常微分第三章.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Company Logo,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三,章一,阶,微,分,方,程,解,的,存,在,定,理,常微分方程,第三章,一阶微分方程解的存在定理,授课教师：胡鹏彦,授课对象：,10,本科,本章主要讨论一阶微分方程解的存在性,定理、解的延拓和解对初值的连续性和可微,性定理,.,3.1,解的存在唯一性定理 与逐步逼近法,一、存在唯一性定理,二、近似计算和误差估计,3.1,解的存在唯一性,一、存在唯一性定理,1.,导数已解出的一阶微分方程,讨论形如,方程解的存在唯一性定理,这里,f,(,x,y,),是矩形域,上的连续函数,.,3.1,解的存在唯一性,函数,f,(,x,y,),称为矩形域,R,上关于,y,满足,利普,希茨,(Lipschitz),条件,若存在常数,L,0,使得不等式,对于所有,(,x,y,1,),(,x,y,2,),R,都成立,L,称为,利普希茨,常数,.,3.1,解的存在唯一性,定理,1,如果,f,(,x,y,),在矩形域,R,上关于,y,满足,利普希茨条件,则方程,存在唯一,解,y,(,x,),其,定义于区间,|,x,x,0,|,h,上,连,续且满足初值条件,这里,3.1,解的存在唯一性,定理,1,的证明采用皮卡,(Picard),的逐步逼近,法,.,首先证明定理,1,等价于积分方程,解的存在唯一性,然后再证明积分方程存在唯一,连续解,.,3.1,解的存在唯一性,皮卡,(Picard),的逐步逼近法的主要思想,:,任取一个连续函数,0,(,x,),代入积分方程右端的,y,得到函数,则,1,(,x,),连续,.,如果,1,(,x,),0,(,x,),则,0,(,x,),就是积分方,程的,解,.,否则,将,1,(,x,),代入积分方程右端的,y,得到,如果,2,(,x,),1,(,x,),则,1,(,x,),就是积分方程的,解,.,否则,继续这个步骤,.,一般地做函数,3.1,解的存在唯一性,这样,就得到连续函数列,0,(,x,),1,(,x,),n,(,x,),.,如果,n,1,(,x,),n,(,x,),则,n,(,x,),就是积分方程的,解,.,如果,不发生这种情况,可以证明上面的函数序列有一个,极限函数,(,x,),即,存在,对,(3.4),取极限可得,3.1,解的存在唯一性,这说明,(,x,),是积分方程的,解,.,这种一步一步地求出方程的解的方法就称为,逐步逼近法,.,由,(3.4),确定的函数,n,(,x,),称为初值问题,(3.1),(3.3),的,第,n,次近似解,.,3.1,解的存在唯一性,命题,1,设,y,(,x,),是方程,的定义于区间,x,0,x,x,0,h,上,且满足初值条件,的解,则,y,(,x,),也是积分方程,的定义于,x,0,x,x,0,h,上的连续,解,.,反之亦然,.,3.1,解的存在唯一性,现在取,0,(,x,),y,0,构造皮卡逐步逼近函数,序列如下,:,3.1,解的存在唯一性,命题,2,对于所有的,n,(3.7),中的函数,n,(,x,),在,x,0,x,x,0,h,上有定义、连续且满足不等式,3.1,解的存在唯一性,命题,3,函数序列,n,(,x,),在,x,0,x,x,0,h,上是,一致收敛的,.,问题转化为证明级数,在,x,0,x,x,0,h,上一致收敛,.,3.1,解的存在唯一性,可以证明,由此可知对,x,0,x,x,0,h,有,3.1,解的存在唯一性,设,则,(,x,),在,x,0,x,x,0,h,上连续,且满足,3.1,解的存在唯一性,命题,4,(,x,),是积分方程,(3.5),的定义于,x,0,x,x,0,h,上的连续解,.,在,x,0,x,x,0,h,上一致收敛于,3.1,解的存在唯一性,命题,5,设,(,x,),是积分方程,(3.5),的定义于,x,0,x,x,0,h,上的另一个连续解,则,(,x,),(,x,),(,x,0,x,x,0,h,).,我们证明序列,n,(,x,),在,x,0,x,x,0,h,上一致,收敛于,(,x,).,3.1,解的存在唯一性,3.1,解的存在唯一性,3.1,解的存在唯一性,3.1,解的存在唯一性,3.1,解的存在唯一性,注,1,存在唯一性定理中数,h,的几何意义,:,数,h,保证积分曲线依然含在矩形,R,中,.,注,2,常用函数,f,(,x,y,),在,R,上有对,y,的连续偏,导数代替利普希茨条件,.,注,3,当方程,中,P,(,x,),Q,(,x,),在区间,上连续时,定理,1,中的,条件满足,且由任一初值,(,x,0,y,0,),x,0,所确,定的解在整个区间,上都有定义,.,3.1,解的存在唯一性,2.,一阶隐方程,F,(,x,y,y,),0,定理,2,如果在点,(,x,0,y,0,y,0,),的某,邻域中,(1),对所有变元连续,且存在连续偏导数,;,(2),F,(,x,0,y,0,y,0,),0;,则方程,F,(,x,y,y,),0,存在唯一解,满足初值条件,(3),3.1,解的存在唯一性,二、近似计算和误差估计,微分方程,第,n,次近似解,n,(,x,),和真解,(,x,),在区间,|,x,x,0,|,h,上的,误差估计式为,3.1,解的存在唯一性,例,1,方程,定义在矩形域,R,:,1,x,1,1,y,1,上,.,试用存在,唯一性定理确定经过点,(0,0),的解的存在区间,并求在此区间上与真解的误差不超过,0.05,的,近,似解的表达式,.,3.1,解的存在唯一性,作业,P88,3,8,9,3.2,解 的 延 拓,一、几个概念,二、解的延拓定理,3.2,解的延拓,一、几个概念,1.,局部利普希茨条件,称定义于区域,G,上的函数,f,(,x,y,),关于,y,满足,局部利普希茨条件,倘若对于区域,G,内的每一,点,P,存在以,P,为中心的完全含于,G,内的闭矩形,R,f,(,x,y,),在,R,上关于,y,满足利普希茨条件,(,对于不同,的点,矩形,R,的大小和常数,L,可能不同,).,3.2,解的延拓,2.,延拓,设,f,(,x,y,),定义在区域,G,上,y,(,x,),是,方程,(3.1),定义在区间,|,x,x,0,|,h,上的解,.,取,x,1,x,0,h,以,(,x,1,y,1,),为中心作小矩形使之连同其边界都,含于区域,G,内,.,由微分方程解的存在唯一性定,理知存在,h,1,0,使得方程在区间,|,x,x,1,|,h,1,上,存在过点,(,x,1,y,1,),的解,y,(,x,),有,(,x,1,),(,x,1,),且在,x,1,h,1,x,x,1,上,(,x,),(,x,),则称,y,(,x,),为,解,y,(,x,),向右方的,延拓,.,3.2,解的延拓,这样可以得到方程,(3.1),的定义在区间,x,0,h,x,0,h,h,1,上的解,方程不可延拓的解称为方程的,饱和解,.,注,饱和解的存在区间必是开区间,.,3.2,解的延拓,二、解的延拓定理,如果方程,(3.1),右端的函数,f,(,x,y,),在有界,区域,G,中连续,且关于,y,满足局部利普希茨,条件,那么方程,(3.1),的通过,G,内任一点,(,x,0,y,0,),的解,y,(,x,),可以延拓,直到点,(,x,(,x,),),任意接,近区域,G,的边界,.,即若解,y,(,x,),只能延拓到,区间,x,0,x,d,上,则当,x,d,时,(,x,(,x,),),趋于区,域,G,的边界,.,3.2,解的延拓,推论,如果,G,是无界区域,在上面解的延拓,定理的条件下,方程,(3.1),的通过点,(,x,0,y,0,),的解,y,(,x,),可以延拓,.,以向,x,增大的方向的延拓来,说有以下两种情形,:,(1),解,y,(,x,),可以延拓到区间,x,0,);,(2),解,y,(,x,),只可以延拓到区间,x,0,d,),其,中,d,为有限数,且当,x,d,时,要么,y,(,x,),趋于无,穷大,要么点,(,x,(,x,),),趋于区域,G,的边界,.,3.2,解的延拓,例,1,讨论方程,的分别通过点,(0,0),(ln2,3),的解的存在区间,.,3.2,解的延拓,例,2,讨论方程,满足条件,y,(1),0,的解的存在区间,.,3.3,解对初值的连续性 和可微性,一、解关于初值的对称性,二、解对初值的连续依赖性,三、解对初值的可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,一、解关于初值的对称性,解关于初值的对称性定理,设方程,(3.1),的满足初值条件,y,(,x,0,),y,0,的解,是唯一的,记为,y,(,x,x,0,y,0,),则在此表达式中,(,x,y,),与,(,x,0,y,0,),可以调换其相对位置,即在解的,存在范围内成立着关系式,y,0,(,x,0,x,y,).,证明思路,:,利用解的唯一性证明,.,3.2,解对初值的连续和可微性,二、解对初值的连续依赖性,1.,不同解之间的关系,引理,如果函数,f,(,x,y,),于区域,D,内连续,且关,于,y,满足利普希茨条件,(,利普希茨常数为,L,),则对,于方程,(3.1),的任意两个解,(,x,),及,(,x,),在它们公,共存在的区间内成立着不等式,其中,x,0,为所考虑区间内的点,.,3.2,解对初值的连续和可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,2.,解对初值的连续依赖性,解对初值的连续依赖定理,假设,f,(,x,y,),于区,域,G,内连续且关于,y,满足局部利普希茨条件,对,(,x,0,y,0,),G,设,y,(,x,x,0,y,0,),是方程,(3.1),的满足,初值条件,y,(,x,0,),y,0,的解,它于区间,a,x,b,上有定,义,(,a,x,0,b,),那么,对任意给定的,0,必能找到,正数,(,a,b,),使得当,3.2,解对初值的连续和可微性,时,方程,(3.1),的满足初值条件,的解,在区间,a,x,b,上也有定义,并且,3.2,解对初值的连续和可微性,解对初值的连续依赖定理的证明,用,S,表示曲线段,y,(,x,x,0,y,0,),(,x,)(,a,x,b,),则,S,是,Oxy,平面上的有界闭集,.,可以证明,(1),存在有界闭域,D,:,S,D,G,在,D,上,f,关于,y,满足利普希茨条件,;,由有限覆盖定理,存在有个圆覆盖,S,且,f,在每,个圆上满足利普希茨条件,记这有限个圆构成的,区域的边界到,S,的距离为,0,取,min,/2,L,为有限个圆上的利普希茨常数的最大值,.,D,为以,S,上点为心,为半径闭圆的全体构成的集合,.,3.2,解对初值的连续和可微性,(2),存在,(,a,b,)(,),只要,满足,则解,必在区间,a,x,b,上有,定义,;,3.2,解对初值的连续和可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,(3),当,时就有,注,解,(,x,x,0,y,0,),时自变量和初值,(,x,0,y,0,),的,三元连续函数,.,3.2,解对初值的连续和可微性,解对初值的连续性定理,若,f,(,x,y,),在区域,G,内连续,且关于,y,满足局部利普希茨条件,则,方程,(3.1),的解,y,(,x,x,0,y,0,),作为,x,x,0,y,0,的函数,在其存在范围内是连续的,.,3.2,解对初值的连续和可微性,解对初值的连续性定理,对任一,(,x,0,y,0,),G,由解的存在唯一性定理及,延拓定理,存在,(,x,0,y,0,),(,x,0,y,0,),使得有饱和解,定义在区间上,(,x,0,y,0,),x,(,x,0,y,0,).,令,3.2,解对初值的连续和可微性,3.,解对初值和参数的连续依赖性,解对初值和参数的连续依赖定理,设,f,(,x,y,),在,D,内连续,且在,D,内关于,y,一,致地满足局部利普希茨条件,对,(,x,0,y,0,0,),G,y,(,x,x,0,y,0,0,),是方程,(3.1),通过点,(,x,0,y,0,),的解,在区间,a,x,b,上有定义,其中,a,x,0,b,那么,对,任意给定的,0,可以找到正数,(,a,b,),使,得当,3.2,解对初值的连续和可微性,时,方程,(3.1),的通过点,的解,在区间,a,x,b,上也有定义,并且,3.2,解对初值的连续和可微性,解对初值和参数的连续性定理,设,f,(,x,y,),在,D,内连续,且在,D,内关于,y,一,致地满足局部利普希茨条件,则,方程,(3.1),的解,y,(,x,x,0,y,0,),作为,x,x,0,y,0,的函数在其存在,范围内是连续的,.,3.2,解对初值的连续和可微性,三、解对初值的可微性,解对初值的可微性定理,若函数,f,(,x,y,),以及,都在区域,G,内连续,则方程,(3.1),的解,y,(,x,x,0,y,0,),作为,x,x,0,y,0,的,函数在其存在范围内连续可微,.,3.2,解对初值的连续和可微性,解对初值的可微性定理的证明,利用微分方程与积分方程解的等价性,由,偏导数的定义,将差商与一个微分方程的初值,问题联系起来,通过求初值问题的解得到所需,微分方程解对初值的可微性,而对于自变量的,可微性由微分方程与积分方程解的等价性直,接通过求解对自变量的偏导数可得,.,3.2,解对初值的连续和可微性,设由初值,(,x,0,y,0,),和,(,x,0,x,0,y,0,),所确定的解,分别为,3.2,解对初值的连续和可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,由解对初值和参数的连续性定理可知,存在,且由,3.2,解对初值的连续和可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,是初值问题,的解,易知,3.2,解对初值的连续和可微性,设由初值,(,x,0,y,0,),和,(,x,0,y,0,y,0,),所确定的解,分别为,3.2,解对初值的连续和可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,3.2,解对初值的连续和可微性,解对自变量,x,的可微性由,直接计算可得,事实上,3.2,解对初值的连续和可微性,作业,P103,3,3.4,奇 解,一、包络和奇解,二、克莱罗微分方程,3.4,奇 解,一、包络和奇解,1.,包络,包络,设给定单参数曲线族,其中,c,为参数,(,x,y,c,),是,x,y,c,的连续可微函数,.,曲线族,(3.23),的,包络,是指这样的曲线,它本身并不,包含在曲线族中,但过这曲线的每一点都有曲线,族,(3.23),中的一条曲线和它在这点相切,.,3.4,奇 解,单参数曲线族,与直线,3.4,奇 解,c,-,判别曲线,曲线族,(3.23),的包络包含在由,下列方程组,消去,c,而得到的曲线中,.,此曲线称为,(3.23),的,c-,判别,曲线,.,3.4,奇 解,2.,奇解,奇解,微分方程的某个解称为,奇解,如果在这,个解的每一点上至少还有另外一个解存在,.,注,1,奇解上每一点唯一性不成立,.,注,2,一阶微分方程的通解的包络一定是奇解,;,反之,微分方程的奇解也是微分方程通解的包络,.,3.4,奇 解,奇解求法,由奇解的定义,奇解可由求通解,的包络而得到,.,p,-,判别曲线,方程,的奇解包含在由方程组,消去,p,而得到的曲线中,这里,F,(,x,y,p,),是,x,y,p,的,连续可微函数,.(3.35),称为,(3.34),的,p,-,判别曲线,.,3.4,奇 解,二、克莱罗微分方程,形如,的方程称为,克莱罗,(Clairaut),微分方程,这里,f,(,p,),是,p,的连续可微函数,.,3.5,数 值 解,一、欧拉方法,二、龙格,-,库塔方法,3.5,数 值 解,一、欧拉方法,3.5,数 值 解,3.5,数 值 解,二、龙格,-,库塔方法,