最短路径(将军饮马+造桥选址).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,郧西县河夹中学 段廉洁,最短路径问题,垂线段最短。,两点之间，线段最短。,L,A,B,A,B,L,C,问题,1,如图，牧马人从,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地,.,牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,A,B,C,L,两种情形,点,A,，,B,分别是直线,l,异侧的两个点,点,A,B,分别是直线,l,同侧的两个点,A,B,l,l,A,B,C,B,C,解决问题,1,作图,l,A,B,B,C,证明,l,A,B,B,C,C,l,A,B,B,C,C,证明,:,问题,2,（造桥选址问题）如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,，桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）,A,B,M,N,a,b,解决问题,2,作图,证明,A,B,M,N,a,b,A,A,B,M,N,a,b,A,M,N,证明,:,A,B,M,N,a,b,A,M,N,练习,1,、如图,1,，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到,AB,边反弹后再撞到黑球,?2,、如图,2,，四边形,ABCD,中，,BAD=120,，,B=,D=90,在,BC,，,CD,上分别找一点,M,、,N,，当,AMN,周长最小时，,AMN+,ANM,的度数为多少？,D,B,A,C,图,1,A,B,D,C,图,2,A,A,N,M,郧西县河夹镇初级中学,段廉洁,造桥选址问题的延伸探索,造桥选址问题,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,B,A,思维分析,B,A,1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下,把桥转化到一侧,呢？什么图形变换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1、把A平移到岸边.,2、把B平移到岸边.,3、把桥平移到和A相连.,4、把桥平移到和B相连.,上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.,合作与交流,1、2两种方法改变了.,怎样调整呢？,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,问题解决,B,A,A,1,M,N,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,理由；另任作桥,，连接,，,，,.,由平移性质可知，,，,，,.,AM+MN+BN转化为,，而,转化为,.,在,中，由线段公理知A,1,N,1,+BN,1,A,1,B,因此,AM+MN+BN,问题,延伸一,如图，A和B两地,之间有两,条河，现要在,两条,河上,各,造一座桥MN,和PQ,.,桥分别建,在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河,岸,垂直）,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+,桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处,思维方法一,1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）,2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：,（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，,使A1A2=PQ.,（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.,3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.,连接A1P交的对岸于点，在点处建桥,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把点、，使，；,连接交于点相邻河岸于点，建桥；,连接交的对岸于点，建桥；,从点到点的最短路径为MMN,思维方法二,沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.,最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.,思维方法三,沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B，使BBPQ，BBMN；,连接BA交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；,连接BN交B的对岸于P点，建桥PQ；,从点到点的最短路径为MMNNP转化为AB2+B2B1+B1B,问题,延伸二,如图，A和B两地,之间有三,条河，现要在,两条,河上,各,造一座桥MN,、PQ和GH,.,桥分别建,在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河,岸,垂直）,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB,桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；,连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；,连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；,连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.,此时从A到B点路径最短.,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；,连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；,连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；,连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.,此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A，使AAMN，平移B点至B1、B2,使BB1GH，B1B2=PQ；,连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；,连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；,此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，平移B点至B1,使BB1GH；,连接AB交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、PQ；,连接1交第一条河与相邻河岸的点，建桥；,此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，平移B点至B1,使BB1GH；,连接AB交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、PQ；,连接1交第一条河与相邻河岸的点，建桥；,此时从A到B点路径最短.,问题解决,