NA-5-4-数值微分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,兰州交通大学数理与软件工程学院,nm0931,第五节 数值微分,在实际问题中，往往会遇到某函数,f,(,x,),是,用表格,表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他,方法近似求导。常用的数值微分方法有,:,一、运用差商求数值微分,二、运用插值函数求数值微分,一,.,运用差商求数值微分,最,简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商,.,利用,Taylor,展开可导出数值微分公式并估计误差,.,一阶,导数的三点公式：,证明,:,同样的方法可以得到其它的三点公式是：,二、运用插值函数求数值微分,设,L,n,(,x,),是,f,(,x,),的,过点,x,0,，,x,1,，,x,2,，,x,n,a,，,b,的,n,次插值多项式，由,Lagrange,插值余项,有对任意给,定的,x,a,，,b,，,总存在,如下关系式,:,若取数值微分公式,误差为,:,因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值,称为,n+1,点求导公式,。,常用的数值微分公式是,n,=1,2,的插值型微分公式,.,当,n,=1,时,有,例,1,设,f,(,x,)=,lnx,，,x,0,=,1.8,，,用,2,点公式计算,f,(,x,0,),。,当,n,=2,时,有,当节点等距时，即有,x,1,=x,0,+h,x,2,=x,0,+2h,h0,上述公式可简化为,有时，也将,x,i,统一表为,x,0,将上述公式写成如下形式,n,=2,时，计算,f,(,x,0,),的误差是,O(,h,2,),且（,4,）,的误差最小。,例,2,设,f,(,x,)=,xe,x,，,x,0,=,2,，,用,3,点公式计算,f,(,x,0,),。,由（,6,），,f,(2)22.166996,，,误差为：,1.6910,-4,公式,(4),计算,f,(2),较准确。,用,5,点公式计算,f,(2),：,当,n=4,时,可得到,5,点公式,：,在构造数值微分公式时，不仅要考虑公式的截断,误差，而且还要考虑公式的舍入误差。,计算 的总误差是：,从截断误差,(,h,2,/6),的角度看，,h,越小误差越小。但从舍入误差的角度看，,h,不能太小。,例,3,设,f,(,x,)=sin,x,，计算,f,(0.900)=cos0.900,的近似值。,解：利用公式,三,.,运用样条插值函数求数值微分,用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数,f,(,x,),的一阶导数和二阶导数的近似值,.,试导出以下数值微分公式,并估计截断误差,.,