研究生数值分析(10).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,如果求解线性方程组,4,迭代法,（其中 ）（,1,）,（,2,）,建立迭代公式,（,3,）,可参照迭代法求非线性方程近似根的方法,先将,(1),转化为等价方程组,1,迭代法的一般形式及其收敛性,然后对某个初始向量,按迭代公式（,3,）,得到一个向量序列,其中,如果,即 成立，,则由,(3),有,即 为,(2),的解，也为,(1),的解。,这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代方法。矩阵,B,称为迭代矩阵。,如果迭代序列,收敛，则称迭代法收敛，否则称迭代法发散。,关于迭代公式,(3),有如下结论,定理,1(,充分条件判别法,),如果 ，则,1.,方程组 有唯一解 ；,给定方程组,收敛于,，且有,3.,4.,定理中条件,较强。,2.,对任意初始向量,，迭代公式,证明,1.,因为,根据,p,11,定理,1.5,可知,矩阵,I,-,B,非奇异,其中,I,是单位矩阵,故方程组,的解 存在且唯一,.,2.,由迭代公式,减去,得,由此得,因为,所以由上式得,于是有,3.,设,m,k,则有,4.,设,m,k,则有,令,m,由于,故由上式得,令,m,由于,故由上式得,下面我们给出迭代法收敛的基本定理,.,定理,2(,充要条件判别法,),给定方程组,X,=,BX,+,f,则迭代公式,对任意初始向量,，都收敛的充要条件为,（其中,，,为,B,的矩阵范数,中最小）,例,7,用迭代法解线性方程组,解：将原方程组写成如下等价方程组,得迭代公式,它的迭代矩阵为,显然,迭代公式收敛。,取迭代初始向量,得迭代序列,0,1,2,9,10,0,1.6667,0.8333,1.0005,0.9998,0,2.5,1.6667,2.0004,1.9997,若交换原方程中两方程的次序，,得迭代公式,它的迭代矩阵为,显然，趋向于方程组的准确解,取 作为方程组得近似解，,再写成如下等价方程组：,事实上，仍取,由迭代公式,计算结果为：,0,1,2,3,4,5,0,5,-5,25,-35,145,0,5,-10,20,-70,110,因为,迭代公式发散。,由这个例题可以看出，在线性方程组改写成同解方程组时，使,是应用迭代法解线性方程组的关键。,以下我们假设方程组,AX,=,b,的系数矩阵,A,的主对角元,介绍两种常用的迭代法。,