研究生数值分析(16).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,ermite,插值,虽然分段线性插值多项式具有良好的一致收敛性，但它是不光滑的，即在内节点,处一阶导数不连续，这往往不满足实际应用的需要。为克服这个缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数插值条件。,定义给定,n,+1,个互异节点,已知,以及,其中,使其满足条件,此问题称为,ermite,插值问题。称满足条件的多项式为,ermite,插值多项式,。,问题是：,在次数不高于,m,+,n,+1,的多项式集合中，,求一多项式,定理,2,设,n,+1,个节点,互异，,则在多项式集合中，唯一地存在多项式,它满足条件,（）,一般地，令,其中，,是满足,的,n,次插值多项式,证明,先证存在性,令,其中，,是满足插值条件,的,n,次插值多项式,显然,并且，对任意的,，多项式,已满足条件,由条件,得,因而有,此式是一个以,为未知数的线性方程组,因函数组,在点集,上线性无关，故此线性方程组有唯一解,因而多项式,被确定，它满足条件,再证唯一性,设存在两个多项式,它们都满足条件,记,，则有,因而,r,(,x,),有,m,+1,个二重零点和,n,-,m,个单零点。,由于,2(,m,+1)+,n,-,m,=,m,+,n,+2,，而,所以只能,即,证毕,定理,3,设,是互异的实数，对于,给定的,x,实质函数,f,(,x,),在区间,上具有,m,+,n,+2,阶导数,是满足条件,(,),的,ermite,插值多项式，,则用,近似代替,f,(,x,),的余项为,其中,且依赖于,x,。,证明,当,x,恰是某个节点,时,两边都为零，定理结论成立，,可为,内任一点。,今设,x,易于所有的节点，,构造辅助函数,易知，,是,的零点。,根据,Rolle,定理，,在区间,内至少有,n,+1,个,异于,的零点；,又,也是,的零点，,故,在区间,内至少有,m,+,n,+2,个互异零点。,继续使用,Rolle,定理，可知,在区间,内至少有,一,个零点,，即,其中,且依赖于,x,。,但,用,t,=,代入上式，并解出,即得式,证毕,在几何上表示曲线,满足条件,(,),的,ermite,插值多项式,不仅要通过点,处曲线,，而且在点,有共同的切线。,与曲线,例 求满足条件的,ermite,插值多项式。,1,2,3,2,4,12,3,解：,由题知,ermite,插值多项式为,其中,先求满足,的二次插值多项式,用,Newton,插值多项式,再设,由,求得,，故所求的,ermite,插值多项式为,练习：给定函数表,0,1,2,1,2,1,0,-1,求满足条件的,ermite,插值多项式,。,