偏微分和全微分.ppt

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,現代管理數學,Chapter 3,極佳化方法,3-,*,按一下以編輯式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,3,3-2,偏微分與全微分,若考慮含有,n,個自變數,x,1,x,n,的函數,則當,x,2,x,n,固定不變時,，,f,可視為,x,1,的函數，因此依照前面的定義，可得導數,此稱為,y,對於,x,1,的偏導數,(partial derivative),以符號,、,f,x,1,或,f,1,表之。,1,1,、,例題,3-7,試求,z=3x,2,-6xy,2,+ln(x,2,+y,2,+1),的偏導數函數，及在點,(1,-1),之偏導數。,解,：,=6x-6y,2,+,=-12xy+,=6,1,-6(,-1,),2,+=,=-12(,1,)(,-1,)+=12+=,X,2,+y,2,+1,2x,X,2,+y,2,+1,2y,(,1,-1,),(,1,-1,),1,2,+(,-1,),2,+1,2,1,1,2,+(,-1,),2,+1,2,(,-1,),例題,3-8,設某汽車工廠生產小客車與卡車的成本函數為,C=0.12x,2,+0.04y,2,+0.04xy+320 x+80y+30,其中,C,代表成本,(,以百萬元為單位,),，,x,、,y,分別代表卡車與,小客車的生產數量,(,以千輛元為單位,),。,若目前的生產數量為,x=500,，,y=1000,，試求卡車與小,客車的邊際成本,(marginal cost),、，並解釋其意義。,解,：,=0.24x+0.04y+320,=0.24,500,+0.04,1000,+320=480,當,生產小客車數量維持不變，每多生產一輛卡車,，,總成本增加,480000,元,。,=0.08y+0.04x+80,=0.08,1000,+0.04,500,+80,=180,當,生產卡車數量維持不變，每多生產一輛小客車,，,總成本增加,180000,元,。,X=500,Y=1000,X=500,Y=1000,X=500,Y=1000,X=500,Y=1000,在第,3-1,節中，導數 所表示的是一個極限值,，而不是兩個數量,dy,、,dx,的商。然而，若將符號,看成,dy,被,dx,除時，卻能解釋許多的現象。因此,我們先定義,dx,及,dy,的意義如下,：,由於,f,(,x,),=,lim,所以當增量,x,非常小時,，,y,f,(,x,),x,若以,dy,dx,代替,y,x,，則得下面的定義,：,設,y=,f(x),為一函數，,(1),自變數,x,的微分,(differential),dx,是,x,的增量，,即,dx,=,x,(2),因變數,y,的微分,dy,為,dy,=,f,(,x,),dx,由上述,定義可知，,y,的,微分,dy,為,x,與,dx,的函數。又,由於已知,=,f,(x,),，所以我們可將看成兩個微分,dy,、,dx,的商。再者，,dy,可當作,y,的近似值。也就是說,，當,x,變動時，,dy,可視為因變數,y,的改變量。,3-1,例題,3-9,設,y,=,x,3,，當,x,=2,，,x,=0.01,時，,y,的真實變,動值為,y=,f,(,x+,x,),f,(,x,)=(2.01),3,2,3,=8.120601 8=0.120601,若以微分,dy,來估計,y,，則在,x,=2,，,dx,=,0.01,，,dy,=f,(,x,),dx,=,3,x,2,dx,=,3(2),2,(0.01)=0.12,其誤差為,0.120601 0.12=0.000601,以上微分,dy,的概念可推廣至,n,個自變數的函數,。,設,y,=,f,(,x,1,x,n,),，則,我們稱,dy,為因變數,y,的,全微分,(total differential),。,3-2,全微分,dy,所表示的是當所有自變數,x,1,x,n,一,起變動而使得因變數,y,改變的量，因此當我們令,dx,1,=,x,1,dx,2,=,x,2,dx,n,=,x,n,且,x,1,x,2,x,n,皆非常小時,，,y,的增量,y,大約,等於,dy,，即,y,例題,3-10,設長方形兩鄰邊的長度分別為,x=10,及,y=15,，但測,量不甚精確，所測得之,x,、,y,分別為,10.1,及,15.2,，試求長,方形面積誤差的近似值。,解：面積,A=,xy,d,A,=15(0.1)+10(0.2)=1.5+2=3.5,若直接以,x,、,y,值代入求,A,，則,A=(10.1)(15.2)(10)(15)=153.52 150=3.52,因此,d,A,可視為,A,的近似值。,例題,3-11,假設某產品的產出量與投入,x,1,、,x,2,的關係式,則第一種投入的邊際生產力,(marginal productivity),為,若投入量分別為,x,1,=120,，,x,2,=30,，則產出量,q,=(120),1/2,(30),1/2,=(3600),1/2,=(60,2,),1/2,=60,又,(120),-1/2,(30),1/2,=,即當,x,2,=30,維持不變時，每增加投入,x,1,一單位，大約可,增加產出量,0.25,單位,。,q,=,x,1,1/2,x,2,1/2,x,1,-1/2,x,2,1/2,1/2,1/2,若將兩種投入同時增加,一單位，則,因,=(120),1/2,(30),-1/2,=1,即兩種投入同時增加一單位，則產出可增加,1.25,單位,。,若,x,1,投入減少一單位，但希望產出水準維持不變,(,q,=60),，即由,得知,dx,2,=0.25,，即,x,2,的投入量須增加至,30.25,單位,。,x,1,1/2,x,2,-1/2,1/2,1/2,設含有兩個自變數的函數為,若自變數,x,與,y,亦為變數,t,的函數,則,z,亦可視為,t,的函數。此時，可利用,z,的全微分,除以,dt,，而求得,一般而言，若函數為,且,此即多變數函數微分的連鎖法則,。,又若,x,1,x,2,x,n,是另外兩個變數,r,、,s,的函數，即,則,例題,3-12,若,z,=,x,2,y,3,，且,x,=,，,y,=3,t,3,則由連鎖法則,=(2,xy,3,),t,+(3,x,2,y,2,)(9,t,2,),=2(,t,2,)(3,t,3,),3,t,+3(,t,2,),2,(3,t,3,),2,(9,t,2,),=27,t,12,+,t,12,=,t,12,又，若將,x,=,，,y,=3,t,3,代入,z,=,x,2,y,3,中，則得,z,=(,t,2,),2,(3,t,3,),3,=,t,13,2,2,12,12,例題,3-13,若 ，且時 ，,例題,3-14,ABC,公司生產兩種產品：相機及軟片，其生產,x,個相,機及,y,個軟片的成本函數為,z,=30,x,+0.15,xy,+,y,+900,假設相機及軟片的需求函數分別為,y,=2000,r,400,s,其中,r,：相機價格，,s,：軟片價格。試求,r,=50,s,=2,時,解：,=(30+0.15,y,)+(0.15,x,+1)(-1),當,r,=50,s,=2,時，,代入得,2,設函數,f,的導函數為,f,，若,f,的導數亦存在,，以,f,表之,，則稱,f,為,f,的二階導函數,(second,order derivative),。若以符節 表示一階導數時，,則第二階導數以 表之。一般而言，若,n,為大於,2,的正整數,(,n,2,),，函數,f,第,n,階導數可定義為,f,的第,n,-1,階導數之導數。通常使用下列符節表示,d,2,y,dx,2,d y,n,dx,n,，,f,(,n),(,x,),或,D,n,f,(,x,),例題,3-15,若 ，則,2,2,2,-2,-2,d,2,y,dx,2,-2,=6(-2)(-3)(2-3,x,),-3,=,2,3,2,2!(2-3,x,),-3,d,3,y,dx,3,2,2,-3,2,=,2,3,3,3!(2-3,x,),-4,d,n,y,dx,n,d,n-1,y,dx,n-1,=,2,3,n,n!(2-3,x,),-(n+1),若,f,為,n,個自變數的函數,(n,2,),，我們亦可定,義二階偏導數,(second order partial derivative),。例如,一階偏導數,二階偏導數可定義為,和 稱為混合偏導數,(mixed or cross partial,derivative),，若以上兩種混合偏導數皆為連續，則,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,例題,3-16,若,z,=,x,2,y,+,x,2,y,2,+3,xy,則,=,2,xy,+2,xy,2,+3,y,=,x,2,+,2,x,2,y+,3,x,2,2,=2,y,+2,y,2,2,2,=2,x,2,2,(,x,2,+2,x,2,y,+3,x,)=2,x,+4,xy,+3,2,(,2,xy,+2,xy,2,+3,y,),=,2,x,+4,xy,+3,