学案4 数列求和.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,4,数 列 求 和,名师伴你行,SANPINBOOK,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,考点六,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,1.,等差数列的前,n,项和公式是采用,方法推导的，等比数列的前,n,项和公式是用,方法推导的,.,2.,数列,a,n,的前,n,项和,S,n,与,a,n,的关系为,a,n,=,.,3.,求数列的前,n,项和，一般有下列几种方法：,（,1,）等差数列的前,n,项和公式：,倒序相加,乘公比错位相减,S,1,(n=1),S,n,-S,n-1,(n2),.,（,2,）等比数列的前,n,项和公式：,当,q=1,时，,S,n,=,;,当,q1,时，,S,n,=,=,.,（,3,）拆项求和：,把一个数列分成几个可以直接求和的数列,.,（,4,）裂项相消：,有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和,.,返回目录,（,5,）错位相减：,适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和,.,（,6,）倒序相加：,例如，等差数列前,n,项和公式的推导方法,.,（,7,）自然数求和公式有：,1+2+n=;,1,2,+2,2,+n,2,=.,返回目录,返回目录,根据数列,a,n,的通项公式，求其前,n,项和,S,n,.,（,1,）,a,n,=10,n,-1;,（,2,）,a,n,=n(n+1).,【,分析,】,若数列为等差数列、等比数列，或能转化为等差、等比数列，或转化为能用其他公式的，用公式法求和,.,考点一 公式法求和,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,解析,】,（,1,）,S,n,=a,1,+a,2,+a,n,=,（,10,1,+10,2,+10,n,）,-,n=,（,2,）,S,n,=a,1,+a,2,+a,n,=,（,1,2,+1,）,+,（,2,2,+2,）,+,（,n,2,+n,）,=(1,2,+2,2,+n,2,)+(1+2+n),=n(n+1)(n+2).,名师伴你行,SANPINBOOK,在数列求和中，常用的公式有：,（,1,）等差数列：,na,1,q=1,q1.,（,3,）,1+2+n=,（,4,）,1,2,+2,2,+n,2,=n(n+1)(2n+1).,返回目录,（,2,）等比数列,:S,n,=,名师伴你行,SANPINBOOK,对应演练,已知数列,log,2,(a,n,-1),nN*,为等差数列,且,a,1,=3,a,3,=9.,（,1,）求数列,a,n,的通项公式；,（,2,）证明,:,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,(1),设等差数列,log,2,(a,n,-1),的公差为,d.,由,a,1,=3,，,a,3,=9,得,2,（,log,2,2+d,）,=log,2,2+log,2,8,即,d=1.,所以,log,2,(a,n,-1)=1+(n-1)1=n,即,a,n,=2,n,+1.,(2),证明,:,因为 ，,返回目录,所以,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,分析,】,所给数列为倒数构成的数列,故应研究通项,看能否拆为两项之差的形式,以便使用裂项相消法,.,【,解析,】,考点二 裂项相消求和,求数列,的前,n,项和,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,(1),裂项法求和时消项的规律具有对称性,即前剩多少项后就剩多少项,;,前剩第几项,后就剩倒数第几项,.,(2),常见的裂项公式有,:,；,；,nn,！,=,（,n+1,）！,-n,！；,！,=,！,-,！；,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,对应演练,设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，点,(n,，,)(nN*),均在函数,y=3x-2,的图象上,.,（,1,）求数列,a,n,的通项公式；,（,2,），,T,n,是数列,b,n,的前,n,项和，求使得,T,n,对所有,nN*,都成立的最小正整数,m.,名师伴你行,SANPINBOOK,（,1,）依题意得,=3n-2,，,即,S,n,=3n,2,-2n.,当,n2,时，,a,n,=S,n,-S,n-1,=(3n,2,-2n)-,3(n-1),2,-2(n-1),=6n-5,；,当,n=1,时，,a,1,=S,1,=31,2,-21=1=61-5,a,n,=6n-5(nN*).,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,（,2,）由,(1),得,b,n,=,故,T,n,=b,1,+b,2,+b,n,因此，使得,(nN*),成立的,m,必须满足,即,m10.,故满足要求的最小正整数,m,为,10.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,求和,:,【,分析,】,分析通项,a,n,=,知,为等比数列,其系,数构成数列,n,成等差数列,故可用错位相减法,.,考点三 错位相减法求和,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,当,a=1,时,S,n,=1+2+3+n=;,当,a1,时,两边同乘,得 得,即,综上所述,得,(a=1),(a1).,返回目录,S,n,=,名师伴你行,SANPINBOOK,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积组成,则求此数列的前,n,项和,S,n,一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子错位相减法,要注意对字母的讨论,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,对应演练,设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,=2n,2,b,n,为等比数列,且,a,1,=b,1,b,2,(a,2,-a,1,)=b,1,.,（,1,）求数列,a,n,和,b,n,的通项公式；,（,2,）设,c,n,=,，求数列,c,n,的前,n,项和,T,n,.,名师伴你行,SANPINBOOK,（,1,）当,n=1,时，,a,1,=S,1,=2,；,当,n2,时，,a,n,=S,n,-S,n-1,=2n,2,-2,（,n-1,）,2,=4n-2.,故,a,n,的通项公式为,a,n,=4n-2,，,即,a,n,是首项,a,1,=2,，公差,d=4,的等差数列,.,设,b,n,的公比为,q,，则,b,1,qd=b,1,，,d=4,，,q=.,故,b,n,=b,1,q,n-1,=2,，,即,b,n,的通项公式为,b,n,=.,返回目录,返回目录,（,2,）,c,n,=,（,2n-1,）,4,n-1,，,T,n,=c,1,+c,2,+c,n,=1+34,1,+54,2,+,（,2n-1,）,4,n-1,，,4T,n,=14+34,2,+54,3,+,（,2n-3,）,4,n-1,+,（,2n-1,）,4,n,.,两式相减得,3T,n,=-1-2,（,4,1,+4,2,+4,3,+4,n-1,）,+,（,2n-1,）,4,n,=,（,6n-5,）,4,n,+5,.,T,n,=,（,6n-5,）,4,n,+5,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,求和,:,（,1,）,S,n,=1+11+111+111;,（,2,）,S,n,=(x+,)2,+,(,x,2,+),2,+(x,n,+),2,.,考点四 拆项法求和,n,个,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,分析,】,(1),写出数列的通项公式,a,n,=(10,n,-1),，分,析通项可知，可转化为一个等比数列,10,n,和,常数列,的求和问题,.,（,2,）分析通项公式,a,n,=(x,n,+),2,=(x,n,),2,+(),2,+2,，,可转化为两个等比数列,x,2n,，,与常数列,2,的求,和问题,.,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,（,1,）,a,n,=(10,n,-1),S,n,=1+11+111+111,=,(10-1)+(10,2,-1)+(10,n,-1),=,(10+10,2,+10,n,)-n,=,=,n,个,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,(2)a,n,=x,2n,+2+,当,x1,时,S,n,=(x+),2,+(x,2,+),2,+(x,n,+),2,=(x,2,+x,4,+x,2n,)+2n+(+),=,=,当,x=1,时，,S,n,=4n.,名师伴你行,SANPINBOOK,如果数列,a,n,的通项,a,n,可写成,a,n,=b,n,c,n,而,b,n,c,n,是等差或等比数列或其前,n,项和可求,那么数列,a,n,的前,n,项和就可转化为,b,n,与,c,n,前,n,项和的和差问题,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,对应演练,求和：,11+103+1 005+10 007+,10,n,+(2n-1),.,a,n,=10,n,+2n-1,原式,=(10+10,2,+10,n,)+2(1+2+n)-n,=+n(n+1)-n,=+n,2,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,考点五 倒序相加法求和,设函数,f(x)=,的图象上有两点,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),若,OP=(OP,1,+OP,2,),，且点,P,的横坐标为,.,(1),求证：,P,点的纵坐标为定值，并求出这个定值；,(2),若,nN*,，求,S,n,.,【,分析,】,本题考查指数式运算及倒序相加法数列求和,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,解析,】,(1)OP=(OP,1,+OP,2,),P,是,P,1,P,2,的中点,x,1,+x,2,=1.,y,1,+y,2,=f(x,1,)+f(x,2,)=,y,p,=(y,1,+y,2,)=.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,(2),由,(1),知,x,1,+x,2,=1,f(x,1,)+f(x,2,)=y,1,+y,2,=1,f(1)=2-,又,S,n,=f()+f()+f()+f(),S,n,=f()+f()+f()+f(),两式相加得：,2S,n,=f(1)+,+f(1)=2 f(1)+1+1+1=n+3-2,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,如果一个数列,a,n,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列前,n,项和，这 就是倒序相加法,.,设,f,（,x,）,=,，求,f,（,-5,）,+f,（,-4,）,+f,（,0,）,+f,（,5,）,+f,（,6,）的值,.,对应演练,返回目录,f,（,1-x,）,+f,（,x,）,=,=,设,S=f(-5)+f(-4)+f,（,5,）,+f,（,6,）,则,S=f,（,6,）,+f,（,5,）,+f,（,-4,）,+f,（,-5,）,.,两式相加得,2S=12 ,S=.,返回目录,考点六 数列求和的其他方法,已知,S,n,为数列,a,n,的前,n,项和，且,S,n,=2a,n,+n,2,-3n-2,，,n=1,，,2,，,3,，,.,（,1,）求证：数列,a,n,-2n,为等比数列；,（,2,）设,b,n,=a,n,cosn,求数列,b,n,的前,n,项和,P,n,.,【,分析,】,在,b,n,中，,n,取奇数、偶数时，,b,n,的表示,形式不同，因此，应分,n,为奇数、偶数讨论,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,（,1,）证明：令,n=1,，则,S,1,=2a,1,+1-3-2,，,a,1,=4.,又,S,n,=2a,n,+n,2,-3n-2 ,则,S,n+1,=2a,n+1,+,（,n+1,）,2,-3,（,n+1,）,-2 ,由,-,得,a,n+1,=2a,n+1,-2a,n,+2n-2,即,a,n+1,=2a,n,-2n+2,，,a,n+1,-2,（,n+1,）,=2(a,n,-2n),即,又,a,1,-2=2,，,a,n,-2n,是以,2,为首项，,2,为公比的等比数列,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,（,2,）由（,1,）知,a,n,-2n=2,n,.,a,n,=2,n,+2n,，,b,n,=,（,2,n,+2n,）,cosn.,当,n,为偶数时，,P,n,=b,1,+b,2,+b,3,+b,n,=(b,1,+b,3,+b,n-1,)+(b,2,+b,4,+b,n,),=-(2+21)-(2,3,+23)-,2,n-1,+2(n-1),+(2,2,+22)+(2,4,+24)+(2,n,+2n),当,n,为奇数时，,P,n,=-,（,n+1,）,.,（,n,为奇数）,（为偶数）,.,返回目录,综上，,P,n,=,名师伴你行,SANPINBOOK,（,1,）对于由递推关系给出的数列，常借助于,S,n+1,-S,n,=a,n+1,转化为,a,n,与,a,n+1,的关系式或,S,n,与,S,n+1,的关系式，进而求出,a,n,与,S,n,使问题得以解决,.,（,2,）对于本题这样判定,a,n,-2n,为等比数列这种类型的问题，可采用整体配凑的方法，求出 为定值即可,.,而若求证,a,n,-2,n,为等差数列，只需构造,a,n+1,-2,n+1,-,（,a,n,-2,n,）为常数即可,.,返回目录,5n+1,（,n,为奇数）,（,n,为偶数），,求数列的前,n,项和,S,n,.,对应演练,返回目录,一个数列,a,n,，,a,n,=,名师伴你行,SANPINBOOK,当,n=2m,时,a,1,a,3,a,2m-1,构成首项为,6,公差为,10,的等差数列,a,2,a,4,a,2m,构成首项为,2,公比为,2,的等比数列,此时,当,n=2m+1,时,返回目录,a,2k+1,-a,2k-1,=,5(2k+1)+1,-,5(2k-1)+1,=10,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,1.,数列求和,如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到灵活运用,.,2.,非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思路：,（,1,）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成,.,（,2,）不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和，要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢,.,名师伴你行,SANPINBOOK,3.,数列求和的方法技能,（,1,）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列求和,.,（,2,）借位相减：用于等比数列、等差数列与等比数列的积数列的求和,.,（,3,）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和数列的求和,.,（,4,）拆项相消,:,常用的拆项公式有,:,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,祝同学们学习上天天有进步！,名师伴你行,SANPINBOOK,