矩阵理论与线性代数的对比.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,矩 阵 理论,2,前言,矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。,随着科学技术的迅速发展,矩阵的理论和方法业已,成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、,优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、,电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、,社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的,应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理,论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵,的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。,3,问题一 线性方程组的求解,给定一个,m,个方程,n,个变量的线性方程组,记,A,表示系数矩阵，,B,表示常数向量，,X,表示未知向量，则线性方程组可表示为,4,其中,解的形式：,（,1,）当,m=n,，且,A,可逆时，线性方程组,AX=B,的解可表示为,当,m=n,，且,A,不可逆时，或者当 时，线性方程组的解又如何表示呢？,特别地，在讨论矛盾方程,AX=B,时，如何定义线性方程组的解。,广义逆矩阵问题,5,问题二 矩阵的算术运算,矩阵的加法与减法定义为,矩阵的乘法运算,6,如何定义矩阵的除法运算,在线性代数中，我们对于可逆矩阵,A,可定义矩阵“除法”，称为矩阵,A,的逆矩阵，记为,A,-1,即当矩阵,A,的秩等于其行数和列数时，矩阵,A,称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程,AX,=,B,的解为,X,=,A,-1,B,问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。,7,问题三 矩阵的分析运算,在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。,分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。,8,问题四 矩阵的简单形式,矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论 矩阵的标准形和矩阵分解问题。,常见形式有：,Jordan,标准形、行最简标准形、,Hermite,标准形；矩阵的,UR,（酉矩阵,U,与正线上三角矩阵,R,）分解、,QR,（正交矩阵,Q,与三角矩阵,R,）分解、谱分解,、,满秩分解、奇异值分解等。,9,课程教学内容,一 线性空间及线性映射（变换）内积空间 相似矩阵,二 范数理论,三 矩阵分析,四 矩阵分解,五 特征值的估计及对称矩阵的极性,六 广义逆矩阵,七 若干特殊矩阵类介绍,(,自学,),10,课程教学要求,通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段,线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理,论的相关知识。,要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明,简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。,要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、,矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。,11,常用记号一,用,R,表示实数域，用,C,表示复数域。,R,n,表示,n,维实向量集合；,C,n,表示,n,维 复向量集合；,表示 实矩阵集合；,表示 复矩阵集合；,12,常用记号二,n,阶单位矩阵,n,阶矩阵的行列式,矩阵,A,的范数,向量,b,的范数,n,阶矩阵,A,的 逆矩阵,A,-1,;,矩阵,A,的广义逆矩阵,A,+,A,-,13,复数基本知识,称下列形式的数为复数,z=a +b i,其中,a,b,都是实数，,i,2,=-1;,称,a,是复数,z,的实部，,b i,是复数,z,的虚部；,Z,的共扼复数为,14,代数基本定理,任意,n,次多项式必有,n,个复根。即,其中,15,线性代数的有关知识,1.,矩阵的概念,1),矩阵的定义,定义,1,由,m,n,个数,a,ij,(,i,=1,.,m,;,j,=1,n,),排成,m,行,n,列的数表,16,叫做,m,行,n,列,矩阵,简称,m,n,矩阵,.,这,m,n,个,数叫做矩阵的,元素,a,ij,叫做矩阵,A,的,第,i,行第,j,列,元素,.,元素是实数的矩阵叫做,实矩阵,元素是复数,的矩阵叫做,复矩阵,(1),式也简记为,A,=(,a,ij,),m,n,或,A,=(,a,ij,),m,n,矩阵,A,也记作,A,m,n,.,17,2),方阵 列矩阵 行矩阵,对,(1),式,当,m,=,n,时,A,称为,n,阶方阵,.,当,m,=1,时,A,称为,行矩阵,.,当,n,=1,时,A,称为,列矩阵,.,18,3),同型矩阵和相等矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称,它们是,同型矩阵,.,如果,A,=(,a,ij,),与,B,=(,b,ij,),是同型,矩阵,并且它们的对应元素相等,即,a,ij,=b,ij,(,i,=1,m,;,j,=1,n,),那么就称,A,与,B,相等,记作,A=B,.,19,4),零矩阵 单位矩阵,元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作,O,.,主对角线上的元素都是,1,其它元素都是,0,的,n,阶方阵,叫做,n,阶单位方阵,简记作,E,或,I,.,20,5),主对角线以下,(,上,),元素全为零的方阵称,为,上,(,下,),三角矩阵,.,6),除了主对角线以外,其它元素全为零的,方阵称为,对角矩阵,.,21,2.,矩阵的运算,1),矩阵运算的定义,设,A,=(,a,ij,),s,n,B,=(,b,ij,),t,m,为两个矩阵,当,s=t,n=m,时,它们为同型矩阵,其加法运算定义为,A+B,=(,a,ij,+b,ij,),A+B,称为,A,与,B,的,和,.,22,当,n=t,时可以作乘法,:,AB,=(,c,ij,),s,m,其中,(,i,=1,2,s,;,j,=1,2,m,),AB,称为,A,与,B,的积,.,设,k,为实数,定义,kA,=(,ka,ij,),则称,kA,为,A,与数,k,的乘积,.,23,矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算,二个线性变换为,则它们的复合为,24,2),矩阵的运算性质,(i),矩阵的加法满足,交换律,:,A+B=B+A,结合律,:,(,A+B,)+,C,=,A,+(,B+C,).,(ii),矩阵的乘法满足结合律,:,(,AB,),C,=,A,(,BC,).,25,(iii),矩阵的法和加法满足分配律,A,(,B+C,)=,AB+AC,;,(,B+C,),A,=,BA+CA,.,(iv),数乘矩阵满足,:,(,k+l,),A,=,kA+lA,;,k,(,A+B,)=,kA+kB,;,k,(,lA,)=(,kl,),A,;,k,(,AB,)=(,kA,),B,=,A,(,kB,).,26,3),方阵的幂,设,A,是,n,阶方阵,定义,A,1,=,A,A,2,=,A,A,A,k,+1,=,A,k,A,其中,k,为正整数,.,4),方阵的行列式,由,n,阶方阵,A,的元素所构成的行列式,叫做,方阵,A,的行列式,记作,|,A,|,或,det,A,.,27,3.,一些特殊的矩阵,1),设,A,为,m,n,阶矩阵,把它的行换成同序,号的列得到的新矩阵,叫做,A,的,转置矩阵,记作,A,或,A,T,矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有,(,A,T,),T,=,A,;(,A+B,),T,=,A,T,+B,T,;,(,A,),T,=,A,T,;(,AB,),T,=,B,T,A,T,.,28,2),、共轭转置矩阵,当,A,=(,a,ij,),为复矩阵时,用,表示,a,ij,的共轭,复数,记,称为,A,的,共轭转置矩阵,.,29,共轭转置矩阵有以下运算规律,(,设,A,B,为复矩阵,为复数,且运算都是可行的,):,30,3),设,，如果,，则称,是,Hermite,矩阵,，如果,，则称,是,反,Hermite,矩阵,。,，如果,，则称,是（实）,对称矩阵,，如果,，则称,是（实）,反对称矩阵,。,设,31,设,A,为,n,阶方阵,若满足,A,2,=,A,则称,A,为,幂等矩阵,.,若满足,A,2,=,E,则称,A,为,对合矩阵,.,若满足,AA,T,=A,T,A=E,则称,A,为,正交矩阵,.,32,5),行列式,|,A,|,的各元素的代数余子式,A,ij,所,构成的方阵,叫做方阵,A,的,伴随矩阵,.,伴随矩阵具有,重要性质,:,AA,*,=,A,*,A=,|,A,|,E,.,33,1.,任何两个矩阵,A,、,B,都能进行加,(,减,),相乘,运算吗,?,思考,答,不是,.(1),只有当,A,B,为同型矩阵时,才能,进行加,(,减,),运算,.(2),只有当第一个矩阵,A,的列数与,第二个矩阵,B,的行数相同时,A,与,B,才能相乘,这,时,AB,才存在,.,34,2.,两个矩阵,A,、,B,相乘时,AB=BA,吗,?,|AB|=|BA|,?,答,AB,不一定等于,BA,.,若要,AB=BA,首,先要使,AB,和,BA,都存在,此时,A,、,应为同阶方,阵,.,其次矩阵的乘法不满足交换律,.,在一般情况,下,AB,BA,.,但对同阶方阵,A,、,B,|,AB,|,=,|,BA,|,是一定成立的,.,因为对于数的运算,交换律,是成立的,即,|,AB,|,=,|,A,|,B,|,=,|,B,|,A,|,=,|,BA,|,.,35,3.,若,AB=AC,能推出,B=C,吗,?,则,AB=AC,但,B,C,.,答,不能,.,因为矩阵的乘法不满足消去律,.,例如,36,4.,非零矩阵相乘时,结果一定不是零矩,阵吗,?,但,又如,但,答,非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵,.,例如,37,5.,设,A,与,B,为,n,阶方阵,问等式,A,2,-B,2,=,(,A+B,)(,A-B,),成立的充要条件是什么？,答,A,2,-,B,2,=(,A+B,)(,A-B,),成立的充要条件,是,AB=BA,.,事实上，由于,(,A+B,)(,A-B,)=,A,2,+,BA-AB-B,2,故,A,2,-B,2,=(,A+B,)(,A-B,),当且仅当,BA-AB,=0,，,即,AB,=,BA,.,38,4.,逆阵的概念,1),设,A,为,n,阶方阵,如果存在矩阵,B,使,AB=BA=E,则称矩阵,A,是,可逆,的,(,或,非奇异的、,非退化的、满秩的,），且矩阵,B,称为,A,的,逆矩阵,.,若有逆矩阵,则,A,的逆矩阵是唯一的,记作,A,-1,.,2),相关定理及性质,(i),方阵,A,可逆的充分必要条件是,:|,A,|,0.,(ii),若矩阵,A,可逆,则,A,-1,=,A,*,/|,A,|.,39,(iii),(,A,-1,),-1,=,A,;(,A,),-1,=1/,A,-1,(,0);,(,A,T,),-1,=(,A,-1,),T,.,(iv),若同阶方阵,A,与,B,都可逆,那么,AB,也,可逆,且,(,AB,),-1,=,B,-1,A,-1,.,5.,矩阵的分块运算,矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论,证,其运算法则同普通矩阵类似,.,40,两种常用的分块法,1).,按行分块,对于,m,n,矩阵,A,可以进行如下分块：,41,2).,按列分块,对于,m,n,矩阵,A,可以进行如下分块：,42,对于矩阵,A,=(,a,ij,),m,s,与矩阵,B,=(,b,ij,),s,n,的,乘积矩阵,AB,=,C,=(,c,ij,),m,n,，若把,A,按行分成,m,块，把,B,按列分成,n,块，便有,=(,c,ij,),m,n,，,43,以对角矩阵,m,左乘矩阵,A,m,n,时，把,A,按行,分块，有,以对角矩阵,m,左乘,A,的结果是,A,的每一行乘以,中与该行对应的对角元,.,44,以对角矩阵,n,左乘矩阵,A,m,n,时，把,A,按列,分块，有,以对角矩阵,n,右乘,A,的结果是,A,的每一列乘以,中与该列对应的对角元,.,45,（,1,）,表示什么？,思考,设,是标准单位坐标向量，则,（,2,）,表示什么？,（,3,）,表示什么？,46,6,、线性方程组的各种形式,对于线性方程组,记,47,其中,A,称为系数矩阵，,x,称为未知向量，,b,称为常,数项向量，,B,称为增广矩阵,.,按分块矩阵的记法，,可记,B,=(,A,b,),或,B,=(,A,b,)=(,a,1,a,2,a,n,b,).,利用矩阵的乘法，此方程组可记作,Ax,=,b,.(2),方程（,2,）以向量,x,为未知元，它的解称为方程组,（,1,）的,解向量,.,48,如果把系数矩阵,A,按行分成,m,块，则线性方,程组,Ax,=,b,可记作,或,这就相当于把每个方程,a,i,1,x,1,+,a,i,2,x,2,+,a,in,x,n,=,b,i,记作,49,如果把系数矩阵,A,按列分成,n,块，则与,A,相,乘的,x,应对应地按行分成,n,块，从而记作,即,x,1,a,1,+,x,2,a,2,+,x,n,a,n,=,b,.,（,4,）,（,2,）、（,3,）、（,4,）是线性方程组（,1,）的,各种变形,.,今后，它们与（,1,）将混同使用而不加,区分，并都称为线性方程组或线性方程,.,50,Ax,=,b,.(2),或,x,1,a,1,+,x,2,a,2,+,x,n,a,n,=,b,.,（,4,）,51,7,、初等变换,结论,:,每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵也称为,Hermite,标准形,。,思考：初等变换的应用？,求逆；解方程组；解矩阵方程,;,判断向量组的秩和矩阵的秩等等,.,52,例,1,设,试用初等行变换将,A,化为行阶梯形，进而化为行最简阶梯形矩阵。,53,解,54,继续使用初等行变换，将,B,化为行最简阶梯形矩阵：,55,56,解,例,2,用初等行变换解方程组,57,58,为矩阵,A,的,相抵标准型,。,结论：,对于任何,m,n,型,非零矩阵,A,，可经过有限次初等变换化成,相抵,标准型，即存在,m,阶初等矩阵,和,n,阶初等矩阵,使得,定义 称矩阵,59,8.,n,维向量,1),2),向量的相等,零向量,负向量,.,60,3),向量的线性运算,当,=(,a,1,a,2,a,n,),T,=(,b,1,b,2,b,n,),T,则,+,(,a,1,+,b,1,a,2,+,b,2,a,n,+b,n,),T,;,(,a,1,a,2,a,n,),T,其中,R.,61,4),线性运算满足下列八条规律,:,+,=,+,;,(,+,)+,=,+(,+,);,+0=,;,+(-,)=0;,1,=,;,(,)=(,),;,(,+,)=,+,;,(,+,),=,+,其中,为,n,维向量,R.,62,9.,线性相关与线性无关,1),线性组合 线性表示 线性相关,设有,n,维向量组,A,:,1,2,m,B,:,1,2,s,对于向量,如果有一组数,1,2,m,使,=,1,1,+,2,2,+,m,m,则称向量,是向量组,A,的,线性组合,或称,可由,A,线性表示,.,63,如果存在一组不全为零的数,k,1,k,2,k,m,使,k,1,1,+,k,2,2,+,k,m,m,=0,则称向量组,A,线性相关,否则称,A,线性无关,.,如果向量组,A,中的每一个向量都能由向量组,B,中的向量线性表示,则称,向量组,A,能由向量组,B,线性表示,.,如果,A,能由,B,线性表示,且,B,也能,由,A,线性表示,则称,A,与,B,等价,.,向量组之间的等价关系具有,自反性,对称性,传递性,.,64,2),线性相关的性质,定理,1,向量组,1,2,m,(,m,2),线性,相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量组,可由其余,m,-1,个向量线性表示,.,定理,2,设,1,2,m,线性无关,而,1,2,m,线性相关,则,能由,1,2,m,线性表示,且表示式是唯一的,.,65,3),线性相关性的判定定理,定理,3,若,1,2,r,线性相关,则,1,2,r,r,+1,m,也线性相关,.,定理,4,r,维向量组的每个向量添上,n-r,个,分量,成为,n,维向量组,若,r,维向量组线性无关,则,n,维向量组也线性无关,.,反言之,若,n,维向量组,线性相关,则,r,维向量组亦线性相关,.,66,定理,5,m,个,n,维向量组成的向量组,当维,数,n,小于向量个数,m,时一定线性相关,.,67,10.,向量组的秩,1),定义,设有向量组,T,如果,(i),在,T,中有,r,个向量,1,2,r,线性无关,;,(ii),T,中任意,r,+1,个向量,(,如果,T,中有,r,+1,个,向量的话,),都线性相关,那么称,1,2,r,是向,量组,T,的一个,最大线性无关向量组,简称,最大无,关组,;,数,r,称为向量组,T,的,秩,.,并规定,:,只含零向,量的向量组的秩为,0.,68,2),性质,性质,1,向量组线性无关的充要条件是它所,含向量个数等于它的秩,.,性质,2,设矩阵,A,的某个,r,阶子式,D,是,A,的,最高阶非零子式,则,D,所在的,r,个行向量即是矩,阵,A,的行向量组的一个最大无关组;,D,所在的,r,个,列向量组即是矩阵,A,的列向量组的一个最大无关,组,.,性质,3,R,(,A,)=,A,的行秩,=,A,的列秩,.,69,性质,4,设向量组,A,:,1,2,r,是向量,组,T,的一个最大无关组,则向量组,A,与向量组,T,等价,.,定理,6,设有两个向量组,:,A,:,1,2,r,B,:,1,2,s,如果,A,组能由,B,组线性表示,且,A,组线性无关,则,A,组所含向量个数,r,不大于,B,组所含向量个数,s,即,r,s,.,70,推论,1,设向量组,A,的秩为,r,1,向量组,B,的秩,为,r,2,若,A,组能由,B,组线性表示,则,r,1,r,2,.,推论,2,等价的向量组有相同的秩,.,71,定义 矩阵,A,的列向量组的秩称为,A,的列秩,矩阵,A,的行向量组的秩称为,A,的行秩,例,的列秩为,2,，同理，,A,的行秩也为,2,10,、矩阵的秩,72,（,1,）子式判别法,(,定义,),。,（,2,）用初等变换法求矩阵的秩。,依据,:,矩阵初等变换不改变矩阵的秩。,作法,阶梯形矩阵,B,，,则 秩,(,A,)=,B,的阶梯数。,例,2,，,=,秩（,A,）,=2,思考,:,矩阵秩的求法,73,关于矩阵的秩的一些重要结论：,性质,1,设,A,是,矩阵，,B,是,矩阵，,性质,2,如果,A B,=0,则,性质,3,如果,R,(,A,),=,n,且,A B,=0,则,B=0,。,性质,4,性质5,设,A,B,均为,矩阵，则,74,重要结论,设,A,是,矩阵，,R,(,A,)=,r,，则,A,为矩阵,A,的,等价,(,相抵,),标准形矩阵,。,设,A,，,B,是,矩阵，,(3),存在,m,阶可逆矩阵,P,与,n,阶可逆矩阵,Q,，使,1,、,与矩阵,等价。称,2,、,则以下三个,条件等价,（,1,）,A,与,B,等价；,75,例,求向量组,1,=(1,0,2,-1),2,=(3,0,6,-3),3,=(-2,1,-4,4),4,=(2,2,5,0),5,=(-1,-1,7,-19),的一个最大无关组,并用它表示其余向量,.,解,构造矩阵,A,=(,1,T,2,T,3,T,4,T,5,T,),76,行变换,所以一个最大无关组为,1,3,4,且,2,=3,1,5,=-57,1,-19,3,+9,4,.,77,11.,向量空间,1),设,V,为,n,维向量的集合,如果集合,V,非空,且集合,V,对于加法入乘数两种运算封闭,那么就称,集合,V,为,向量空间,.,所谓,封闭,是指对,V,V,及,k,R,则,+,V,k,V,.,78,2),由向量组,1,2,m,所生成的向量空,间为,:,V,=,x,|,x,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,m,m,k,1,k,m,R,3),设,的列向量为,，则称,为,的,列空间,或,的,值域,。,79,构成了向量子空间，称为齐次方程组,的,解空间,或矩阵,的,零空间,或,核空间,。,解的全体,4),齐次方程组,5),设有向量空间,V,1,及,V,2,若,V,1,V,2,就称,V,1,是,V,2,的,子空间,.,80,6),设,V,为向量空间,如果,r,个向量,1,2,r,V,且满足,(1),1,2,r,线性无关,;,(2),V,中任一向量都可由,1,2,r,线性,表,示,那么,向量组,1,2,r,就称为向量空,间,V,的一个,基,r,称为向量空间,V,的,维数,并称,V,为,r,维,向量空间,.,81,下列命题等价：,（,1,）,Ax,=0,有非零解；,（,2,）,A,的列向量组线性相关；,（,3,）,r,(,A,),n.,定理,2,下列命题等价：,（,1,）,Ax,=0,只有零解；,（,2,）,A,的列向量组线性无关；,（,3,）,r,(,A,)=,n.,齐次方程组,Ax,=0,解的存在性,定理,1,12,、线性方程组的求解,82,（,1,）当 时，,Ax,=,b,无解；,利用系数矩阵与增广矩阵的秩，得到,型非齐次方程组,Ax,=,b,解的情况如下：,（,2,）当 时，,Ax,=,b,有唯一解；,（,3,）当 时，,Ax,=,b,有无穷多解。,83,例,求方程组通解和一个基础解系。,解,对方程组的系数矩阵作初等行变换,84,同解方程组为,:,为自由未知量。,则方程的一般解为：,85,方程组的,通解,为,方程组的一个,基础解系,为,86,思考,1.,若向量组,1,2,r,线性相关,那么,是否对于任意不全为零的数,k,1,k,2,k,r,都有,k,1,1,+,k,2,2,+,k,r,r,=0?,答,结论是否定的,.,因为按定义,向量组,1,2,r,线性相关是指,存在,不全为零的数,k,1,k,2,k,r,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,k,r,r,=0,87,例如，取,1,=(1,0,0),2,=(2,0,0),则,2,1,-,2,=0,则，,1,2,线性相关,.,若取,k,1,=1,k,2,=2,那么,k,1,1,+,k,2,2,=,1,+2,2,=(5,0,0)(0,0,0),这说明并非对任意不全为零的,k,1,k,2,都能使,k,1,1,+,k,2,2,=0.,88,2.,若向量组,1,2,r,线性无关,那么是,否对于任意不全为零的数,k,1,k,2,k,r,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,k,r,r,0?,答,结论是肯定的,.,因为若存在不全为零的数,k,1,k,2,k,r,有,k,1,1,+,k,2,2,+,k,r,r,=0,则按线性相关的定义,1,2,r,线性相关,.,89,3.,向量组的线性相关性能否用线性方程组,的解来判定,?,即,Ax,=0,答,按向量组线性相关的定义,可知列向量组,1,2,n,线性相关的充要条件是齐次线性方,程组,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,=0,有非零解,也就是齐次线性方程组,90,有非零解,其中,A,=(,1,2,n,),x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,列向量,b,能由列向量组,1,2,n,线性表,示的充分必要条件是非齐次线性方程组,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,=b,即,Ax=b,有解,(,但不一定是唯一解,).,91,5.,如何用矩阵的初等行变换求向量组的一个,最大无关组,并用该最大无关组表示其余向量,?,答,其方法是,:,把向量组中的每一个向量作为一列构成矩阵,对该矩阵实施初等行变换,使之成为行最简形矩阵,.,则在该行最简形矩阵中,每个阶梯上的第一个非零元,(,这个非零元为,1),所在的列向量构成该向量组的一个最大无关组,.,而其它列上的位于阶梯线上方的元素即为用这个最大无关组表示该列向量时相应的系数,.,例如,92,例,求向量组,1,=(1,0,2,-1),2,=(3,0,6,-3),3,=(-2,1,-4,4),4,=(2,2,5,0),5,=(-1,-1,7,-19),的一个最大无关组,并用它表示其余向量,.,解,构造矩阵,A,=(,1,T,2,T,3,T,4,T,5,T,),93,行变换,所以一个最大无关组为,1,3,4,且,2,=3,1,5,=-57,1,-19,3,+9,4,.,94,6.,研究向量空间的基,维数对掌握向量空间,有什么作用,?,答,一般而言,一个向量空间中有无穷多个元,素,如何掌握和表达它们呢,?,亦即它们之间的关系,如何,?,通过向量空间的线性运算引入了基、维数,的概念,使得对向量的表达和运算简单化了,.,95,向量空间的一组基,可以说是它的一个最大,无关组,掌握了一个向量组的一个最大无关组,就,等于掌握了整个向量组,.,掌握了向量空间的一组,基,就等于掌握了整个向量空间,.,96,7.,齐次线性方程组,Ax,=0,的解空间是几维,空间,?,答,设方程组,Ax,=0,是有,n,个未知数,m,个方,程的方程组,且,R,(,A,)=,r,则该方程组的解空间是,n-r,维向量空间,它的基础解系由,n-r,个向量构,成,.,