常微分方程 §3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程,*,第三章,一阶微分方程的解的存在定理,1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,需解决的问题,1/30/2026,常微分方程,3.1,解的存在唯一性定理与逐步逼近法,1/30/2026,常微分方程,一 存在唯一性定理,1,定理,1,考虑初值问题,1/30/2026,常微分方程,(1),初值问题,(3.1),的解等价于积分方程,的连续解,.,证明思路,(2),构造,(3.5),近似解函数列,1/30/2026,常微分方程,(,逐步求,(3.5),的解,逐步逼近法,),1/30/2026,常微分方程,这是为了,即,1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,下面分五个命题来证明定理,为此先给出,积分方程的解,如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程,.,积分方程,1/30/2026,常微分方程,命题,1,初值问题,(3.1),等价于积分方程,证明,:,即,1/30/2026,常微分方程,反之,故对上式两边求导,得,且,1/30/2026,常微分方程,构造,Picard,逐步逼近函数列,问题,:,这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分,是否有意义,?,注,1/30/2026,常微分方程,命题,2,证明,:,(,用数学归纳法,),1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,命题,3,证明,:,考虑函数项级数,它的前,n,项部分和为,1/30/2026,常微分方程,对级数,(3.9),的通项进行估计,1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,于是由数学归纳法得知,对所有正整数,n,有,1/30/2026,常微分方程,现设,命题,4,证明,:,1/30/2026,常微分方程,即,1/30/2026,常微分方程,命题,5,证明,:,由,1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,综合命题,15,得到存在唯一性定理的证明,.,1/30/2026,常微分方程,一 存在唯一性定理,1,定理,1,考虑初值问题,1/30/2026,常微分方程,命题,1,初值问题,(3.1),等价于积分方程,构造,Picard,逐步逼近函数列,命题,2,1/30/2026,常微分方程,命题,3,命题,4,命题,5,1/30/2026,常微分方程,2,存在唯一性定理的说明,1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,3,一阶隐方程解存在唯一性定理,定理,2,考虑一阶隐方程,则方程,(3.5),存在唯一解,满足初始条件,1/30/2026,常微分方程,三 近似计算和误差估计,求方程近似解的方法,-Picard,逐步逼近法,这里,1/30/2026,常微分方程,注,:,上式可用数学归纳法证明,则,1/30/2026,常微分方程,例,1,讨论初值问题,解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超,解,由于,由(3.19),1/30/2026,常微分方程,1/30/2026,常微分方程,例,2,求初值问题,解的存在唯一区间,.,解,1/30/2026,常微分方程,例,3,利用,Picard,迭代法求初值问题,的解,.,解,与初值问题等价的积分方程为,1/30/2026,常微分方程,其迭代序列分别为,取极限得,即初值问题的解为,1/30/2026,常微分方程,作业,P78 1,3,4,8,1/30/2026,常微分方程,