第06讲～第07讲--第03章：多自由度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章：多自由度系统的振动,结构动力学,第一部分：振动基础理论,2011,年,4,月,8,日,上课内容,3.1,前 言,实际工程中，大量的振动问题都属于多自由度系统的振动问题。,本章讨论的系统只限于具有具有,完整约束和理想约束,的系统。这类系统中广义坐标的个数等于系统的自由度数目。,具有不完整约束的系统，其广义坐标数不等于系统的自由度数，而大于系统的自由度数。,多自由度系统的自由度数等于描述该系统运动状态所必需的最少独立坐标数；,n,个自由度的动力系统的振动，就需要,n,个独立坐标来描述。通常使用广义坐标。,3.1,前 言,完整约束：约束方程中显含时间变量,t,，但不包含坐标对时间的导数。,理想约束：所有约束反力在虚位移上所作的元功之和为零。,多自由度系统中二自由度系统最简单，其振动特性与多自由度系统没有本质区别。因此，分析多自由度系统的振动问题主要以二自由度系统来进行说明；,3.2,运动方程的建立,方法：,采用分析力学的方法。从能量观点和系统的总体出发，利用拉格朗日方程来导出多自由度系统的运动方程,坐标：,采用广义坐标。任何一组足以确定系统运动状态的独立变量。,广义坐标,在复杂系统中不一定具有明显的物理意义。,描述动力学系统状态的广义坐标是随时间而变化的。,广义坐标对时间的一次导数称为,广义速度,。,广义坐标对时间的二次导数称为,广义加速度,。,多自由度系统的动力分析，用广义坐标描述系统的运动，表示系统的动能、势能、功等标量以及它们之间的关系。,设系统有,n,个自由度。,用坐标向量 来表示,n,维空间任意一点,i,的位置,。,设,n,个广义坐标为：,系统中任意一点 的位置可表示为：,(3-1),一,.,虚位移原理与广义力,对于定常约束情况，不显含时间,t,，所以有：,所以有：,(3-2),其中 为广义速度，即：,一,.,虚位移原理与广义力,虚位移的概念：,虚位移是系统约束所许可的坐标的微小改变量，它不一定是真实的位移。,虚位移是假想的坐标的瞬时改变量，与时间无关。,系统内任一点,i,的虚位移用 表示。,(3-3),将,(3-3),式代入,(3-4),得：,设系统中任意一点,i,上作用的主动力的合力为 ，则其主动力的虚功可表示为：,虚位移原理：,在理想约束下，质点系平衡的必要而充分条件是,所有主动,力在虚位移上所作的元功之和等于零。,(3-4),Q,j,-,叫做对应广义坐标 的广义力，,Q,j,的量纲和 的量,纲有关。它是由 乘积的量纲必须是功的量纲来,决定。,(3-5),改变求和顺序即可得到主动力以广义坐标表示的虚功之和为：,式中：,(3-6),根据虚位移原理有：,(3-7),由于 ，所以必有,(3-8),上式说明：在理想约束条件下，,n,个自由度系统平衡的充分,和必要条件是,n,个广义力必须等于零。,1,、动 能,即：,(3-9),将,(3-2),式代入,二,.,动能与势能,系统的总动能为,(3-11),可见广义质量是广义坐标的函数。将广义质量在平衡位置附近安台劳级数展开，可得：,其中,-,广义质量系数，且,(3-10),由于是微振动广义坐标是偏离平衡位置的小量，在动能表达式（,3-9,）式中只需保留二阶小量的各项，所以在（,3-11,）式中只需保留第一项。这样本来是广义坐标函数的广义质量现在变成了在平衡位置取值的常数。即取：,最后得系统的动能表达式：,(3-12a),式中：,-,广义速度列阵；,-,广义质量矩阵；且,(3-12b),系统动能的矩阵表达式为：,在定常约束下，动能,T,是广义速度 的二次函数。,动能总是大于零的，有恒正的性质。,质量矩阵,M,是正定的，动能函数,T,是正定二次型。,动能特点,根据理论力学：在势力场中，由选定参考基准位置经任意路径到达另一位置时，势力所做的功的负值，即为所到达位置的势能。由于势能是位置的单调函数，所以可以用,n,个独立的广义坐标来表示，即：,2,、势 能,根据虚功原理，在势力场中，系统平衡的充分必要条件是系统的,n,个广义力必须为零，即：,(3-14),(3-13),设系统的虚位移为 ，则在势力场中，势力所做的虚功，也就是对应的势能增量为：,(3-15),将势能在平衡位置附近按台劳级数展开，得：,在微振动理论中，通常取静平衡位置为广义坐标 的原点，所以有：,(3-16),因取平衡位置为广义坐标原点，根据,（,3-15,）,式，上式第一项为零。由于广义力是在平衡位置取值，根据,（,3-14,）,式，上式的第二项为零。由于是在平衡位置附近的微振动问题，所以保留势能表达式中的二阶项就足够了，所以可以取势能表达式为：,(3-17),-,刚度系数，,是势能对广义坐标的二阶导数在平衡位置取值。,(3-18),将系统势能表达式（,3-17,）式用矩阵形式表示，则有：,(3-19),式中：,-,广义坐标列阵；,-,广义刚度矩阵；且,系统弹性变形所储存的势能总是大于零的，所以系统的势能是正定二次型，对应的刚度矩阵,K,也是正定的。,若系统中的某些广义坐标 有刚体位移，则系统就可能存在某些 不等于零时而系统的势能却为零的情况。这种情况下，系统的势能,U,是半正定的，对应的刚度矩阵,K,也是半正定的。,三、拉格朗日方程,-(3-20),普遍意义的拉格朗日方程。,-,是包含系统中所有主动力的贡献，一般包括：有势力、阻尼力和外作用力。,(3-21),动力学普遍方程,：在理想约束下，作用在系统上的所有主动力和惯性力在任意瞬时虚位移 上所做的虚功之和等于零,。即：,三、拉格朗日方程,当主动力仅为有势力时，可得到,保守系统的拉格朗日方程,。,(3-22a),引入,L=T-U(,称为拉格朗日函数或拉格朗日算子,),，则上式可改写成：,(3-22b),或,当主动力为有势力、阻尼力和外激励力时，则该,非保守系统的拉格朗日方程,为：,和,-,分别表示与阻尼力和外激振力相对应的广义力。,(3-23a),(3-23b),关于广义阻尼力,(3-24a),取阻尼为粘性阻尼。引入,瑞利耗散函数,D,，定义 为：,或写成矩阵形式,(3-24b),式中,-,阻尼系数，表示在质点,k,处产生 方向的单位速度，而其余各质点广义速度均为零时，沿 方向所必须具有的外力。且 。,C-,阻尼系数矩阵，一般为正定的对称矩阵。,按照动能势能的分析方法，利用虚位移原理可导出广义阻尼力为：,具有耗散函数的非保守系统的拉格朗日方程。,(3-25),通常情况下，势能应包括重力势能和弹性势能，但因为系统的受力分析中其位移是从重力平衡位置算起的，又考虑到系统是平衡位置附近的微幅振动，所以在建立系统的振动方程时可以不考虑重力势能产生的影响。,设有,n,个自由度的定长约束的理想系统。作用在系统上的力有势力，还有非势力的外激振力和阻尼力，当系统在平衡位置附近作微幅振动时，有：,四、多自由度系统的运动方程,系统的动能,或,系统的势能,或,耗散函数,或,式中，,Q,F,表示外激励力列阵对应的,广义力列阵,。若没有外激励力，则可得出多自由度系统,有阻尼自由振动方程,：,将上面三式代入具有耗能函数的非保守系统的拉格朗日方程（,3-25,）式，得出用矩阵表示的多自由度系统运动方程的一般形式，为：,四、多自由度系统的运动方程,(3-26),(3-27),3.3,无阻尼自由振动,无阻尼自由振动方程：,(3-28),通常质量矩阵,M,和刚度矩阵,K,为非对角矩阵，非对角线上的元素即是,耦合项,。,一、主坐标,惯性耦合：,亦称为,动力耦合，,耦合项中有广义加速度，质量矩阵为非对角矩阵。,质量矩阵,M,和刚度矩阵,K,中是否具有耦合项，耦合的程度与选取的,广义坐标,有关。,弹性耦合：,亦称为静,耦合，,耦合项中有广义位移，刚度矩阵为非对角阵。,解耦,：通过坐标变换，或直接选取合适的广义坐标系，消除运动方程中的,耦合项。,主坐标,：能够使多自由度系统运动方程解,耦的一组广义坐标系。,二、主振动,m,1,m,2,k,3,k,2,k,1,x,2,x,1,考虑图示二自由度系统，广义坐标为：,根据牛顿定律例出自由振动方程：,方程属于静耦合情况。设其解为：,代入运动方程得：,有非零解的条件是，上式 的系数行列式为零。即：,即：,(3-30),(3-29),称为特征行列式。,方程（,3-30,）称为,频率方程,或,称为,特征方程,。其两个特征根为：,(3-31),(3-30),讨 论 分 析,1.,都是正实根。,因为 ，所以 。,只是改变了（,3-31,）式中 的符号，不是新解，所以频率方程只 有两个正实根（实数解）。,因为 ，所以（,3-31,）式中的根式开方后的值总是小于 。所以保证了 。,讨 论 分 析,2.,只取决于系统固有的物理性质 ，故称之为系统的,固有,(,园,),频率,。,基频,(,第一阶固有频率,)-,习惯上称多自由度系统的最小的固有频率叫基频。,多自由度系统的固有频率从小到大排列，依次称之为系统的,第一阶、第二阶、,、第,n,阶固有频率,。,3.,振幅比,将 分别代回（,3-29,）式，虽然不能求出 的具体数值，但对应两个不同的频率可以求出 之间的两个固定比值，称此两个比值为对应于频率 的振幅比,。且：,(3-29),固有动力特性：是指系统的固有频率及固有模态。,由上式可以看出：,称此形态为主振型或主模态（通常简称为振型或模态）,亦称之为固有振型或固有模态,振幅比只与系统特性有关，与初始条件无关，对于固定的固有频率其值是一定的。,振幅比反映了系统整体振动形态，对应一个固有频率便有一个固定的振型与之对应。,主振型按照固有频率的阶次从小到大依次称之为第一阶（主）振型（模态），第二阶振型，以此类推。,为了形象地描述振型，对振型通常加以形象命名。如：机翼一弯、一扭等。,对于本例有,4.,主振动,：,系统体某一阶固有频率按其主振型振动。,第一阶主振动为：,第二阶主振动为：,结论：系统的主振动是以确定的频率和振型作简谐振动。各质点同时经过静平衡位置，同时达到最大偏离位置。,本例运动方程的通解可以写成两个主振动的叠加，,所以有：,引入振幅比，并将其中一个振幅化为,1,，以便于观察与比较主振型，这种处理方法称为,正规化,。对上式（运动方程的解的表达式）进行正规化处理后得：,-,模态向量或主振型,.,-,模态矩阵，是各阶主振型按列排列而成,.,-,主坐标；,-,主坐标列阵,5.,若在本例中取,则：,得模态向量：,以横座标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表示各点振幅比，则可绘出系统的主振型图，如下所示。,1,x,1,第一阶（主）振型图,振型图中，在弹簧,k,2,所在区间内有一点在振动中始终保持不动，该点叫做,节点,。,节点,：主振型图中始终保持不动的点。,1,x,1/2,第二阶（主）振型图,节点,三、无阻尼自由振动,无阻尼自由振动方程（,3-28,）式为：,设刚度矩阵,K,是正定的，则系统的柔度矩阵为：,（,3-28,）式左乘,K,-1,得：,（,3-28,）式左乘,M,-1,得：,(3-31a),(3-31b),令：,矩阵 和 综合了系统的质量和刚度特性，所以称之为系统的,动力矩阵,。于是运动方程（,3-31a,）和（,3-31b,）可改写为：,(3-32a),(3-32b),上两式为二阶常系数线性齐次方程组，可设其特解为：,(3-33),其中：,-,模态向量，。,令：,(3-34),将方程解的表达式（,3-33,）式代入方程（,3-32a,）和（,3-32b,）式，得：,(3-35a),(3-35b),上面（,3-35a,）和（,3-35b,）两式有非零解的条件是：,(3-36a),(3-36b),方程（,3-35a,）和（,3-35b,）即是：系统不同形式的,特征方程，,亦称之为系统的,频率方程。,分 析 讨 论,特征方程（,3-36a,）或（,3-36b,）展开后是一个关于,的,n,次代数方程，所以必有,n,个根（解），称之为,特征值,，分别设为：。求出,n,个特征值,后，根据（,3-34,）式、求出系统的,n,个固有频率,。,对于任意非零向量 ，因为,M,是正定的，,K,是正定的或半正定的，有：,由上面（,3-37,）、（,3-38,）式可知：即,(3-37),方程（,3-35a,）左乘 得：,(3-38),正定系统的特征值（系统的频率）一定是正数。,半正定系统的特征值（系统的频率）一定是正数或零。,正定系统：刚度矩阵是正定的系统,半正定系统：刚度矩阵是半正定的系统,即：,由,频率方程,(3-36a),或,(3-36b),式求出,n,个固有频率,(,特征值,),；将,特征值,代入,(3-35a),或,(3-35b),式。求对应的,n,个主振型,(,特征向量,);,将特征值和特征向量代入,(3-33),式即可得到,n,个特解,，将他们叠加起来即可得到系统的,通解,：,其中：,(3-39),(3-39),式共有,2n,个待定常数,，其中：,n,个初相位：,n,个振幅：,将初始条件（,3-40,）代入（,3-39,）式，即可求出,2n,个待定常数，,所以方程有唯一解,。,初始条件共有,2n,个，即：,(3-40),由于各主振动的固有频率不都相等，故通解所表示的,合成振动不再是简谐振动,。,四、主振型的正交性,正交性是主振型的重要性质。利用这一性质进行坐标变换，可以实现运动方程的解耦,第,j,阶主振型方程为：,(3-42),第,i,阶主振型方程为：,(3-41),（,3-41,）式左乘 得：,（,3-42,）式左乘 得：,(3-43),(3-44),将（,3-43,）式两边转置，得：,(3-45),（,3-45,）式减去（,3-44,）式得：,(3-46),(3-47),同理可得，当 时：,(3-48),（,3-47,）和（,3-48,）两式说明：主振型对于质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。,(3-44),当 时：,由（,3-49,）式得：,设质量矩阵,M,和刚度矩阵,K,都是正定的，故可取：,对,(3-41),式两边左乘模态向量 得：,(3-50),(3-49),M,i,-,第,i,阶主质量或广义质量,，,K,i,-,第,i,阶主刚度或广义刚度,。,(3-51),即：第,i,阶特征值（频率）等于第,i,阶主刚度（广义刚度）与主质量（广义质量）之比。,第,i,阶主振型方程为：,(3-41),运动方程的解耦,M,n,-,主质量矩阵或称广义质量矩阵,取模态矩阵,，则有：,(3-52),K,n,-,主刚度矩阵或称广义刚度矩阵,(3-53),结论：利用模态矩阵,作为坐标变换矩阵对运动方程进行坐标变换，即可实现运动方程的解耦。,方程解耦以后即可按单自由度系统对,n,个独立的运动方程进行求解。,多自由度无阻尼运动方程的解耦求解步骤：,运动方程：,（,p,为经过,变换后的新坐标）,取坐标变换：,主坐标变换,：可以使运动方程解耦的坐标变换叫做主坐标变换。,将坐标变换代入方程，得：,即：,上式两边左乘模态矩阵的转置矩阵，得：,或写成,：,(3-54),上式表明：广义坐标,q,广义坐标,p,原来耦合的运动方程 非耦合的,n,个独立的运动方程,五、模态的正规化和正规坐标,模态（振型）的正规化方法通常有两种：,设定某一质量点的振幅为,1,特定坐标的振型正规化,。,设定每一振型中的数值最大的振幅为,1,。,结构分析中最常用的正规化方法是：,模态矩阵,正规化模态矩阵,用,进行坐标变换,使,求解步骤：,计算各阶振型的主质量；,求解第,i,阶正规化振型 即：,求解系统的各阶主振型；,构造正规化模态矩阵,这样既有：,其中：为单位矩阵，为对角阵，且：,(3-55),(3-56),(3-57),对广义坐标 进行坐标变换，即取：,代入运动方程，得：,上式两边前乘 ，得：,(3-58),或：,(3-59b),即：,(3-59a),其中：,-,正规坐标系下的初始位移；,-,正规坐标系下的初始速度。,根据单自由度振动理论，在正规系下，第,i,阶无阻尼自由振动的响应为：,(3-60),坐标变换（,3-58,）式 所表示的坐标变换即称为,正规坐标变换。,坐标向量,-,即称为,正规坐标向量。,以上使运动方程解耦的方法，叫做,模态分析法。,求出 以后即可得到正规坐标向量 ，代入（,3-58,）式即可得出原广义坐标系（物理坐标系）下的响应 。即：,(3-61),总结：,正规坐标变换,主坐标变换,正规坐标系下的响应,主坐标系下的响应,按,(3-61),式叠加得物理坐标系下的响应,使运动方程解耦,振型叠加,振型叠加法或模态叠加法,例题：,3-2,图示二自由度系统，,已知：弹簧刚度,滑车质量,不考虑阻尼,求：试对系统进行正规坐标变换,k,0,m,m,k,k,x,1,x,2,0,3.4,半正定系统,半正定系统的主要特征是：系统存在着刚体运动（位移）,系统的刚体位表现在：系统的刚度矩阵是半正定的,系统有零频率,系统的势能函数是半正定二次型,系统的零频率对应的模态为零模态。零模态下的刚体运动要求各广义坐标必须相等。即：,结构动力学所研究的是系统的弹性运动，不关心系统的刚体运动。由于半正定系统在运动方程的求解时容易出现问题，所以通常在这类问题的分析求解时应先,将半正定系统转化成正定系统,，然后再进行求解。,以下介绍,将半正定系统转化成正定系统,两种常用的方法,。,当 时，对应的,且,一、缩减系数坐标法,思路：,利用主振型（模态向量）的正交性，将半正定系统的零模态向量消除掉，从而使系统成为正定系统。具体做法分析如下：,根据模态的正交性有：,通过坐标变换使质量矩阵,M,变成对角阵，则根据上式有：,（,3-62,）式即是将零频率对应的模态清除掉的约束方程。,将上式展开，得：,(3-62),例题：,3-3,图示导弹分析模型,已知：弹簧刚度,质量,不考虑阻尼,求：导弹轴向固有振动特性,k,m,k,k,x,4,x,2,m,m,m,x,3,x,1,二、移 频 法,由特征方程,将上式两边同时加上 得：,因为 是正定的，所以 也是正定的,(3-64),则有：,上式所表示的新系统是一个正定的系统，其特征值与原问题特征值相差 。所以求出 即可以得到原系统的特征值和特征向量（即频率和模态）。,令：,(3-63),3.5,瑞利,李兹法,瑞利,李兹法是建立在能量法基础上的用于计算固有频率的一 种近似解法,多自由度无阻尼线性系统以特定频率 作主振动时，系统在平衡位置附近作简谐振动。此时，相应的,广义坐标,列阵 可以表示成：,一、瑞利商,相应的,广义速度,为：,在此情况下的最大动能和最大势能为：,系统作主振动时，机械能守恒，所以由,得：,在已知系统的质量矩阵和刚度矩阵的前提下，只要知道系统的第,r,阶主振型 就可以的到相应的固有频率 。,(3-65),定理：假设振型 逼近系统的第,r,阶振型的过程既是瑞利商取极小值的过程，此极小值既为系统的第,r,阶固有频率的平方 ，且 。,假设一振型向量 是一个很接近实际振型向量 的向量。则令：,(3-66),即是 的近似值，称其为,瑞利商。,瑞利商（瑞利法）,一次只能求解除一个频率,，主要用来求解低阶频率，特别是第一阶频率,二、瑞利,李兹法,瑞利,李兹法,主要用来求解多个频率，包括高阶频率。,瑞利,李兹法,是一种缩减系统自由度的近似解法。,取有限个,独立向量,的,线性组合,来表示,n,个自由度系统的,假定振型,。即设：,其中,-,变换矩阵；,-,待定系数列阵，通过瑞利商的极值性质决定。,(3-67),广义质量矩阵：,广义刚度矩阵：,取：,可得：,上式是一个以 为未知数的,S,元,齐次方程组,，要满足非零解的条件，其系数行列式必须为零，由此得,频率方程,：,(3-68),(3-69),(3-70),上面（,3-70,）式说明，,瑞利,李兹法,实际上是把,n,个自由度系统缩减成用,s,个,广义坐标及相应假定（设）振型表示的,s,个自由度的系统,。,由于,s,远小于,n,，所以求解的工作量大为减小。在求解出的,s,个固有频率近似值中，,一般最前面的若干个频率准确度较高,。因此，如果要求解,r,个固有频率，,通常可取,s=2r,即可,，如此求出的,r,个频率完全可以满足工程分析的需要。,同,瑞利法,一样，用,瑞利,李兹法,（也可简称,李兹法,）求得的固有频率近似值总是,比精确值偏高,。这是因为，用李兹法相当于,给系统施加了,（,n-s,）,个约束,。,也可以采用,柔度系数表示的瑞利商,。可以采用同样的方法进行推导，这时,K,R,、,M,R,和频率方程将有不同的形式。,2010,年,4,月,23,日,上课内容,3.6,系统对初始条件的响应,分析系统对初始条件的响应的步骤：,求解系统的固有特性，即固有频率和固有振型；,求出正规坐标变换矩阵或主坐标变换矩阵；,对耦合形式的无阻尼自有振动方程进行正规坐标变换或主坐标变换；,将原广义坐标系下的初始条件进行正规坐标变换或主坐标变换，得出,2n,个初始条件表达式。,求出,2n,个新坐标系下的初始条件后，即可得到系统对初始条件的响应。,正规坐标变换：,对主坐标变换：,对半正定系统，在,n,个主振型当中有一个或几个固有频率为零，它们相应的一个或几个主振动响应的格式为：,(3-73),(3-71),(3-72),例题：,3-4,图示简化飞机模型。,M,为机身部分等效质量，,m,为机翼部分等效质量。,已知：机翼机身之间用均匀无质量梁连接，弯曲刚度为,EJ,。设,M=m,；不考虑阻尼。,求：系统在铅锤平面内做弯曲振动的固有动力特性,系统对初始条件,的自由振动响应,l,l,y,1,y,2,y,3,M,m,m,3.7,多自由度系统的阻尼,阻尼系数确定主要有三种方法：,理论分析，经验公式推算，直接试验测定。,考虑粘性阻尼的多自由度系统的自由振动方程：,阻尼矩阵为对称正定矩阵,，一般可表示为：,(3-74),(3-75),对（,3-74,）式进行正规坐标变换，得：,(3-76),(3-77),正规坐标系下的阻尼矩阵，且,:,一般情况下 不是对角阵，所以方程（,3-76,）式所表示的是一组速度项相互耦合的运动方程。称为,阻尼耦合,。,与质量矩阵或刚度矩阵,(,或是二者的组合,),成正比的阻尼，称为,比例阻尼,。比例阻尼也称为,线性阻尼,。其表达式为：,(3-78),其中 为比例常数。,将,(3-78),式经正规变换后代入方程,(3-76),得：,(3-79),(3-80),1.,比例阻尼,显然原方程得以解耦。（,3-79,）或（,3-80,）式中的每一个方程可分别作为单自由度系统进行求解，系统总的响应则是这些响应的叠加。,2.,振型阻尼（模态阻尼）,基本思想：直接假设 的非对角元素为零。即：,正规振型阻尼矩阵；,第,i,阶正规振型的阻尼系数。,(3-81),这种方法阻尼处理的条件：,系统的各界频率互不相等；相邻频率之间 差值较大；系统的阻尼较小，即弱阻尼。,令：,第,i,阶正规坐标系下的振型阻尼比,所以得：,(3-82),(3-83),一般规定 为弱阻尼系统,用该方法处理阻尼即称为振型阻尼。,由：,得原阻尼矩阵为：,(3-84),(3-85),将 的表达式（,3-83,）代入上式，得：,上式即是通过,振型阻尼法,确定的系统的,阻尼系数,。在实际问题分析当中，通常不需要把所有的正规振型全考虑进去，只需要考虑,前若干阶基本振型与相应的固有频率,即可。这样相当于假设系统的高阶振型阻尼值为零。,3.,粘性阻尼系统的复模态方法,基本思想：,n,个耦合的,运动方程,2n,个一阶非耦合的运动微分方程,2n,个特征值的特征方程,复模态,矩阵,运动方程,解耦,引入状态向量,Y,将,n,阶有阻尼自由振动方程（,3-74,）式改写成：,(3-86),这里矩阵,M,、,C,、,K,都是,n,阶对称方阵。引入,2n1,阶,状态向量,，令,令：,(3-88),(3-87),则（,3-86,）式可写成：,(3-89),这样原坐标系下的,n,个二阶运动方程被转化成上式所表达的,2n,个一阶方程。,上面（,3-89,）式称为,状态方程,。,根据微分方程理论，上式的解可假设为：,式中 为复数，为具有复数元素的,2n,1,阶的模态向量。代入,(3-90),式,(3-90),(3-91),(3-89),(3-92),得：,则相应的,特征方程,为：,(3-93),(3-94),由特征方程（,3-93,）式可解得复共轭形式的,2n,个特征值。将此,2n,个复特征值代入（,3-92,）式即可得到,2n,个相应的特征向量（模态向量），将这,2n,个模态向量组合起来，即可得到,复模态矩阵,。,同样可以证明，模态向量 对矩阵 是正交的。即：,(3-95),，（,3-95,）中的两式不再等于零。所以有：,(3-96),根据正交特性，引入新的状态变量,Z,，并令：,(3-97),将（,3-97,）式代入（,3-89,）式，得：,(3-98),上式左乘 ，得：,(3-99),上式是一组非耦合的,2n,个一阶微分方程，可以分别进行求解。至此运动方程得以解耦。,求出状态向量,Z,以后，由（,3-97,）式求出状态向量,Y,，最后可由（,3-87,）是求得广义坐标响应,q,。,(3-89),第三章 结 束,