第3章 基于反馈结构的二阶有源RC滤波电路的分析与设计(放映).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,现代电路理论与设计,第章,基于反馈结构的二阶有源,RC,滤波电路的分析与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,1,两个输入端口的输入阻抗均为无穷大。即同相端和反相端都没有电流（,I,1,=I,2,=0,）,(,虚断,),；,2,增益为无穷大。从而使两个输入端之间的电压,Va,等于,(,虚短,),；,输出阻抗为。即输出电压与输出电流无关。,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,3.1.1,理想运算放大器,理想运算放大器工作在线性区域时，具有如下特性：,_,+,V,o,V,a,I,1,I,2,+,V,i,R,2,_,+,V,o,R,1,R,3,+,V,i,R,2,_,+,V,o,R,1,R,3,R,2,_,+,V,o,R,1,R,3,+,V,i1,+,V,i2,反相比例运算电 路,同相比例运算电 路,差分电路,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,3.1.2,理想运算放大器的应用,例,3-1,由运算放大器组成的放大电路如图所示。,(1),求电压增益的表达式；,(2),若,R,1,=51k,，,R,2,=R,3,=390k,。当,v,o,=-100vi,时，求,R,4,=?,R,1,v,i,R,2,v,o,-,+,i,1,i,2,R,3,R,4,N,M,i,3,i,4,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,解：,(1),求电压增益的表达式,列节点,N,和,M,的节点方程：,，即,，即,解上述方程得：,电压增益为：,R,1,v,i,R,2,v,o,-,+,i,1,i,2,R,3,R,4,N,M,i,3,i,4,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,（,2,）求,R,4,即,求得：,R,4,=35.2k,R,1,v,i,R,2,v,o,-,+,i,1,i,2,R,3,R,4,N,M,i,3,i,4,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,例,3.2,图,3.11,是一个由集成运放组成的仪器放大器，试分析：,(1),电路的结构和作用；,(2),电路输出电压与输入电压的关系式。,v,1,v,2,R,1,R,2,R,2,A,2,R,3,R,3,R,4,R,4,-,v,3,v,3,-,v,4,v,4,A,1,A,3,+,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,解：（,1,）电路的结构和作用,运算放大器,A,1,、,A,2,组成第一级差分放大电路。,R,1,和,R,2,组成反馈网络，引入负反馈以保证两个运算放大器工作在线性状态。运算放大器,A,组成第二级差分放大电路，实现对第一级差分放大器输出信号,v3,、,v,4,的相减运算,；,v,1,v,2,R,1,R,2,R,2,A,2,R,3,R,3,R,4,R,4,-,v,3,v,3,-,v,4,v,4,A,1,A,3,+,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,（,2,）,电路输出电压与输入电压的关系,利用虚短特性可得电阻,R,1,上的电压降为,v,1,v,2,。由于理想运放具有虚断特性，流过,R,1,上的电流,(,v,1,v,2,)/,R,1,就是流过电阻,R,2,上的电流。即：,v,1,v,2,R,1,R,2,R,2,A,2,R,3,R,3,R,4,R,4,-,v,3,v,3,-,v,4,v,4,A,1,A,3,+,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,由,A,3,、,R,3,、,R,4,组成差动放大器，电路的输出电压与输入电压的关系为：,v,1,v,2,R,1,R,2,R,2,A,2,R,3,R,3,R,4,R,4,-,v,3,v,3,-,v,4,v,4,A,1,A,3,+,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,例,3-3,求图示网络的增益,V,o,/V,i,。,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,解：运放,1,由两个信号驱动，一个是输入信号,V,i,，另一个是输出信号,V,o,经运放,2,放大以后的一部分信号。它的输入为这两个信号之差。,运放,2,的输入信号是,V,o,，其输出为,-(R,2,/R,1,)V,o,。,于是，图,(a),可以简化为图,(b),。,(b),(a),电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,因为,I,a,=0,，所以电阻,R,4,上的电压为：,因为,V,a,=0,，所以电阻,R,4,上的电压必须等于输入电压,V,i,：,求得增益为：,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,例,3.4,差动式积分运算电路如图所示。设运算放大器是理想的，电容上的初始电压等于零，且,C,1,=,C,2,=,C,，,R,1,=,R,2,=,R,。求该电路的输出电压和输入电压的关系。,C,1,-,v,i1,R,1,+,i,C,v,o,v,i2,R,2,v,N,v,P,C,2,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,解：输入电压,v,i2,单独作用即,v,i1,=0,时，电路为同相积分器电路。设此时的输出为,v,o2,，于是有：,因为,1/s,表示积分，所以有：,C,1,-,v,i1,R,1,+,i,C,v,o,v,i2,R,2,v,N,v,P,C,2,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,同理，当输入电压,v,i1,单独作用即,v,i2,=0,时，电路为反相积分器电路。设此时的输出为,v,o2,，于是有：,可见，此电路实现了差分式积分输出。,C,1,-,v,i1,R,1,+,i,C,v,o,v,i2,R,2,v,N,v,P,C,2,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,当输入电压,v,i1,和,v,i2,共同作用于该电路时，其输出,v,o,为：,例,3-5,差动放大电路如图所示。,（,1,）当,V,2,分别等于,0,、,V,1,、,-V,1,时，求从,V,1,看进去的阻抗；,（,2,）当,V,1,分别等于,0,、,V,2,、,-V,2,时，求从,V,2,看进去的阻抗。,-,kR,V,o,I,1,R,I,2,+,V,1,R,+,V,2,a,b,kR,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,解：（,1,）为了求从,V,1,看进去的阻抗,Z,1,，必须计算,I,1,其中,I,1,与,V,1,和,a,点的电压有关。,a,点的电压与,b,点的电压相等,.,于是有：,V,1,提供的电流,I,1,为：,于是，可以求出,Z,1,：,-,kR,V,o,I,1,R,I,2,+,V,1,R,+,V,2,a,b,kR,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,V,2,分别等于,0,、,V,1,、,-V,1,时，求从,V,1,看进去的阻抗,Z,1,分别为：,（,2,）为了求从,V,2,看进去的阻抗,Z,2,，必须计算,I,2,。因为,b,点通过电阻,KR,接地,所以,I,2,与,V,1,无关。于是,当,V,1,分别等于,0,、,V,2,、,-V,2,时，求从,V,2,看进去的阻抗都相等,。,为：,-,kR,V,o,I,1,R,I,2,+,V,1,R,+,V,2,a,b,kR,V,1,=V,2,的情况下，阻抗,Z1,达最大值。,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,例,3-6,由运算放大器组成的放大电路如图,3-2,所示,调整电位器可使放大器的增益在,-10,到,+10,之间变化。,(a),求,r,1,和,r,2,的值；,(b)k,为何值时放大器的增益等于零？,(c),将求出的值转换为实际值。,r,1,r,2,K10,(1-K)10,10,+,V,i,1,1,2,11,_,+,+,V,o,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,解,：,(1),求,r,1,和,r,2,的值,因为图,(a),中信号源,V,i,的内阻为零，故可以将它改画为图,(,b)(c,),r,1,r,2,K10,(1-K)10,10,+,V,i,1,1,2,11,_,+,+,V,o,11,r,1,r,2,K10,(1-K)10,1,1,_,+,+,V,o,+,V,i,+,V,i,2,r,1,r,2,K10,(1-K)10,10,+,V,i,1,1,2,11,_,+,+,V,o,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,(a),(b),(c),为了简化电路，根据戴维宁定理，将图,(c),改画,为图,(d),11,r,1,r,2,K10,(1-K)10,1,1,_,+,+,V,o,+,V,i,+,V,i,2,11,r,2,K10,(1-K)10,1,1,_,+,+,V,o,2,r,1,+,(c),(d),电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,由图,(d),可以求出电路的反向增益,G,-,和同相增益,G,+,:,11,r,2,K10,(1-K)10,1,1,_,+,+,V,o,2,r,1,+,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,由叠加原理得,：,11,r,2,K10,(1-K)10,1,1,_,+,+,V,o,2,r,1,+,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,在,k=0,的极端情况下，上式中第一项最大，第二项最小。因此，输出最负，于是有：,由此求得：,r,2,=10/11,r,1,r,2,K10,(1-K)10,10,+,V,i,1,1,2,11,_,+,+,V,o,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,在,k=1,的极端情况下，输出最正，于是有：,由此求得,：,r,1,=20/99,。,r,1,r,2,K10,(1-K)10,10,+,V,i,1,1,2,11,_,+,+,V,o,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,（,2,）,k,为何值时放大器的增益等于零？,将,r,1,=20/99,、,r,2,=10/11,代入,G(k,),的表达式，得：,令,G(K)=0,可求得增益等于零时的,k,值：,k=24/145,。,得：,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,（,3,）将求出的值转换为实际值。,如果,V,i,超过数十毫伏，则图,3-2,中的电流很大，从而对信号源和运放的输出增加不必要的负担，运算放大器可能过激励。为了解决这一问题，将图中各电阻乘以,1000,。因为阻抗的定标并不影响电压比，所以增益的表达式不变。,这一问主要是为了使学生了解运算放大器电路中实际元件值的实际范围。,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,在以上讨论中，都假定运算放大器工作在线性状态。,实际的运算放大器的工作状态有三种：,线性状态；,出现振荡；,饱和状态。,如果运算放大器工作在饱和状态或出现振荡，则上面讨论的方法不在适用。,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,判断算放大器到底是否工作在线性状态的简单方法是：搭建电路并测试它。例如，对于反相运算放大电路，如果它工作在线性状态，则其输入和输出的关系为：,如果测得的结果符合上述关系，则证明运算放大器工作在线性状态；,如果输入为直流电压，而测得的输出是正弦波，则证明运放大器出现振荡；,如果无论输入怎么变化，测得的输出都是一个固定不变的直流电压，则证明运放大器工作在饱和状态。,电路理论与设计,3.1,理想运算放大器及其应用,3.2,实际运算放大器对电路性能的影响,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,3.2.1.,实际运算放大器的单极点模型,1,实际运算放大器和理想运算放大器的不同,:,(1),增益不再是无穷大而是与频率有关,即,A(s,).,(2),输入电压不再是零而是,V,a,(s,).,(3),输出电压也是频率的函数,V,o,(s,)=,A(s)V,a,(s,),.,实际运算放大器的符号如图,3-8(a),所示。改进模型如图,3-8(b),所示,.,它是理想化模型的改进。,(a),电路符号,(b),等效电路,Vo(s,)=,A(s)V,a,(s,),_,+,A(s,),I,1,=0,I,2,=0,V,a,(s,),1,2,+,V,o,(s,),_,3,+,3,1,2,V,a,(s,),电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,2,实际运算放大器的单极点下降模型,运算放大器的频率特性：,一个实际的运算放大器的频率特性如图所示,A,0,1,0,|,A(j,)|,A,0,0,0,A,0,0,20logA,0,|,A(j,)|/dB,3dB,-6dB/,倍频程,-20dB/,十倍频程,实际的运算放大器的频率特性具有归一化的,6dB/,倍频程或,20dB/,十倍频程下降的特性。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,运算放大器的,这种特性是由运算放大器及其它的内部或外部的频率补偿网络共同实现的。,采用内部补偿的运算放大器使用起来比较方便。采用内部补偿的运算放大器具有更大的使用灵活性，可以增大运算放大器的工作频率范围。,实际运算放大器的缺点，恰恰就是因为,A(s,),、,V,a,(s,),、,V,o,(s,),都与频率有关。,其它新型的有源器件如电流传送器等,恰恰就是为了克服这些缺点的。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,单极点下降模型：,工作在小信号状态下的运算放大器，其实际的增益,(s),可以用一个主导极点表示，即,式（,3,-1,）称为实际运算放大器的单极点下降模型。它的幅度和相位特性如图,3,-9,所示,.,0,A,0,1,0,|,A(j,)|,0,A,0,0,20logA,0,|,A(j,)|/dB,A,0,0,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,0,A,0,1,0,|,A(j,)|,0,A,0,0,20logA,0,|,A(j,)|/dB,A,0,0,S=0,时,:,A(s,)=A,0,S=,时,:,A(s,)=0,S=W,0,时,:,A(s,)=A,0,/2,上式称为实际运算放大器的单极点模型。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,其中,:,A,0,:,运放的开环直流增益,.,典型值为,10,5,；,0,:,运放的,3dB,频率,也代表了,3dB,带宽,.,典型值为,10rad/S,；,GB,A,0,0,运放的增益带宽积,.,它是运放的开环增益等于,1,时的频率,;,0,A,0,1,0,|,A(j,)|,0,A,0,0,20logA,0,|,A(j,)|/dB,A,0,0,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,(c),幅度特性,(Bode,图,),(a),幅度特性,(b),相位特性,0,0,A,0,0,0,A,0,1,|,A(j,)|,20logA,0,|,A(j,)|/dB,A,0,0,单极点运算放大器的幅度和相位特性,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,当,0,时实际运算放大器的单极点模型：,当,0,时，式,(3-1),简化为,式（,3-2,）称为,0,时实际运算放大器的单极点模型。其中,A,0,0,=GB,称为运算放大器的带宽增益积；,=1/A,0,0,称为运算放大器的时间常数。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,结论：,(1),当,0,时，增益为,可见,当,0,时,实际运算放大器的增益与,成反比,相位移为一个常数,-,/2.,(4),由图,3-9(c),的波特图可见,实际运算放大器的增益特性是自然的低通特性。在高频时，幅频特性按,6 dB/10,倍频程下降。所以它的这种模型称为单极点下降模型。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,在线性应用时，运算放大器不能在开环状况下使用,而必须工作在闭环状态。原因,:,(1),大的增益,.,特别是低频信号时会引起放大器的过驱动，从而会使放大器超出它的动态范围。例如，一个运算放大器的直流增益,10,，一个,150,的直流信号会产生,-15,的输出，它会使运算放大器产生饱和。,(2),大的信号会使运算放大器进入非线性区。在这种情况下,由式,(3-1),表示的小信号模型不再适用。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,实际运算放大器模型的建立和简化过程,理想特性（线性的）,0,A,0,0,20logA,0,|,A(j,)|/dB,A,0,1,0,|,A(j,)|,A,0,0,0,A,0,0,20logA,0,|,A(j,)|/dB,0,|,A(j,)|,A,0,0,实际特性（非线性的）,分段线性模型（波特图）,线性模型（单极点下降模型）,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,3.2.2,实际运算放大器对电路性能的影响,实际运算放大器的非理想特性为有源,RC,滤波器的分析和设计带来了一定的复杂性。当电路的截止频率达到运算放大器的带宽增益积,A,0,0,的,1/100,时，采用理想模型分析实际放大器将带来比较大的误差。下面分析这种误差,。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,1.,同相放大器的带宽和增益,（,1,）电路,同相放大器的电路如图,(a),所示。考虑它是一个实际的运算放大器组成的电路，而采用单极点模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等效电路如图,(b),所示,.,-,A(s,),V,o,R,1,+,V,i,1,V,a,(s,),2,R,2,+,3,1,V,a,(s,),2,+,V,o,(s,),=,V,a,(s)A(s,),+,V,i,3,R,1,R,2,(a),同相运算电路,(b),等效电路,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,（,2,）,增益的一般表示,为了求转移函数,V,o,/V,i,，先求出节点,1,的电压,V,1,:,于是增益为,：,其中，,K=1+(R,2,/R,1,),为,A,=,时的闭环增益。,1,V,a,(s,),2,+,V,o,(s,),=,V,a,(s)A(s,),+,V,i,3,R,1,R,2,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,结论,:,由理想运算放大器组成的同相运算放大电路的增益与运放的开环增益,A,有关,.,为,:,在运算放大器为理想的情况下，开环增益,|A|,，增益,Vo/,V,i,K,。,由实际运算放大器组成的同相运算放大电路的增益与运放的开环增益,A,有关,.,为,:,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,（,3,）增益的单极点模型表示,如果运算放大器的增益不但为有限值,A,而且为频率的函数,A(s,),可以用两种模型来分析运算放大器所组成的电路的转移函数,:,则采用单极点模型,A(s,)=GB/(s+,0,),后，增益为：,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,任何形式如,K,/(,s,+,a,),的函数，其,3dB,带宽为,=,a,。由式,(3.27),可见，实际运算放大器组成的同相放大电路的,3dB,带宽为：,可见，采用实际运算放大器以后，同相放大器增益由固定值,K,=(1+,R,2/,R,1),变为,K,/(1+,sK,),。,或,如果运算放大器采用,式,(3.22),简化的单极点模型,A,(,s,)=,A,0,0/,s,=1/,s,时，由式,(3.26),可求得放大器的增益为,：,设一个实际运算放大器的,K=2,，它的增益带宽积,A,0,f,0,=10,6,Hz,，由它组成的同相放大器在,10,4-,10,6,范围内的幅频特性和相频特性如图所示。,由图可见，当电路的工作频率接近运算放大器的,A,0,f,0,时，电路的特性与理想值差别很大。,当,K,1,时，可按前面两式估算网络函数幅度及相位的变化量。,2,0.8,10,4,10,6,理想特性,K=2,实际特性,10,4,0,-90,理想特性,=0,o,实际特性,（,a,）幅频特性,（,b,）相频特性,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,(5),小结,(a),由式（,3-10,）可知，,K,0,越大,(K,0,/A),越小，实际放大器的增益越接近理想放大器的增益,K,0,。,(b),由式（,3-11,）可知,运算放大器的,3-dB,带宽为：,通常情况下，,K/A,0,3dB,，,则同相放大器的幅频特性按,6dB/10,倍频程下降,.,(e),增益的相位从,0,变化到,-/2,，,3dB,频率处的相位为,-/4,。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,2,反相放大器,（,1,）电路,反相放大器的电路如图,3-12(a),所示。考虑它是一个实际的运算放大器组成的电路，而采用单极点模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等效电路如图,3-12,（,b,）所示,+,V,i,-,A(s,),V,o,R,1,1,V,a,(s,),2,R,2,+,3,(a),反相运算电路,+,V,o,(s,),=,V,a,(s)A(s,),+,V,i,3,R,1,R,2,(b),等效电路,1,V,a,(s,),2,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,（,2,）增益的一般表示,先求出运算放大器的输入电压,V,a,:,设运算放大器的增益是有限的且为,A,流过,R,1,的电流为,输出电压,V,o,为,增益为,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,在运放为理想情况下，,|A|,，则有,:,运放反相端的电压,V,a,0,为了减小运算放大器的开环增益,A,对电路的闭环增益,Vo/Vi,的影响,需要使,:,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,增益的另一种求法,:,为了求转移函数,V,o,/V,i,，需要先根据叠加原理求出运算放大器的输入电压,V,a,:,又因为,V,o,=,AV,a,于是增益为：,在运放为理想情况下，,|A|,，,V,o,/V,i,-K,。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,（,3,）增益的单极点模型表示,运算放大器采用单极点模型,A,（,s,）,=GB/(s+,0,),后，式（,3-20,）变为：,一般情况下，,0,，则上式简化为：,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,当采用简化的单极点模型时,：,根据式（,3-8,）得,Ks,很小时网络函数的变化量：,根据式（,3-6,）和（,3-7,）以及式（,3-23,）得,当,Ks,很小时网络函数幅度及相位的变化量：,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,4,反相积分器的带宽和增益,（,1,）电路,反相积分器的电路如图,3-13(a),所示。考虑它是一个实际的运算放大器组成的电路，而采用单极点模型时，该放大器的性能就与频率有关。其等效电路如图,3-13,（,b,）所示,+,V,i,A(s,),V,o,R,1,V,a,(s,),2,C,-,+,3,+,V,o,(s,),=,V,a,(s)A(s,),3,R,(a),反相积分器电路,(b),等效电路,+,V,i,1,V,a,(s,),2,C,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,（,2,）增益的一般表示,为了求转移函数,V,o,/V,i,，需要先根据叠加原理求出运算放大器的输入电压,V,a,，并令它等于,-V,o,/A,：,于是增益为：,在运算放大器为理想的情况下，,|A|,，,V,o,/V,i,-1/(sRC,）。,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,（,3,）增益的单极点模型表示,运算放大器采用单极点模型,A,（,s,）,=GB/(s+,0,),后，式（,3-28,）变为：,当,运算放大器,采用简化的单极点模型,A,（,s,）,=A,0,0,/s=1/s,时，式（,3-28,）变为：,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,根据式（,3-8,）得,Ks,很小时网络函数的变化量：,根据式（,3-6,）和（,3-7,）以及式（,3-23,）得,Ks,很小时网络函数幅度及相位的变化量：,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,例,3-4,反相加法器电路如图,3-13,所示。其中的运算放大器符合单极点模型。,（,1,）求输出电压,Vo,的表达式；,（,2,）求放大器的,3-dB,带宽。,(a),反相积分器电路,(b),等效电路,+,V1,-,+,A(s,),V,o,R,aR,+,V,2,R,(V1+V2)/2,V,o,R/2,A(s,),-,+,aR,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,解：,（,1,）利用戴维宁等效定理将电源,V,1,、,V,2,等效以后的电路如图,3-13,（,b,）所示。输出电压为：,其中，,K=aR/(R/2)=2a,于是，上式简化为：,如果运算放大器为理想的，,GB,=,则输出为：,电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,（,2,）任何形式如,K/(,s+a,),的低通函数，其,3-dB,带宽为,=a.,因此，根据,V,o,的表达式可知，该放大器的,3-dB,带宽为,3dB,=GB/(1+2a),根据上述推导，如果有,n,个相同的信号源同时作用在相加器的反相输入端，则该放大器的,3-dB,带宽为,3dB,=GB/(1+na),电路理论与设计,3.2,实际运算放大器,3.3,一阶系统和二阶系统,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,3.3,一阶系统和二阶系统,含有一个不可合并的动态元件的系统称为一阶系统，描述一阶系统电压电流关系的方程是一阶微分方程。,含有两个不可合并的动态元件的系统称为二阶系统，描述二阶系统电压电流关系的方程是二阶微分方程。,一阶系统和二阶系统是组成高阶系统的基础。本节讨论简单的一阶系统和二阶系统。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,3.3.1,一阶系统,典型的一阶系统是双线性系统，它的转移函数如下：,上式所描述的系统之所以称为双线性系统，是因为这种系统的转移函数的分子和分母都是,s,的线性函数。双线性函数描述的是一个一阶滤波电路，该滤波电路的传输极点为,s,=-,b,0,，传输零点为,s,=,-a,0,/,a,1,。上式也可表示为截止频率,0,的形式。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,分子的系数,a,0,和,a,1,决定滤波器的类型。当,a,1,=0,时，为低通滤波器；当,a,0,=0,时，为高通滤波器；当,a,0,=-,a,1,0,时，为全通滤波器。下面对这些滤波器的特性分别进行讨论。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,1.,一阶低通滤波器,(,a,1,=0),一阶低通滤波器的转移函数为,：,一阶低通滤波器转移函数的波特图如图,3.21(a),所示。由图可见，它的截止频率为,0,，它的低频,(0,0,),增益随着,的增大而衰减，斜率为,-6dB/(,倍频程,),或,-20dB/(10,倍频程,),。一阶低通滤波器的零极点分布如图,3.21(b),所示。由图可见，它有一个位于,-,0,处的极点和位于无穷大频率处的零点。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,|,H,|/dB,斜率,=,-20dB/10,倍频程,(log,),j,下图为用无源元件和有源元件实现的一阶低通滤波器的电路。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,一个转移函数可以用无源电路实现，也可以用有源电路实现。但是有源电路有很多优点：一是体积小、重量轻；二是可获得一定的增益，使电路更加灵活；三是转移函数各参数可以做到独立调节，而不互相影响；四是当电路的输出量从运算放大器的输出端取出时，整个电路具有低的输出阻抗。这样，在电路接上负载以后，不会影响电路的转移函数，便于各电路的直接级联。这一特性在滤波器中尤为重要。有源滤波器的不足之处是由于受到有源器件有限带宽的影响，因而它的工作频率较无源电路要低。另外，由于使用的元件比无源滤波器多，因而它的灵敏度比较高。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,2.,一阶高通滤波器,(,a,0,=0),一阶高通滤波器的转移函数为,：,一阶高通滤波器转移函数的波特图和零极点分布如图所示。,|,H,|/dB,斜率,=,-20dB/10,倍频程,(log,),j,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,一阶高通滤波器,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,3.,一阶全通滤波器（）,一阶全通滤波器的转移函数为,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,一阶全通滤波器,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,低通,（,LP,）,高通,（,HP,）,全通,（,AP,）,滤波器类型和转移函数,零点和极点分布,转移函数的波特图,一阶系统小结,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,3.3.2,二阶系统,二阶系统结构简单，它的数学性质人们已经很熟悉，它的物理特性不但容易测量而且容易调整。它是构成高阶系统的基本模块，是非常重要的。,1.,二阶系统及其一般描述,一般的二阶系统的转移函数是复变量,s,的两个二次多项式之比。即,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,其中，,z,和,p,分别为系统的零点频率和极点频率，,Q,z,和,Q,p,分别为系统的零点,Q,值和极点,Q,值。由式,(3.44),可见，二阶系统转移函数的分子和分母都是复变量,s,的二次函数，称为双二次函数。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,通过合理设置转移函数的极点并调整二阶系统表达式的分子可实现各种二阶滤波函数。,当,a,1,=,a,2,=0,时，可实现二阶低通滤波函数。,当,a,0,=,a,1,=0,时，可实现二阶高通滤波函数。,当,a,0,=,a,2,=0,时，可实现二阶带通滤波函数。,当,a,1,=0,时，可实现二阶带阻滤波函数。,当,a,0,=,b,0,，,a,1,=,b,1,，,a,2,=1,时，可实现二阶全通滤波函数。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,2.,二阶低通滤波器,(,a,1,=,a,2,=0),式中，当,a,1,=,a,2,=0,时，可实现二阶低通滤波函数。它的转移函数为：,它的低频增益为,0dB,（放大倍数为,1,）；,它的高频增益随,s,的增大而衰减，斜率为,40dB/(10,倍频程,),。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,幅频特性,低频增益：为,0dB(s=0,时,若,K=1,则,H(s,)=1,即,0dB),高频增益：随,s,2,而衰减，斜率为,-40dB/10,倍频程。,零极点分布：有一对复数极点。,在无穷远处有二阶零点。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,增益,/dB,斜率,=,-40dB/10,倍频程,j,0,它有一对复数共轭复数极点，在无穷远处还有一个二阶零点。式,(3.45),的极点位置决定了通带内滤波器响应的形状。对于高,Q,的极点，通带内的隆起出现在极点频率,p,处。,p,而隆起处的陡度随着,Q,值的增大而增大。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,附,:,各种因式的幅频特性,:,(1),常数,K,的幅频特性是一个常数,(2),因式,s,的幅频特性是一条随,s,变化的 直线,(3),因式,s,2,的幅频特性是一条随,s,变化的直线,常数、,1/s,、,1/s,2,的幅频特性曲线,1/(s+a),、,1/(s,2,+a,2,),的幅频特性曲线比较,dB,40,20,0.1,1,10,1/(s,2,+a,2),1/(s+a),a,dB,K,40,20,-20,-40,0.1,1,10,1/s,2,1/s,(,斜率,=-40dB/10,倍频 程,),(,斜率,=-20dB/10,倍频 程,),3.,二阶高通滤波器,(,a,0,=,a,1,=0),二阶系统表达式,中，当,a,0,=,a,1,=0,时，可实现二阶高通滤波函数。它的转移函数为：,二阶高通滤波器的幅频特性如图所示。,它的高频增益为,0dB,，它的低频增益随,s,的增大而增加，斜率为,40dB/(10,倍频程,),。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,增益,/dB,斜率,=,40dB/10,倍频程,j,0dB,它的高频增益为,0dB,，它的低频增益随,s,的增大而增加，斜率为,40dB/(10,倍频程,),。,二阶高通滤波器的零极点分布如图,3.25(b),所示。由图可见，它有一对复数极点，并在原点处有二阶零点。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,4.,二阶带通滤波器,(,a,0,=,a,2,=0),二阶系统表达式,中,a,0,=,a,2,=0,时，可实现二阶带通滤波函数。它的转移函数为：,斜率,=,20dB/10,倍频程,j,斜率,=,-20dB/10,倍频程,0dB,增益,/dB,在低频段，它的增益随,s,的增大而增加，斜率为,20dB/(10,倍频程,),。而在高频段，它的增益随,s,的增大而减小，斜率为,-20dB/(10,倍频程,),。在中心频率,p,处，它的增益为,0dB,。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,它有一对复数极点，并在原点处和频率无穷大处各有一个零点。式,(3.47),极点的位置和,Q,值决定了通带内滤波器响应的形状。对于高,Q,的极点，通带内的隆起出现在中心频率,p,处。中心频率,p,、,3dB,带宽,BW,和,Q,值之间符合下列关系：,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,斜率,=,+20dB/10,倍频程,j,增益,(a),增益特性,(b),零极点图,斜率,=,-20dB/10,倍频程,0dB,增益,/dB,图,6-3,二阶带通滤波器,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,(a)3dB,带宽,:,在图,6-7,中，在,0,的两侧有两个频率，它们的幅度都是峰值的,1/,2,这两个频率之差用,BW,表示，称为,3dB,带宽。,(b),BW,与,Q,的关系：,(c),公式的应用,:,通过测量,BW,和,Q,可以确定复极点的位置,p,.,通过测量峰值频率,p,和,3dB,带宽,BW,从而可以确定,Q,值。,Q,值越高，带宽越窄，说明极点非常靠近虚轴。系统对正弦信号的选择性越好。,（,Q10,）,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,5,二阶带阻滤波器（,a,1,=0,）,幅频特性,低频增益：,0dB,；,高频增益：,0dB,；,在中心频率,Z,处，它的衰减为无穷大；,零极点分布：在,s,左半平面有一对复数极点，并,j,轴上有一对共轭复数零点。,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,增益,/dB,j,(a),增益特性,(b),零极点图,0dB,图,6-4,二阶带阻滤波器,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,6,二阶,全通滤波器,（,a,2,=1,，,a,1,=-b,1,，,a,0,=b,0,）,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,(1),二阶系统及其一般描述,含有两个动态元件的系统称为二阶系统。,描述二阶系统的函数是二阶函数。,最基本的二阶函数是双二次阶函数。它是两个二次多项式之比。,可以用,和,或者,0,和,两套参数来表征,7.,表征双二次阶函数的两套参数,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,两套参数的关系,:,分母的两种表示,:,(2),表征双二次阶函数的两套参数,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,代表极点的实部；,代表极点的虚部；,p,代表极点的幅度（从原点到极点的距离），,Q,代表从原点到极点所连接的射线斜率。,Q,越高，射线越陡，表示极点越靠近虚轴。,二阶系统的极点,:,一对共轭复数极点位于,s,左半平面,Re,Im,j,-j,p,p,二阶系统的极点,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,3.,各种滤波函数的实现：,当合理设置极点,(,分母的形式,),以后，通过调整零点,(,分子的形式,),可实现各种滤波函数：,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,电路理论与设计,3.3,一阶系统和二阶系统,3.4,基于反馈结构的双二次型有源,RC,滤波器的分析与设计,电路理论与设计,3.4,基于反馈结构的双二次型有源,RC,滤波器的分析与设计,3.4.1,正反馈双二次型电路结构,电路结构,电路结构如图：,+,V,i,A,RC,V,V,1,2,3,+,V,o,r,1,r,2,=(k-1)r,1,实际上，输出电压的一部分也经过电阻,r1,和,r2,构成的分压器反馈到运算放大器的负端，构成负反馈。从这种意义上讲，该电路实际上是一种混合反馈的结构。,电路理论与设计,3.4,基于反馈结构的双二次型有源,RC,滤波器的分析与设计,作为反馈路径的,RC,网络接到运算放大器的同相端,形成正反馈,所以称为正反馈结构。,转移函数,为了研究这种电路结构的转移函数，首先定义,RC,网络的,前馈转移函数,T,