概率统计第七章12.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七章 假设检验,7.1,假设检验的基本思想与概念,7.2,正态总体参数假设检验,7.3,其它分布参数的假设检验,7.4,分布拟合检验,7.1,假设检验的基本思想与概念,7.1.1,假设检验问题,某产品出厂检验规定:次品率,p,不,超过4%才能出厂.现从一万件产品中任意,抽查12件发现1件次品,问该批产品能否出,厂？若抽查结果发现3件次品,问能否出厂？,引例1,抽查12件发现1件按理不能出厂.,分析,直接算,求检验准则：,抽取的12个产品中至少有几个次品则判断不合格？,思路：,假定p4%,该批产品不能出厂.,对总体 提出假设,要求利用样本观察值,对提供的信息作出接受 (可出厂),还,是接受 (不准出厂)的判断.,出厂检验问题的数学模型,(1)小概率原理:,认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验中出现了,就被认为是不合理的.,(2)基本思想:,先对总体的参数或分布函数的,作出某种假设,然后找出一个在假设下发生可能性甚小的,小概率事件,.,如果试验或抽样的结果使该小概率事件发生了,这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问题,应,拒绝这个假设,.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现,表明试验或抽样结果支持这个假设,则,接受原来的假设,.,统计检验的基本思想,二、选择检验统计量,由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成的，该统计量称为,检验统计量,。,找出在原假设,成立条件下,该统计量所服从的分布。,三、选择显著性水平，给出拒绝域形式,小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实际问题的要求而定,如取=0.1,0.05,0.01等,为检验的显著性水平(检验水平),.,根据所要求的显著性水平,描写小概率事件的统计量的取值范围称为该原假设的,拒绝域(否定域),一般用W表示；一般将 称为,接受域,。,拒绝域的边界称为该假设检验的,临界值,.,/2,/2,X,(x),接受域,P(|U|u,1/2,)=,拒绝域,拒绝域,u,1/2,-u,1/2,例,7.1.1,某厂生产的合金强度服从 ，其中,的设计值,为不低于,110(Pa),。为保证质量，该,厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生,产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于,110(Pa),。,某天从生产中随机抽取,25,块合,金，,测得强度值为,x,1,x,2,x,25,，其均值为,(Pa),，问当日生产是否正常？,H,0,:,=110,原假设,原假设的对立面:,H,1,:,0,),当样本容量 一定时,小,就大,反之,小,就大.,在进行假设检验时,我们采取的原则是:,控制犯第一类错误(即 事先给定且很小)的同时使犯第二类错误的概率达到最小.,关于原假设与备择假设的选取,H,0,与,H,1,地位应平等,但在控制犯第一类错误的概率,的原则下,使得采取拒绝,H,0,的决策变得较慎重,即,H,0,得到特别的保护.,因而,通常把有把握的、有经验的结论作为原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误.,犯第一类错误的概率,和犯第二类错误的概率,可以用同一个函数表示，即所谓的,势函数,。,势函数是假设检验中最重要的概念之一，定义如下：,定义,7.1.1,设检验问题,的拒绝域为,W,，则样本观测值落在拒绝域内的概率称为该检验的,势函数，,记为,(7.1.3),势函数,是定义在参数空间,上的一个函数。犯,两,类错误的概率都是参数,的函数，并可由势函数算得，即：,对例7.1.1，其拒绝域为 ，由,(7.1.3),可以算出该检验的势函数,这个势函数,是,的,减函数,v,v,g,同时可得如下结论：,利用这个势函数容易写出犯,两,类错误的概率分别为,和,思考：吗？,当,减小时，,c,也随之减小，必导致,的增大；,当,减小时，,c,会增大，必导致,的增大；,说明：在样本量一定的条件下不可能找到一个使,和,都小的检验。,英国统计学家,Neyman,和,Pearson,提出水平为,的,显著性检验,的概念。,则称该检验是,显著性水平为,的显著性检验,，简称,水平为,的检验,。,定义,7.1.2,对检验问题,对,如果一个检验满足对任意的,，,都有,求势函数,例：,见P334 NO.2,7.2,正态总体参数假设检验,参数假设检验常见的有三种基本形式,(1),(2),(3),当备择假设,在原假设,一侧时的检验称,为,单侧检验,；,当备择假设,分散在原假设,两侧时的检验,称为,双侧检验,。,2)确定检验统计量:,H,0,:=,0,(已知);H,1,:,0,(双侧检验）,1)提出原假设和备择假设:,H,0,:=,0,;H,1,:,0,3)对给定,由原假设成立时P(|u|u,1/2,)=得,拒绝条件为|u|u,1/2,7.2.1,单个正态总体均值的检验,一、已知,时,的,检验,设总体XN(,2,),X,1,X,2,X,n,为一组样本，,/2,/2,X,(x),接受域,P(|U|u,1-/2,)=,否定域,否定域,u,1-/2,-u,1-/2,双侧统计检验,U检验,该检验用,u,检验统计量，故称为,u,检验。,2)对统计量:,1)提出原假设和备择假设:,H,0,:,0,;H,1,:,0,3)故 拒绝条件为U u,1-,对给定的有,在H,0,下有,所以,H,0,:,0,(已知);H,1,:,0,（右侧检验）,X,(x),接受域,否定域,u,1-,单侧（右侧）统计检验,P(u,1-,),2)选择统计量:,1)提出原假设和备择假设:,H,0,:,0,;H,1,:,0,3)对给定,否定域为U-u,1-,H,0,:,0,(已知);H,1,:,0,（左侧检验）,X,(x),接受域,否定域,-u,1-,单侧（左侧）统计检验,P(2.776,，故拒绝原假设，,认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。,若取,=0.05,，则,t,0.975,(4),=2.776,.,故,检验法,条件,检验统计量,拒绝域,u,检验,已知,t,检验,未知,原假设,备择假设,表,7.2.1,单个正态总体的均值的检验问题,单正态总体均值假设检验的步骤,第一，根据题意，提出原假设和备择假设；两者在逻辑上是对立的.,第二，确定显著性水平,，并计算出临界值；确定统计量的拒绝域和接受域，注意是单边还是双边检验；,第三，确定适当的检验统计量，并计算其取值；,（比如单总体均值检验中,当已知总体方差时，用,U,统计量;总体方差未知时，用,t,统计量）,第四，将检验统计量的值与临界值进行比较，作出接受还是拒绝原假设的统计决策,三、假设检验与置信区间的关系,这里用的检验统计量与,6.5.5,节中置信区间所用的枢轴量是相似的。这不是偶然的，两者之间存在非常密切的关系。,设,是来自正态总体,的样本，现在,未知场合讨论关于均值,的检验问题。,考虑双侧检验问题:,它可以改写为,并且有,若让,0,在,(-,),内取值，就可得到,的,1,-,置,信区间：,这里,0,并无限制.,则水平为,的检验接受域为,关于 的水平为,的显著性检验。,是一一对应的。,类似地，,“,参数,的,1,-,置信上限,”,与,“,关于,的单侧检验问题的水平,的检验,”,反之若有一个如上的,1,-,置信区间，也可获得,所以:,“,正态均值,的,1,-,置信区间,”,与,“,关于,的双侧检验问题的水平,的检验,”,参数,的,1,-,置信下限与另一个单侧检验也是一一对应的。,是一一对应的。,假设检验与置信区间对照,接受域,置信区间,检验统计量及其在,H,0,为真时的分布,枢轴量及其分布,0,0,（,2,已知),（,2,已知),原假设,H,0,备择假设,H,1,待估参数,接受域,置信区间,检验统计量及其在,H,0,为真时的分布,枢轴量及其分布,原假设,H,0,备择假设,H,1,待估参数,0,0,（,2,未知）,（,2,未知）,接受域,置信区间,假,设,检,验,区,间,估,计,统计量,枢轴量,对偶关系,相似函数,假设检验与区间估计的联系,7.2.2,两个正态总体均值差的检验,检验法,条件,原假设,备择假设,检验统计量,拒绝域,u,检验,已知,t,检验,未知,大样本检,u,验,未知,m,n,充分大,近似,t,检验,未知,m,n,不很大,例,7.2.3,某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而,试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，,为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为,8,和,9,的样本，测得其硬度为,镍合金：,76.43 76.21 73.58 69.69,65.29 70.83 82.75 72.34,铜合金：,73.66 64.27 69.34 71.37,69.77 68.12 67.27 68.07 62.61,根据经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变。试在显著性水平,下判断镍合金的硬度是否有明显提高。,解：,用,X,表示镍合金的硬度，,Y,表示铜合金的硬,度，则由假定，,要检验的假设是：,经计算，,从而,查表知,由于,故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著提高。,7.2.3,正态总体方差的检验,一、单个正态总体方差的检验,设,是来自,的样本，对方差亦可考虑如下三个检验问题：,通常假定,未知，它们采用的检验统计量是,相同的，均为,若取显著性水平为,，则对应三个检验问题的拒绝域依次分别为,例,7.2.4,某类钢板每块的重量,X,服从正态分布，,其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过,0.016(,kg,2,),。现从某天生产的钢板中随机抽取,25,块，得其样本方差,S,2,=0.025(,kg,2,),，问该天生,产的钢板重量的方差是否满足要求。,解：,原假设为,备择假设为,此处,n=25,，若取,=0.05,，则查表知,由此，在显著性水平,0.05,下,，我们拒绝原假设，认为该天生产的钢板重量不符合要求。,现计算可得,接受域,置信区间,检验统计量及其在,H,0,为真时的分布,枢轴量及其分布,原假设,H,0,备择假设,H,1,待估参数,2,0,2,2,=,0,2,2,(,未知),(,未知),二、两个正态总体方差比的,F,检验,设,是来自,的样本，,是来自,的样本。考虑如下三个假设检验问题,通常,均未知，记,分别是由,算得的,的无偏估计和由,算得的,的无偏估计.,可建立检验统计量:,三种检验问题对应的拒绝域依次为,。,或,例,7.2.5,甲、乙两台机床加工某种零件，零件,的直径服从正态分布，总体方差反映了加工,精度，为比较两台机床的加工精度有无差别，,现从各自加工的零件中分别抽取,7,件产品和,8,件产品，测得其直径为,X,(,机床甲,),16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8,Y,(,机床乙),15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0,这就形成了一个双侧假设检验问题，原假设是,备择假设为,此处,m,=7,，,n,=8,，经计算,查表知,于是,，若取,=0.05,，,其拒绝域为,由此可见，样本未落入拒绝域，即在,0.05,水平下可以认为两台机床的加工精度一致。,问 题,母亲嗜酒是否影响下一代的健康,美国的Jones医生于1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文化程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲相同或相近，但不饮酒的46名七岁儿童为对照租(称为乙组).测定两组儿童的智商，结果如下：,甲 组,6,78,19,乙 组,46,99,16,人数,智商平均数,样本标准差,智商,组别,由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一,代的智力？若有影响，推断其影响程度有,多大?,提示,前一问题属假设检验问题,后一问题属区间估计问题,智商一般受诸多因素的影响.从而可以,本问题实际是检验甲组总体的均值是,否比乙组总体的均值偏小?,若是，这个差异范围有多大?前一问,题属假设检验，后一问题属区间估计.,解,假定两组儿童的智商服从正态分布.,由于两个总体的方差未知，而甲组,的样本容量较小，因此采用大样本下两,总体均值比较的U检验法似乎不妥.故,当 为真时，统计量,采用方差相等(但未知)时，两正态总体,均值比较的,t,检验法对第一个问题作出,回答.,为此,利用样本先检验两总体方差,是否相等，即检验假设,拒绝域为,F,的观察值,未落在拒绝域内，故接受 .即可认为,两总体方差相等.下面用 t 检验法检,验 是否比 显著偏小？即检验假设,当 为真时，检验统计量,其中,嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.,落在拒绝域内，故拒绝 .即认为母亲,下面继续考察这种不良影响的程度.,为此要对两总体均值差进行区间估计.,取,于是置信度为,99%,的置信区间为,由此可断言：在99%的置信度下，嗜酒,母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒,的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要,低 2.09 到 39.91,.,故限制显著性水平的原则体现了“保护原假设”的原则.,注,大家是否注意到，在解决问题时，,两次假设检验所取的显著性水平不同.,前者远,在检验方差相等时，取 ;在,检验均值是否相等时取 .,比后者大.为何这样取呢?因为检验的结果与检验的显著性水平 有关.,小，则拒绝域也会小，产生的后果使原假设难以被拒绝.,在 较大时,若能接受 ,说明,为真的依据很充足;同样，在 很小时，,我们仍然拒绝 .说明 不真的理由就,更充足.,说明在所给数据下，得出相应的,本例中,对 ,得出,可被接受,及对 ,可被拒绝,的结论.,结论有很充足的理由.,另外在区间估计中，取较小的显著,若反之,取较小的置信水平，则可,水平 (即较大的置信水平),从而使,得区间估计的范围较大.,减少估计区间的长度，使区间估计精确,提高，但相应地区间估计的可靠度降低,了，即要冒更大的风险.,