[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-3.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 行列式按行,(列),展开,定义,在,n,阶行列式,D,中，划掉元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列后留下的,n,1,阶行列式称为元素,a,ij,的,余子式,。记作,M,ij,.,称为,a,ij,的,代数余子式,.,例如,定理.1,n,阶行列式,D=|,a,ij,|,n,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即,证,定理3.2,n,阶行列式,D,中某一行（列）的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即,或,证明,我们只证第一个式子。等号左端的表达式可视为一个行列式按第,i,行的展开式，该行列式的特点是：第,i,行的元素就是,D,中第,k,行的元素，而且它的第,i,行与,D,的第,i,行对应的元素有相同的代数余子式。于是知该行列式为,i,k,由于,B,中第,i,行与第,k,行相同，则,B,0，,故,同理可证,证毕,把,定理,3.1,及,定理,3.2,结合起来,便得到了两个重要,公式：,设,n,阶行列式,D，,则,例1,计算行列式,解,例2,计算行列式,D=|,a,ij,|,n,，,其中,a,ij,=|,i,j,|.,解：写出此行列式观察其特征,=(,1),n,+1,(,n,1)2,n,-2,.,例3,计算,n,阶行列式,解,按第,1,列展开,而,所以,练习,：计算,行列式的展开定理,3.1,可以进一步推广。为此我们将元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。,定义,在,n,阶行列式,D,中选取,k,行、,k,列(1,k,n,),，,由这些行、列相交处的元素所构成的,k,阶行列式，称为,D,的,k,阶子式,。记作,N,。,在行列式,D,中去掉,k,阶子式,N,所在行、列以后得到的,n,k,阶行列式称为该,k,阶子式的,余子式,。记作,M,。,若,N,所在的行序数为,i,1,i,2,i,k,，,所在的列序数为,j,1,j,2,j,k,，,那么,称做,N,的,代数余子式,。,定理,3.3,拉普拉斯,(,Laplace,),定理,设在,n,阶行列式,D,中任意选取,k,个行（列）(1,k,n,-1),，找出位于这,k,行（列）中的一切,k,阶子式,N,1,N,2,N,t,及其对应的代数余子式,A,1,A,2,A,t,，,则有,其中,例4,计算五阶行列式,解,利用定理,3.3,，把行列式,D,按前二行展开，前二行共有,C,5,2,=10,个二阶子式，但其中不为,0,的只有三个,与,N,1,N,2,N,3,对应的代数余子式分别为,所以,例5,计算,2,n,阶行列式,解法,1,按第一行展开有,以此作递推公式，即可得,解法,2,利用定理,3.3,，按第,n,n,+1,行这两行展开行列式，立即可得,例,6,计算,n,阶行列式,例,7,计算2,n,阶行列式,例3,证明,证明,对阶数,n,用数学归纳法,