线性代数1.1-1.2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,english,english,english,1-,*,陈 梅 香,Tel：[phone],QQ:7289158,E-mail:cmxmath,线性代数,第一章 矩阵,1.1,矩阵的基本概念,一,.,历史,“,矩阵,(matrix)”,这个,词首先是英国数学家,西尔维斯特,使用的,.,他为了将数字的矩形,阵列区别于,行 列 式,(,determinant,),而发明,了这个述语,.,James Joseph,Sylvester,(,1814.9.3,1897.3.15,),1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,英国数学家,凯莱,被公认为是矩阵,论的创立者,.,他首先把矩阵作为,一个独立的数学概,念,并发表了一系,列关于这个题目的,文章,.,Arthur,Cayley,(,1821.8.16,1895.1.26,),第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,例,1,.,某厂家向,A,B,C,三个商场发送四款产品,.,200 180 190,100 120 100,150 160 140,180 150,150,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,20 50 30 25,16 20 16 16,甲 乙 丙 丁,单价,重量,二,.,实例,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,例,2,.,四个城市间的单向航线如图所示,.,1 4,2 3,若用,a,ij,表示从,i,市到,j,市航线的条数,则上图信息可表示为,a,11,a,12,a,13,a,14,a,21,a,22,a,23,a,24,a,31,a,32,a,33,a,34,a,41,a,42,a,43,a,44,即,0 1 1 1,1 0 0 0,0 1 0 0,1 0 1 0,线性方程组,的解取决于,系数,常数项,例,3,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究,.,（,CH3,）,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,三,.,定义,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,1.,由 个数,排成的 行 列的数表,称为 矩阵,.,简称 矩阵,.,元素,(element/entry),记为,a,ij,(1,i,m,1,j,n,),m,n,矩阵,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,注,:,今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都,是实矩阵,.,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,元素都是实数,实矩阵,(real),元素都是复数,复矩阵,(complex),行,(row),列,(,column,),例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,.,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,3.,向量,(vector),行向量,(column vector),a,1,a,2,a,n,列向量,(row vector),a,1,a,2,a,n,第,i,分量,(,i,th,component),a,i,(,i,=1,n,),n,阶方阵,:,n,n,矩阵,2.,方阵,(square matrix),见,例,2,.,一个,1,1,的矩阵,就是一个,数,n,维,(,n,dimensional),第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,4.,同型,(,same-sized,),:,行数相等,列数也相等,5.,两个矩阵,相等,(equal),20 50 30,16 20 16,与,a,b,c,1 2 3,同型,20 50 30,16 20 16,与,不,同型,20,16,50,20,30,16,A,=,a,ij,m,n,与,B,=,b,ij,m,n,相等,:,对,1,i,m,1,j,n,a,ij,=,b,ij,都成立,记为,A,=,B,.,大前提,:,同型,例,设,解,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,四,.,几种特殊的矩阵,1.,对称矩阵,(symmetric matrix),则称,A,为,对称矩阵,.,若,矩阵,A,=,a,ij,m,n,满足,:,1,2,2,1,1,0,1,0,x,3,1,3,0,m,=,n,且,a,ij,=,a,ji,(,i,j,=1,2,n,),第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,2.,反对称矩阵,则称,A,为,反对称矩阵,(,antisymmetric,matrix/,若,矩阵,A,=,a,ij,m,n,满足,:,0,2,2,0,0,1,1,1,0,3,1,3,0,m,=,n,且,a,ij,=,a,ji,(,i,j,=1,2,n,),skewsymmetric matrix).,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,3.,对角矩阵,(diagonal matrix),主对角线,对角矩阵,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,(leading/main/principal,diagonal),副对角线,diag,1,2,n,.,1,0 0,0,2,0,0 0 ,n,简记为,1.1,矩阵概念,4.,单位矩阵,(identity matrix),称为,n,阶单位矩阵,.,E,n,=,1,0 0,0,1,0,0 0 ,1,n,n,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,5.,数量矩阵,/,纯量矩阵,(scalar matrix),diag,k,k,k,数量矩阵,/,纯量矩阵,.,2 0,0,0,2,0,0 0 2,3 0,0 3,例如,:,第一章 矩阵,1.1,矩阵概念,6.,零矩阵,(zero matrix),有时,加下标指明其阶数,.,通常用,O,表示零矩阵,.,0,0,0,0,0 0,0,0,0 0,0 0 0,0,0 0,0,0 0,例如,上述零矩阵分别可以记为,:,O,2,O,2,3,O,3,.,零矩阵,元素全为零,.,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的,.,例如,负矩阵,设 矩阵,称为,A,的负矩阵，记作,A.,即,其系数矩阵,二、矩阵的一些背景,1,解析几何中的矩阵,平面直角坐标逆时针旋转,角,的变换公式：,称为坐标变换（）的矩阵。,坐,标,变,换,二,次,曲,线,方,程,其左端可有下表来表示,二次曲线的一般方程为：,只要规定了,x,，,y,，,1,的次序这个表可以更简单地用矩阵来表示,2,线性方程组的求解,线性方程组,的研究可通过对增广的研究来进行,某航空公司在,A,、,B,、,C,、,D,四城市之间开辟了若干航线，如图所示表示了四城市间的航班图，如果从,A,到,B,有航班，则用带箭头的线连接,A,与,B.,3,交通网络模型,这四城市间交通联接情况可用矩阵来反映,.,例如煤的调运。有,s,个产地,A,1,、,A,2,、,、,A,s,，,n,个销地,B,1,、,B,2,、,、,B,n,。其调动方案如下表：,销地,产地,B,1,B,2,B,3,A,1,A,2,A,2,a,11,a,21,a,s1,a,12,a,22,a,s2,a,1n,a,2n,a,sn,可以反映为矩阵：,4,经济数学问题中的矩阵,三、小结,(1),矩阵的概念,(2),特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵,;,单位矩阵,;,对角矩阵,;,零矩阵,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1.2,矩阵的基本运算,一,.,矩阵的线性运算,1.,加法,(addition of matrices),产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,200,180,190,乙,100,120,100,第一次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,220,185,200,乙,105,120,110,第二次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,乙,两次累计,:,420,例,1,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1.2,矩阵的基本运算,一,.,矩阵的线性运算,1.,加法,(addition of matrices),产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,200,180,190,乙,100,120,100,第一次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,220,185,200,乙,105,120,110,第二次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,乙,两次累计,:,420,365,例,1,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1.2,矩阵的基本运算,一,.,矩阵的线性运算,1.,加法,(addition of matrices),产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,200,180,190,乙,100,120,100,第一次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,220,185,200,乙,105,120,110,第二次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,乙,两次累计,:,420,365,390,例,3,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1.2,矩阵的基本运算,一,.,矩阵的线性运算,1.,加法,(addition of matrices),产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,200,180,190,乙,100,120,100,第一次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,220,185,200,乙,105,120,110,第二次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,乙,两次累计,:,420,365,390,205,例,1,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1.2,矩阵的基本运算,一,.,矩阵的线性运算,1.,加法,(addition of matrices),产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,200,180,190,乙,100,120,100,第一次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,220,185,200,乙,105,120,110,第二次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,乙,两次累计,:,420,365,390,205,240,例,1,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1.2,矩阵的基本运算,一,.,矩阵的线性运算,1.,加法,(addition of matrices),产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,200,180,190,乙,100,120,100,第一次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,220,185,200,乙,105,120,110,第二次,产品,发到各商场的数量,A,B,C,甲,乙,两次累计,:,420,365,390,205,240,210,例,1,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1.,加法,(addition of matrices),420,365,390,205,240,210,A,+,B,=,200,180,190,100,120,100,A,=,220,185,200,105,120,110,B,=,(1),大前提,:,同类型,(2),具体操作,:,对应元素相加,定义,设 则矩阵,称为,矩阵,A,与,B,的,和（,sum,）,，记作 即,注意,例如,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,.,2,、矩阵加法的运算规律,(additive inverse of,A,).,设,A,B,是同型矩阵,则它们的,差,(subtraction),定义为,A,+(,B,).,记为,A,B,.,即,A,B,=,A,+(,B,).,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,2.,数乘,(scalar multiplication),设矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,数,k,与,A,的,乘积,定义为,(,k,a,ij,),m,n,记为,k,A,或,A,k,.,注,:,矩阵的,线性运算,(linear operation),即,k,A,=,A,k,=,k,a,11,k,a,12,k,a,1,n,k,a,21,k,a,22,k,a,2,n,k,a,m,1,k,a,m,2,k,a,mn,加法,数乘,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,3.,性质,设,A,B,C,O,是同型矩阵,k,l,是数,则,(5)1,A,=,A,(6),k,(,lA,)=(,kl,),A,(7)(,k,+,l,),A,=,kA,+,lA,(8),k,(,A,+,B,)=,kA,+,kB,.,二,.,矩阵的乘积,(,matrix-multiplicative product,),例,2,.,某厂家向,A,B,C,三个代理商发送四款产品,.,A,=,20 50 30 25,16 20 16 16,B,=,200 180 190,100 120 100,150 160 140,180 150,150,20,200,+,50,100,+,30,150,+,25,180,18000,18150,16750,10480,10240,9680,18000,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1.,定义,A,=(,a,ij,),m,s,与,B,=(,b,ij,),s,n,的,乘积,(product),是一个,m,n,矩阵,C,=(,c,ij,),m,n,其中,c,ij,=,a,i,1,b,1,j,+,a,i,2,b,2,j,+,a,i,s,b,s,j,=,a,i,k,b,k,j,.,k,=1,s,记为,C,=,AB,.,称,AB,为“以,A,左乘,B,”,或“以,B,右乘,A,”.,=,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,b,11,b,12,b,21,b,22,b,31,b,32,如,a,11,b,11,+,a,12,b,21,+,a,13,b,31,a,11,b,12,+,a,12,b,22,+,a,13,b,32,a,21,b,11,+,a,22,b,21,+,a,23,b,31,a,21,b,12,+,a,22,b,22,+,a,23,b,32,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,2.,矩阵乘积的特殊性,(1),只有当矩阵,A,的,列,数等于矩阵,B,的,行,数时,乘积,AB,才有意义,.,例,3,不,存在,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,(2),若,A,是一个,m,n,矩阵,与,B,是一个,n,m,矩阵,则,AB,和,BA,都有意义,.,但,AB,是一个,m,阶方,阵,BA,是一个,n,阶方,阵,.,当,m,n,时,AB,与,BA,谈不上相等不相等,.,即使,m,=,n,AB,与,BA,是同阶,方,阵也未必相等,.,不满足交换律，,设,练习,故,解,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,1 1,2,2,2,4,1,2,1 0,0 1,1 1,2,2,2,4,1,2,1 0,0 1,=,0,0,0 0,3,3 6,1,1,2,2,2,4,=,1,1,2 2,1,2,1 2,=,0,0,0 0,1,1,2 2,1,2,1 2,=,3,3,3,3,例,4,但也有例外，比如设,则有,注意,未必,(,不满足消去律,),若 ，称,A,与,B,可交换,一般地，,(,不满足交换律,),即 且 时，有可能 ,未必有 或 ,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,设,k,是数,矩阵,A,B,C,使以下各式中一端,有意义,则另一端也有意义并且等式成立,:,(1)(,AB,),C,=,A,(,BC,),(2),A,(,B,+,C,)=,AB,+,AC,(,A,+,B,),C,=,AC,+,BC,(3)(,kA,),B,=,k,(,AB,).,3.,性质,4.,方阵,A,的,正整数幂,(power),A,1,=,A,A,2,=,AA,A,k,+1,=,A,k,A,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,A,k,A,l,=,A,k,+,l,(,A,k,),l,=,A,kl,(,AB,),k,=,A,k,B,k,但即使,A,与,B,是同阶方阵,也未必成立,!,容易验证,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,(,AB,),k,=,A,k,B,k,注,:,要说明即使,A,与,B,是同阶方阵,也未必成立,只要举出一个反例即可,.,例如,A,=,1,1,0 0,B,=,1,0,1 0,AB,=,2,0,0 0,A,2,=,1,1,0 0,=,A,当然这里,AB,BA,B,2,=,1,0,1 0,=,B,(,AB,),2,=,4,0,0 0,A,2,B,2,=,AB,=,2,0,0 0,=,1,1,1 1,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,注,:,若,AB,=,BA,则,(,AB,),k,=,A,k,B,k,.,A,=,0,1,0 0,B,=,1,0,0 0,AB,=,0,0,0 0,BA,=,0,1,0 0,AB,BA,但,(,AB,),k,=,A,k,B,k,成立,.,数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,三,.,方阵的多项式,A,方阵,方阵,A,的,多项式,(polynomial).,f,(,x,)=,a,s,x,s,+,a,s,1,x,s,1,+,a,1,x,+,a,0,f,(,A,)=,a,s,A,s,+,a,s,1,A,s,1,+,a,1,A,+,a,0,E,f,(,x,),多项式,注意,!,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,结合律的妙用之一,设,A,=,BC,其中,B,=,C,=1 2 3,1,2,3,(,还有,“,妙用,之二,”,喔,!,),A,100,=,?,1,2,3,2,4,6,3,6,9,则,A,=,CB,=,1,2,3,1,2,3,=,1,1,+,2,2,+,3,3,=14.,A,100,=(,BC,)(,BC,)(,BC,)(,BC,)(,BC,)(,BC,),=,B,(,CB,)(,BC,),C,B,(,CB,)(,CB,),C,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,类似,习题,1,（,A,）一,2,（,B,）,4,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,四,.,矩阵的转置,1.,定义,:,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,A,T,=,的,转置,(transpose),a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,矩阵的转置运算满足如下性质,(1)(,A,T,),T,=,A,(2)(,A,+,B,),T,=,A,T,+,B,T,(3)(,kA,),T,=,kA,T,(4)(,AB,),T,=,B,T,A,T,.,2.,性质,例,5,已知,解法,1,P51 ex6,类似,解法,2,设,n,级方阵,(1),若 满足 即,对称矩阵反对称矩阵,定义,则称,A,为,对称矩阵,；,(2),若 满足 即,则称,A,为,反对称矩阵,.,性质,(2),对称，对称,；,反对称，反对称,(1),对称 对称,;,反对称 反对称,(3),奇数级反对称矩阵的行列式等于零,为奇数时，,i),对称，积 对称吗,?,想一想,ii),反,对称，积 反对称吗,?,皆为,n,级对称矩阵，证明：,例,6,已知,皆为,n,级对称矩阵，,对称,证：,若,AB,对称，则有,反过来，若,AB,=,BA,，则有,所以,AB,对称,.,第一章 矩阵,1.2,矩阵的基本运算,注,:,(,A,+,A,T,),T,=,A,+,A,T,(,A,A,T,),T,=(,A,A,T,),A,是方阵,?,作业,，,12,思考,1,（）,解,思考,【P51 5(7)】,由此归纳出,用数学归纳法证明,当 时，显然成立,.,假设 时成立，则 时，,所以对于任意的 都有,James Joseph,Sylvester,(,1814.9.3,1897.3.15,),英国数学家,1814,，,9-1897,，,3,1855,1870,年任伍利芝皇家陆军军官学校教授,1859,年选为,皇家学会会员,.1876,年被聘为美国巴尔的摩约翰,.,霍普金斯大,学数学教授,.1883,年返回英国,任牛津大学几何学教授,.,西尔维斯特的成就主要在代数学方面,他同凯莱一起发展了,行列式理论,创立了代数型理论,共同奠定了关于代数不变量,理论的基础,.,他在数论方面也做了出色的工作,.,