常微分方程2.2 变量可分离方程.ppt

*,形如,（,2.2.1,）,的方程称为变量可分离方程。,2.2,变量可分离方程,这里,是连续函数,.,该方程的特点,:,方程的右端是两个独立的一元函数之积,.,1,一、,变量可分离方程的求解,当,方程（,2.2.1,）两边同除以,得,这样对上式两边积分得到,例,2.2.1,求微分方程,的通解。,2,注：求方程通解时，我们假设,若,时得,y,值也可能为方程的解。,解：变量分离后得,上式两边积分得,整理得,其中,该解在,无定义,故通解在,中有定义,.,所以要考虑 的情况，,该方程对应的解我们称为常数解,.,3,例,2.2.2,求微分方程,的通解,.,解,:,变形为,积分得,:,求积分得,:,解得,:,4,记,则,因为,可得,故所有的解为,:,5,练习,解,通解：,6,二、齐次方程,齐次函数,:,函数,称为,m,次齐次函数,如果,齐次方程,:,形如,的方程称为齐次方程,。,引入一个新变量化为变量可,分离方程。,求解思想,:,7,例,2.2.3,求下面初始值问题,解：方程为齐次方程，令,求导后得,分离变量得,事实上,令,则,故有,即,8,积分上式得,用,代入得,利用初始条件,可定出,代入上式解出,9,求解微分方程,微分方程通解：,解,练习,10,解方程,解,改写方程：,齐次方程,方程变为：,两边积分：,练习,11,分析,解,方程变为,齐次方程,练习,12,两边积分,通解：,分离变量,13,三、可化为齐次方程的方程,形如,的方程可化为齐次方程,.,其中,都是常数,.,1.,当,时,此方程就是齐次方程,.,2.,当,时,并且,(1),14,此时二元方程组,有惟一解,引入新变量,此时,方程可化为齐次方程,:,15,(2),若,则存在实数,使得,:,或者有,不妨是前者,则方程可变为,令,则,16,3.,对特殊方程,令,则,17,例,2.2.4,求方程,的通解。,解：解方程组,得,令,代入原方程可得到齐次方程,令,得,18,还原后得原方程通解为,变量分离后积分,19,解,代入原方程得,非齐次型方程,.,方程组,齐次型方程,.,方程变为,练习,20,分离变量法得,原方程通解,21,例,:,雪球融化问题,设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比,例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在,开始时的半径为,6,cm,，,经过,2,小时后，其半径缩,小为,3,cm,。,求雪球的体积随时间变化的关系。,解,:,设,t,时刻雪球的体积为,，表面积为,球体与表面积的关系为,2.2.3,变量可分离方程的应用,22,引入新常数,再利用题中的条件得,分离变量积分得方程得通解为,再利用条件,确定出常数,C,和,r,代入关系式得,t,的取值在,之间。,23,游船上的传染病人数,.,一只游船上有,800,人,12,小时后有,3,人发病,.,故感染者不能被及时隔离,.,设传染病的传播速度与受感染的人数及,未受感染的人数之积成正比,.,一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在,60,至,72,小时,将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数,.,解,设,y,(,t,),表示发现首例病人后,t,小时的,感染人数。,其中,k,0,为比例常数,.,可分离变量微分方程,初始条件,:,练习,24,两边积分,通解,分离变量,25,直升机将在,60,至,72,小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数。,26,车灯的反射镜面,-,旋转抛物面,解,练习,27,两边积分,28,抛物线,29,P.50 1,（,1,，,4,，,5,，,9,，,15,）,2,（,1,，,3,），,6,作 业,30,