概率论第三章辅导.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 三,章,多维随 机 变 量 及 其 分 布,1,一 主要内容,二维随机变量及其分布,1.,二维随机变量的定义,2.二维随机变量的分布函数,3.,二维离散型随机变量及其分布律,4.,二维连续型随机变量的概率密度,5.,边缘分布,随机变量的独立性,随机变量简单函数的分布,2,三 例题分析,例,1,从一批产品包括,10,件正品,3,件次品中重复抽取,每次取,1,件直到取得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同,求抽取次数,X,的分布律,解,P(X=1)=10/13,P(X=2)=(3/13)*(10/12)=5/26,P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143,P(X=4)=(3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286,故,X,的分布律为,X,1,2,3,4,P,10/13,5/26,5/143,1/286,3,例2,设随机变量,X,的分布密度为,试求,X,的分布函数,F(x),.,解：,当,x0,时，,当 时，,当 时,，,4,当 时，,故,X,的分布函数为,例3,设随机变量,X,的分布律为,X,-2,-1,0,1,3,P,1/5,1/6,1/5,1/15,11/30,5,求 的分布律。,解：,由,X,的分布律有,Y,取值为,4,1,0,9,PY=0=PX=0=1/5,PY=1=PX=-1+PX=1=1/6+1/15=7/30,PY=4=PX=2+PX=-2=0+1/5=1/5,PY=9=PX=3+PX=-3=11/30+0=11/30,故,Y,的分布律为,Y,0,1,4,9,P,15,730,15,1130,6,例4,设随机变量,X,的分布函数为,求,:（1）,A,的值；,（,2）,X,落在（,0.2,0.6,）内的概率；,(3）,X,的密度函数,f（x）,。,解:,（1,）由,F(x),连续性有,F(1)=,而,而,F(1)1,故,A=1,7,(2,),P0.2X0.6=F(0.6)-F(0.2)=,(3),当,当,故,例,5,已知随机变量,X,P|X-10|c=0.95,PXd=0.023,确定,c,和,d,的值。,解：,已知,P|x-10|c=P|X-10|/2c/2,=,8,所以 查表得,c/2=1.96,故,c=3.92,又已知,PXd=,查表得,既,d=6,例6,设随机变量 ，且已知,试求,X,落在区间（,9.95,10.05,）内的概率,.,9,解：,例7,设随机变量,X,的概率分布为,求,X,的分布函数,F(x),.,解：,当,x,1,时,，,F（x）,0,当 ，,F(x),=P(X=-1)=1/6,X,-1,2,3,P,1/6,1/2,1/3,10,当 ，,F(x),=P(X=-1)+P(X=2),=1/6+1/2=2/3,当,时,F(x),=PX=-1+PX=2+PX=3=1,故,11,例8,（,X，Y）,的联合分布律,为,Y X,0,1,2,0,0.1,0.25,0.15,1,0.15,0.20,0.15,求（1）,X,的边缘密度；（2）,Y,的边缘密度。,12,解,:,(1),X,的分布律为,(2),Y,的分布律为,X,0,1,2,P,0,.25,0.45,0.30,Y,0,1,P,0,.5,0,.5,13,例,9,设二维随机变量（,X,Y）,的分布密度函数为,问,X,与,Y,是否相互独立，并说明理由。,解：,关于,X,的边缘密度为,关于,Y,的边缘分布密度为,14,在 中，均有,故,X,与,Y,不独立。,例10,设二维随机变量（,X，Y）,的分布密度,求分布函数,F(x,y).,15,解,例11,随机变量,X,的分布密度为,求,Y=X,2,的分布密度。,16,解：,由,17,第二章 随机变量及其分布,练习与答案,1,一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。,2重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为 ,出现反面的概率为 ，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。,3对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。,18,4已知某元件使用寿命服从参数,的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数的分布律,5某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 ；若采用乙工艺条件，则完成时间 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？,19,6设某批零件的长度服从,，,现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于的概率。,7设分别为服从 的随机变量，求 的概率密度函数.,8设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7，超过7的水要溢出，求水库存水量的分布函数.,9在箱中装有12只球，其中2只黑球，现从箱中随机地抽取两次，每次抽取一球，用 分别表示第一次与第二次取得的黑球数，试分别对有放回抽取与无放回抽取两种情况：（1）写出 的联合分布列；（2）判断 是否独立。,20,10设 的联合密度函数为,求（1）常数 ；（2）；,（3）；（4）是否独立,。,11,设相互独立，且密度函数分别为,求,.,12,设 相互独立，均服从标准正态分布,求 的密度函数。,21,13设随机变量（）的概率密度为,求 的概率密度。,22,参考答案,1,分布列,P,2,3,4（1）；（2）,5（1）,两种工艺均可；（2）选甲为好,6,23,7（1）,；（2）；,（3）；,8,9（1）,有回放：0 1,0,1,此时，相互独立,24,（2）,无回放：,0 1,0,1,此时，不独立,10（1）；（2）；（3）,（4）相互独立,11,12,25,13,26,