线性变换的值域与核Y.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,7.6,线性变换的值域与核,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,7.6,线性变换的值域与核,一、,值域与核的概念,二,、值域与核的有关性质,7.6,线性变换的值域与核,提供网站：,7.6,线性变换的值域与核,一、值域与核的概念,定义,1,：设 是线性空间,V,的一个线性变换，,集合,称为,线性变换的值域,，也记作或,集合,注：,皆为,V,的子空间,.,称为,线性变换的核,，也记作,7.6,线性变换的值域与核,有,事实上，且对,即 对于,V,的加法与数量乘法封闭,.,为,V,的子空间,.,再看,首先，,7.6,线性变换的值域与核,又对 有 从而,对于,V,的加法与数量乘法封闭,.,即,故 为,V,的子空间,.,7.6,线性变换的值域与核,定义,2,：,线性变换的值域 的维数称为,的秩,；,的核 的维数称为,的零度,.,例,1,、,在线性空间 中，令,则,所以,D,的秩为,n,1,，,D,的零度为,1.,7.6,线性变换的值域与核,1.,(,定理,10),设是,n,维线性空间,V,的线性变换，,是,V,的一组基，在这组基下的矩阵是,A,，,则,1,）,的值域 是由基象组生成的子空间，即,2,）,的秩,A,的秩,.,二、有关性质,7.6,线性变换的值域与核,证：,1,）,设,于是,又对,有,即,7.6,线性变换的值域与核,的秩，又,等于矩阵,A,的秩,.,故,2,）,由,1,），的秩等于基象组,由第六章,5,的,结论,3,知，的秩,秩 秩,7.6,线性变换的值域与核,2.,设为,n,维线性空间,V,的线性变换，则,的秩的零度,n,即,并把它扩充为,V,的一组基：,生成的,.,证明：设 的零度等于,r,，在核 中取一组基,由定理,10,，是由基象组,7.6,线性变换的值域与核,即 可被 线性表出,.,线性无关,.,但,设,则有,下证 为 的一组基，即证它们,7.6,线性变换的值域与核,设,于是有,由于为,V,的基,.,故 线 性无关，即它为 的一组基,.,因此，的秩,的零度,n.,的秩,n,r,.,7.6,线性变换的值域与核,如在例,1,中,注意：,与 的维数之和等于,n,，但是,未必等于,V.,基的原象与 的基合起来是,V,的一组基,7.6,线性变换的值域与核,),是满射,证明：,),显然,.,3.,设为,n,维线性空间,V,的线性变换，则,),是单射,即,),因为,若 为单射，则,反之，若 任取 若,故是单射,.,则,从而,7.6,线性变换的值域与核,是单射 是满射,.,4.,设,为,n,维线性空间,V,的线性变换，则,证明：是单射,是满射,.,7.6,线性变换的值域与核,例,2,、,设,A,是一个,n,阶方阵，证明：,A,相似于,证：设,A,是,n,维线性空间,V,的一个线性变换 在一,组基 下的矩阵，即,一个对角矩阵,7.6,线性变换的值域与核,由 知,任取 设,则,故有 当且仅当,因此有,又,所以有,从而是直和,.,7.6,线性变换的值域与核,在 中取一组基：,则 就是,V,的一组基,.,显然有，,在 中取一组基,：,用矩阵表示即,7.6,线性变换的值域与核,所以，,A,相似于矩阵,7.6,线性变换的值域与核,线性变换在此基下的矩阵为,1),求 及,2),在 中选一组基，把它扩充为,V,的一组基，,并求 在这组基下的矩阵,.,并求 在这组基下的矩阵,.,3),在 中选一组基，把它扩充为,V,的一组基，,例,3,、,设是线性空间,V,的一组基，已知,7.6,线性变换的值域与核,解：,1,）先求 设 它在,下的坐标为,故,由于 有 在 下的坐标为,7.6,线性变换的值域与核,解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：,从而,是 的一组基,.,由于 的零度为,2,，所以 的秩为,2,，,又由矩阵,A,，有,即 为,2,维的,.,再求,7.6,线性变换的值域与核,2,）因为,从而有,所以，线性无关，,就是 的一组基,.,7.6,线性变换的值域与核,而,可逆,.,从而，线性无关，即为,V,的一组基,.,在基 下的矩阵为,7.6,线性变换的值域与核,3,）因为,可逆,.,而,7.6,线性变换的值域与核,从而 线性无关，即为,V,的一组基,.,在这组基下的矩阵为,7.6,线性变换的值域与核,作业,P,323,14.,7.6,线性变换的值域与核,