度,前进,动力,前进,阻力,浆手数量,艇,重,浸没,面积,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,模型假设,1,）艇形状相同,(,l/b,为常数),w,0,与,n,成正比,2,）,v,是常数，阻力,f,与,sv,2,成正比,符号：艇速,v,浸没面积,s,浸没体积,A,空艇重,w,0,阻力,f,浆手数,n,浆手功率,p,浆手体重,w,艇重,W,艇的静态特性,艇的动态特性,3,）,w,相同，,p,不变，,p,与,w,成正比,浆手的特征,模型建立,f,sv,2,p,w,v,(,n/s,),1/3,s,1/2,A,1/3,A,W,(=,w,0,+,nw,),n,s,n,2/3,v,n,1/9,比赛成绩,t,n,1/9,np,fv,模型检验,最小二乘法,利用,4次国际大赛冠军的平均成绩对模型,t,n,1/9,进行检验,t,n,1,2,4,8,7.21,6.88,6.32,5.84,与模型巧合！,n,1 2 4 8,实际,t,7.21 6.68 6.32 5.84,模型,t,7.21 6.67 6.18 5.72,误差,0%3%2%2%,2.4,圆盘切割,某车间生产过程中的一工序是从,1,米,1,米的板材上切割圆盘。,问题,目前工艺：切割出直径,0.25,米的圆盘,16,个,1),是否有可能重新安排切割方案使得更节约原料,2),对给定板材尺寸、圆盘半径，给出一个计算最大个数的公式,3),若对同样的板材，切直径为,0.1,米的圆盘，用,2),中公式计算最大个数,问题重述,给你某种规格的板材和要切割的圆盘尺寸，怎样寻找最有效的切割方式使之能切出最多的圆盘。,模型假设,符号：板长,l,板宽,b,圆盘半径,r,圆盘个数,N,浪费率,W,行数,n,列数,x,1,）切割器能切出非常精确的圆盘，切割线可以忽略不计,2,）只考察四点相切和六点相切方式,方式,1,：四点相切,b,l,l,=,b,=1,r=0.125,N,=,l,/2,r,b,/2,r,=44=16,W,=1-16 (0.125)2 21.5,%,同理,当,r,=0.05,时，,N,=100,W,21.5,%,b,l,b=,2,nr,b=,(2,n+,1),r,四点：一般情形,行数,x,:,同理可得,若 时，圆盘可排,n,列,列数,n,:,方式,2,：六点相切,行数,x,:,注意到第,1,行和最后一行的情况,若排,x,行，则,b,l,r,列数,n,:,当,b,=(2,n,+1),r,时，则每行有,n,个圆,当,b,增加到,b,=(2,n,+2),r,，在,奇数行,有,n,+1,个圆，,偶数行,有,n,个圆,进一步，,b,=(2,n,+3),r,时，各行又排,n,个圆,(2,n,+1),r,(2,n,+2),r,(2,n,+3),r,b,l,(2,n,+1),r,(2,n,+2),r,方式,2,：六点相切,当,每行可排,n,个圆,一般情形,b,l,(2,n,+2),r,(2,n,+3),r,方式,2,：六点相切,当,奇偶行可排列数不等,x,为偶,n,+1,个的行数,n,的行数,相等,x,为奇,n,+1,个的行数,n,的行数,不相等,n,+1,个的行数,n,个的行数,方式,2,：六点相切,当,一般情形,视,N,为,l,/,r,与,b,/,r,的函数，比较四点和六点两种方式,六点,b,/,r,=3,b,/,r,=4,b,/,r,=5,b,/,r,=8,b,/,r,=10,b,/,r,=14,l,/r=4,2,3,4,7,9,11,l,/r=7,3,5,6,11,14,20,l,/r=10,5,8,10,18,23,33,l,/r=15,8,12,16,28,36,52,l,/r=20,11,17,22,39,50,72,四点,b,/,r,=3,b,/,r,=4,b,/,r,=5,b,/,r,=8,b,/,r,=10,b,/,r,=14,l,/r=4,2,4,4,8,10,14,l,/r=7,3,6,6,12,15,21,l,/r=10,5,10,10,20,25,35,l,/r=15,7,14,14,28,35,49,l,/r=20,11,20,22,40,50,70,结论,两种方式无明显优劣，取那种有效，依赖于参数的取值！,回答第,3),问,l,=,b,=1,r=0.25,四点相切,N,=100,六点相切,优,进一步思考,1,）,105,个是否可以再改进？,考虑如下：每行按,10,9,10,9,10,9,10,9,10,10,10,2,）四点相切是否可以考虑非紧凑的形式,3,）是否还可以考虑切割,两种,甚至,更多种,半径的情形,共,106,4,）,更多的想法留给同学们思考,2.5,爬山问题,教材习题,P23,、,9.1,）,问题,某甲早,8:00,从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午,5:00,到达山顶并留宿，次日早,8:00,沿同一路径下山，下午,5:00,回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？,问题转换,设想在,同一天早上,8:00,有两个人分别沿,同一条路径,一人上山，一人下山，那么途中必定相遇！,相遇问题,H,1,=,f,(,t,),H,2,=,g,(,t,),h,h,0,t,t,0,p,0,o,令：,H=H,1,-H,2,=,f,(,t,)-,g,(,t,),图解,问,题,在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为,4450,，问剩下的一段还能否录下,1,小时的节目？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与,录像带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,2.9,录像机计数器的用途,经试验，一盘标明,180,分钟的录像带从头走到尾，时间用了,184,分，计数器读数从,0000,变到,6061,。,录像机计数器的工作原理,主动轮,压轮,0000,左轮盘,右轮盘,磁头,计数器,录像带,录像带运动方向,录像带运动,右轮盘半径增大,右轮转速不是常数,录像带运动速度是常数,计数器读数增长变慢,问题分析,观察,计数器读数增长越来越慢！,模型假设,录像带的运动速度是常数,v,；,计数器读数,n,与右轮转数,m,成正比，记,m,=,kn,；,录像带厚度（加两圈间空隙）为常数,w,；,空右轮盘半径记作,r,；,时间,t,=0,时读数,n,=0,.,建模目的,建立,时间,t,与读数,n,之间的关系,（设,v,k,w,r,为已知参数）,模型建立,建立,t,与,n,的函数关系有多种方法,1.,右轮盘转第,i,圈的半径为,r,+,wi,m,圈的总长度,等于录,像,带在时间,t,内移动的长度,vt,所以,2.,考察右轮盘面积的,变化，等于录像带厚度,乘以转过的长度，即,3.,考察,t,到,t+dt,录像带在,右轮盘缠绕的长度，有,模型建立,两边积分,思 考,3,种建模方法得到同一结果,但仔细推算会发现稍有差别，请解释。,模型中有待定参数,一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。,思 考,第一式中,参数估计,另一种确定参数的方法,测试分析,将模型改记作,只需估计,a,b,理论上，已知,t,=184,n,=6061,再有一组,(,t,n,),数据即可,实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合,现有一批测试数据：,t,0 20 40 60 80,n,0000 1141 2019 2760 3413,t,100 120 140 160 184,n,4004 4545 5051 5525 6061,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出的问题：由模型算得,n=4450,时,t=116.4,分，,剩下的录像带能录,184-116.4=67.6,分钟的节目。,揭示了,“,t,与,n,之间呈二次函数关系”,这一普遍规律，,当录像带的状态改变时，只需重新估计,a,b,即可。,量纲分析（,Dimensional Analysis),是,20,世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。,2.10.1,量纲齐次原则,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,2.10,量纲分析与无量纲化,动力学中基本量纲,L,M,T,速度,v,的量纲,v,=,LT,-1,加速度,a,的量纲,a,=,LT,-2,力,f,的量纲,f,=,LMT,-2,引力常数,k,的量纲,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析,利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,导出,量纲,例：单摆运动,l,mg,m,忽略阻力，求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t,m,l,g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1),的量纲表达式,对比,对,x,y,z,的两组测量值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,，,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2,y,2,z,2,),为什么假设这种形式,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,的量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,),的形式为,单摆运动中,t,m,l,g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,设,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,F,未定,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，,X,1,X,2,X,n,是基本量纲,n,m,q,1,q,2,q,m,的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量,且,则,g,=,LT,-2,l,=,L,=,L,-3,M,v,=,LT,-1,s,=,L,2,f,=,LMT,-2,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,航船阻力,f,航船速度,v,船体尺寸,l,浸没面积,s,海水密度,重力加速度,g,。,n,=3,m,=6,教材中设为,Ay,=0,有,m-r,=3,个基本解,rank A=r,Ay,=0,有,m-r,个基本解,y,s,=(,y,s,1,y,s,2,y,sm,),T,s,=1,2,m-r,m-r,个无量纲量,rank A=3,F,(,1,2,3,)=0,与,(,g,l,v,s,f,)=0,等价,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,)=0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,)=0,等价,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,()=0,中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数,n,;,选哪些基本量纲 力学中,L,M,T,有目的地构造,Ay,=0,的基本解,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,热学中加温度量纲,，电学中加电量量纲,Q,2.10.2,量纲分析在物理模拟中的应用,例,:,航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数,(,均已知,),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数,(,f,1,未知，其他已知,),注意：二者的,相同,按一定尺寸比例造模型船，量测,f,，可算出,f,1,物理模拟,1945,年,7,月,16,日，美国科学家在新墨西哥州,Los Alamos,进行了,“,Trinity Test”,，试爆了全球第一颗,原子弹,。这一事件令世界为之震惊，并从某种程度上改变了第二次世界大战以及战后世界的历史。但在当时，有关原子弹爆炸的任何资料都是,保密,的，一般人无法得到任何有关的,数据,或,影像资料,，因此人们无法比较准确地了解这次爆炸的威力究竟有多大。两年以后，美国政府首次公开了这次爆炸的,录影带,，但没有发布任何有关的数据。,建模案例 原子弹爆炸的能量估计,英国物理学家,G.I.Taylor(1886-1975),通过研究这次爆炸的录影带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的估计值为,19.2,千吨,(,千吨即相当于,1,千吨,TNT,的核子能量,),。后来正式公布的信息显示，这次爆炸所释放的实际能量为,21,千吨,，可见两者是相当接近的。,你一定想知道：,Taylor,是如何,进行估计的呢？,Taylor,认为，爆炸的能量与爆炸形成的,“,蘑菇云,”,半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻爆炸所产生的,“,蘑菇云,”,半径见下表。,表,1,时刻,t(ms),所对应的“蘑菇云”半径,r(m),t r(t),t r(t),t r(t),t r(t),t r(t),0.10 11.1,0.80 34.2,1.50 44.4,3.53 61.1,15.0 106.5,0.24 19.9,0.94 36.3,1.65 46.0,3.80 62.9,25.0 130.0,0.38 25.4,1.08 38.9,1.79 46.9,4.07 64.3,34.0 145.0,0.52 28.8,1.22 41.0,1.93 48.7,4.34 65.6,53.0 175.0,0.66 31.9,1.36 42.8,3.26 59.0,4.61 67.3,62.0 185.0,Taylor,使用的是量纲分析法,模型建立,Taylor,建立计算,爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分析法。记爆炸能量为,E,，将“蘑菇云”半径近似看成一个球形。,r,与哪些因素,有关？,t,E,空气密度,大气压强,P,记作更一般的形式,量纲矩阵,L,M,T,r t E P,(,无量纲,),由,f,=1=,L,0,M,0,T,0,，有,Ay,=0,有,2,个基本解，如,模型建立,由,Pi,定理可得到两个无量纲的量,模型建立,时间,t,非常短,能量,E,非常大,Taylor,根据一些小型,爆炸试验的数据建议,上式表明，半径与大气压强,P,无关，而当,E,一定时,r,与,t,2/5,成正比。现检验这个关系，设,:,最小二乘法,:,b=0.4058,2/5,量纲分析法结果,:,r,与,t,关系,2/5,次方,一致,模型求解,模型求解,应用,Matlab,编程计算,bombAB,b=,0.4058,下一步应该做什么？,原子弹爆炸能量,E,的估计,一种计算方法,空气密度为,=1.25(kg/m,3,),平均值,E,=8.282510,13,(,焦耳,),1,千吨,(TNT,能量,),=4.184*10,12,焦尔,爆炸能量是,19.7957,千吨,思考：如果不知,(0)=1,，能计算,E,吗？,Taylor,的计算方法,空气密度为,=1.25(kg/m,3,),最小二乘拟合：就是,c,取,y,的平均值，得到,c,=6.9038,E,=8.027610,13,(,焦耳,),爆炸能量是,19.1863,千吨,bombE,c=,6.9038,E=,19.1863,数据拟合结果,如果剔除掉离平均值较远的第一个数据，则可得到能量大约为,20.3,千吨，与实际值更为接近,y,=6.9038,从本例可以看出，,Taylor,采用量纲分析法获得了巨大成功,2.10.3,无量纲化,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球表面竖直发射。初速,v,星球半径,r,表面重力加速度,g,研究火箭高度,x,随时间,t,的变化规律,t,=0,时,x,=0,火箭质量,m,1,星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3,个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,x,=,L,t,=,T,r,=,L,v,=,LT,-1,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,的,量纲,用,参数,r,v,g,的组合,分别构造与,x,t,具有相同,量纲的,x,c,t,c,（特征尺度）,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,x,c,t,c,的不同构造,1,）令,的不同简化结果,为无量纲量,3,）令,为无量纲量,2,）令,为无量纲量,1,）,2,）,3,）的共同点,只含,1,个参数,无量纲量,解,重要差别,考察无量纲量,在,1,）,2,）,3,）中能否忽略以,为因子的项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r,r,原问题,可以忽略,项,是原问题的近似解,为什么,3),能忽略,项，得到原问题近似解，而,1)2),不能,?,1,）令,2,）令,3,）令,火箭到达最高点时间为,v,/,g,高度为,v,2,/2,g,大体上具有单位尺度,项可以忽略,项不能忽略,林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学,