高量5--量子数l的升降算符.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,由此,可证明,对体系任意态矢量,都成立。,8.3,量子数,l,的升降算符,一、升降算符的寻找,根据讨论升降算符的经验，若,R,（不是矢径）,是使,|,lm,中,l,改变,1,而,m,保持不变的算符，则可令,这样就有,1,同理,当,a,=-2,l,时，,注意到当,a,=2(,l,+1),时，利用上式可得,即 之间 满足下列对易关系,2,利用上述本征方程的意义，可以将,R|,lm,写为,可见,R,对于,|,lm,的作用有关于量子数,l,上升算符和下降算符的性质。,设上升算符记为,R,，下降算符记为,Q,，则有,下面看,R,Q,到底是什么形式。,3,与式 比较，形式上多了第一项。,注意方向算符,N,与,L,2,的对易关系：,另外由式 得,从这两式可以看出，若取一个矢量,选择适当的,b,c,，有可能使,R,满足式,经过试验发现 正好满足上式。,而,正好满足,4,比如对 分量，因为 ，则有,当然可以验证，等不满足上式对易式。所以 正是我们要寻找的 的量子数 的上升和下降算符。,5,二、算符,R,Q,各分量对,|,lm,的作用,估计与升降算符有关。,令,很容易证明,例如证明第一式,6,同我们意料到的一样，分别是,l,的上升和下降算符，而且 分别是,m,的上升算符，是,m,的下降算符，可用下述公式表示,以及前面所得到的公式,7,可用计算出,R,Q,对,|,lm,的作用结果。,特别提示：在求,R,Q,对,|,lm,的作用时，要用到下述已知的公式,（,1,）,R,Q,的分量表示；,（,2,）以及对,|,lm,的作用公式；,（,3,）以及对,|,lm,的作用公式；,8,推导过程相对复杂一些，这里只给出结果：,9,8.4,球谐函数,下面取位置表象，求轨道角动量本征矢量,|,lm,的具体表达式。,一、位置表象中轨道角动量算符的表示,此时,R,，即 成为相乘算符，,对 有,10,方向算符,N,对态函数的作用是一个相乘算符,而,注意：以上这些算符等式，只有左右双方作用在任意态函数上才成立，而且都是对,部分作用的,与,r,无关；方向算符是相乘算符，作用起来很方便。,而,11,二、轨道角动量本征函数的计算,1.,本征函数所满足的基本方程,轨道角动量本征函数在位置表象中记为,所满足的方程可记为,通常方法是解上述微分方程得到 。但实际上知道了一个具体的 ，利用升降算符作用即可得到其它了。,12,2.,本征函数的求解,（,1,）求,取,l,=,m,=0,所满足的方程就写为,容易看出第二式的通解为,（只对 求导）,将此式代入第一式得,13,此方程的通解为,因为 在 附近有限，必须取,所以 ，即,利用归一化条件,很容易得到,14,利用方向算符 可依次得出,15,下面举例证明第一式。,利用,有,所以,16,与此类似，利用,可由 得出,得到了 这两个公式之后，只要用 依次对 作用，或用 依次对 作用，就可得出,l,固定的全部 。这样,17,18,类似地，用 依次对 作用，可得,利用教材中所证明的公式（这里不再证明）,可把 写成两种形式（前面已经用,分别得出）,19,它们是轨道角动量 的共同本征函数,的普遍表达式。,20,由于以上两式是从,l,=0,出发得出的，所以式中,l,只能取零及所有整数，故,m,也只能取整数，即,在数学上称为球谐函数，全部球谐函数 在单位球面上对于单值有限的任何函数 构成完全函数组。,前几个球谐函数是,21,22,2.,自旋空间：,8.6,自旋和自旋波函数,一、自旋空间,1.,自旋,粒子的自旋态是粒子的内禀状态，与经典的“旋”是两个概念。,自旋无法用以前全基于位形空间,Hilbert,空间的矢量来描述，必须另外建立一个描述自旋态的矢量空间，这个空间我们称之为自旋空间。,23,而以前讨论的抽象的,Hilbert,空间或函数空间可以称之为位置,Hilbert,空间或位置空间。完整地描述单粒子态的,Hilbert,空间是这两者的直积空间。,3.,自旋角动量算符,S,：,S,是个矢量厄米算符，其分量服从角动量的对易关系：,通常取 作为对易算符的完备组，其共同本征矢量为 ，即有,24,其中,4.,自旋量子数的取值,自旋与轨道角动量量子数在数值上有不同的特点：,（,1,）非复合粒子,自旋量子数,s,只能取一个值，比如,1,）电子,s=1/2,25,2,）在基本稳定的粒子态中，所有的轻子和 以外的所有重子,s=1/2,3,）,s=3/2,4,）介子,s=0,5,）光子,s=1,（,2,）复合粒子,1,）粒子基态,s=0,2,）氘核基态,s=1,3,）,Li,核基态,s=3/2,复合粒子自旋量子数有时可以发生变化。,26,基矢个数确定维数，与自由度要区分开,5.,自旋空间的维数,对于,s,=0,的粒子，完全不用讨论自旋，或者说其自旋空间是一个,1D,空间，其中只有一个自旋态（,s,=0,m,=0,）。,对非相对论量子力学的主要对象,电子来说，,s,=1/2,，,m,只能取 两值，自旋空间是,2D,的。一般情况下自旋空间维数是,2,s,+1,维。,（为什么？）,27,二、自旋算符的对易及反对易关系,讨论,s=1/2,的粒子，以电子为例。,其突出特点是，自旋在任意方向上的分量只能取 ，即,即角动量平方及各分量平方算符是一个数算符，这可以导致一个特有的关系。,28,将此式两边左乘和右乘 ，得,两式相加，得,由 得,29,即自旋三个分量的算符彼此是反对易的。这是,自旋,1/2,粒子所特有的关系。,一般地有,或写成,由前面的讨论可知，是带有量纲的数 ，,它与任何算符都对易，,30,三、自旋算符和自旋态矢量,1.,表象,在单电子的,2D,自旋空间中，通常采用 表象，即取 的共同本征矢量 为基矢，将算符和态矢量分别写成 矩阵和一列矩阵形式。,此时基矢矩阵形式可以写为,31,任意自旋矢量 可以写为,归一化要求,此时左边第一项为处于 态的电子 的概率，第二项为 的概率。,2.,泡利矩阵（自旋算符）,在 表象中，本身是一个对角矩阵，即,32,与 满足对易关系的 的最一般形式为,是任意实数，习惯上取,=0,，称为国际通用的自旋矩阵,若令 ，则,33,称为泡利矩阵，显然其分量算符满足关系,3.,自旋态矢量,单电子的态矢量 可以写成直积形式,34,或者写成,xyzS,z,表象的函数形式,式中,35,归一化条件是,亦即,此式左方第一个积分是电子不问位置，自旋取正的概率，第二项是自旋取负的概率。,36,11,运动方程,11.1,Schr,dinger,方程,一、一般形式,此方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或,多粒子等所有情况。,根据量子力学基本原理,4,，微观体系的状态,随时间的变化规律满足下列,Schr,dinger,方程,当单粒子有自旋时，波矢量和哈密顿分别是位形,空间和自旋空间二者直积空间中的矢量和算符。,37,系统运动方程取决于系统本身的情况和外部环境，而外部环境通常是电磁场和各种模型中的势场。,当系统的线度不大时，外加的宏观电磁场可以看成是均匀的，但可随时间变化。哈密顿中的明显含时因素几乎全部出自外电磁场的变化。,二、具体形式,1.,空间运动部分,这部分可从系统经典分析力学中的哈密顿,H(,x,p,t,),得到。只要将其中的,x,和,p,换成粒子的位置和动量算符，即可得到哈密顿算符。如电磁场中的带电粒子,38,经典哈密顿量为,V,是其它因素对哈密顿的贡献。,故单粒子的哈密顿算符为,其中,为方便起见，以后算符上不再加算符符号。,39,将,两边同时作用到任意态矢量 上，注意到,有,对于均匀磁场,B,，矢势,A,可以写成,此式证明如下：,40,利用公式,当 时，,而 为均匀磁场，,41,但,而,这是我们经常使用的公式。它说明了矢势同矢径,和磁场的关系。,42,右方第二项成为,而电磁波是横波，即有,，且式,式中 为粒子的角动量算符。,于是单粒子的哈密顿可以写成,43,由此可定义单粒子的轨道磁矩算符,在,L,的本征态,|,lm,中，轨道磁矩的大小及其,z,分量取确定值，例如对电子有,称为玻尔磁子。,其中,式中,A,2,项由于数量级小，往往可以略去。,44,2.,有关自旋的项,对,H,中与自旋有关的项，由于没有经典类比，无法从经典分析力学中得出，应该利用电子自旋磁矩的实验值,写出对能量的贡献，加在下式中,通常将 用 代替，这时电子的自旋磁矩算符为,在自旋 表象下，这是一个 矩阵的矢量算符。,45,例如，哈密顿中自旋在外磁场,B,中的能量附加项为,另外，一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相互作用能,(,即旋轨耦合,),，例如对类氢离子中电子为,讨论原子问题时，常在哈密顿中加上由自旋引起的能量。这些都相当于在哈密顿中,V,这一项。,46,3.,含有自旋的薛定谔方程,在 表象下，含有自旋的薛定谔方程可以写为如下的泡利方程,式中 都是,x,y,z,t,的函数。,47,11.2,演化算符,方程,是时间的一阶微分方程，初态 给定，原则上可以知道任意时刻的状态 。由此可定义一个演化算符,U(t,t,0,),使其满足,将上式代入薛定谔方程中，得,显然，,U(t,t,0,),的具体形式取决于薛定谔方程中的,H,。,此式对同一系统的一切初态 都成立。,48,于是得演化算符满足的微分方程为,当,H,中不显含时间时，此式在 的初始条件下的解为,故可知态矢量的归一化性质不随时间改变，即若,是归一化的，则 对一切时间都是归一化的。,这就是当,H,中不显含时间时演化算符的具体形式，是一个幺正算符。,哈密顿显含时间的演化算符不再介绍。,49,11.3,绘景变换,量子力学中的各种关系式，可以直接用矢量和算符表示，也可以取不同的表象用矩阵表示。不同表象中的矢量和算符，通过一个不含时的幺正矩阵联系起来。,一个关系式在不同表象中的形式是完全等价的。,现在取一个含时间的幺正算符,U(t,),，作用在所有的矢量和算符上进行幺正变换。这样会得到与原来的矢量和算符的关系完全平行和等价的关系，,但其形式会发生较大的变化。,这种变换叫,50,改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换，使得在新的绘景下，某一问题的解决更方便一些。,我们说，幺正变换,U(t,),使我们得到量子力学关系式的另一个绘景。,二、薛定谔绘景,(Schr,dinger picture),到目前为止,我们所用的绘景没有经过幺正变换，称之为,Schrdinger,绘景（,SP,）。,为了同新绘景相区别，我们把为,Schrdinger,绘景中的矢量和算符写成 的形式。在这个绘景中态矢量是含时的，服从,Schrdinger,方程,一、绘景变换,51,而一般算符则不含时（一些含时微扰除外），这样,在,Schrdinger,绘景中还可以取各种表象,(,represen-tation,),。每一种表象都同一组特定的基矢相联系，而基矢是不含时的。,设想去看,Hilbert,空间，则应看到，描写状态的态矢量是按照一定规律运动的，而每一组基矢是静止的。,态矢量的各种表象，不论写成矩阵的形式，还是写成函数的形式，都是随时间变化的，因为它们是运动的态矢量在静止的基矢上的分量。,展开系数是含时的,52,注意：与基矢的幺正变换相区别。,11.4,海森堡绘景变换（,Heisenberg picture,）,一、,Heisenberg picture (HP),1.,定义：,当系统的,哈密顿 不含时,时，可以保持,Hilbert,空间中基矢框架不动，将 连同所有描写物理量的算符 全部进行一个,含时,的幺正变换。这种描述方式就是,HP,。,幺正变换选用这个系统的演化算符,U(t,0),的逆算,符取进行，即含时幺正算符是,53,式中 是这个系统的,SP,中的哈密顿。若 本身含时间，则上式不成立，无法建立,HP,。,2.HP,绘景中的态矢量和算符,SP,中的态矢量和算符经过上述含时幺正算符的作用后所得的新的态矢量和算符就是,HP,中的态矢量和算符，记为,54,注意：哈密顿算符在此两个绘景中是一样的。为什么？,3.,Hersenberg,方程,HP,的特点是，态矢量 不随时间改变，因为幺正变换把任意时刻态矢量都变回初态的态矢量，而在,HP,中描写物理量的算符则是随时间变化的,即,55,于是得,此式就是在,HP,中的运动方程，它描写了算符 随时间变化的规律，称为,Heisenberg,方程。,由算符的变换方程 得,此式仅对哈密顿成立，所以可将,H,算符右上角表示绘景的标记略去。,注意,HP,的选取是与系统的哈密顿有关的，哈密顿不同，将得到不同的,HP,。,56,1.,定义,二、守恒量,可知，当系统的,H,不含时间时，若,HP,中的算符 也,不随时间改变，即 ，则,A,称为守恒量。,显然，,A,是守恒量的条件是,可以发现，不含时的哈密顿本身是一个守恒量。,事实上，由于 ，,对守恒量,A,来说,，有,由式,57,用,B,代表完备组中其余算符，则此厄米算符完备组可以写为,2.,守恒量的性质,由初等量子力学基础我们已经知道，守恒量 在系统的任意含时态 中取各值 的概率不随时间改变。这里重新证明如下：,【,证,】,守恒量 既然同,H,对易，那么含有 的一组厄米算符完备组中一定含有,H,。,其共同本征矢量可以写成,将系统的态矢量 按照这套本征矢量展开,58,其中,可见 中是不含时的，而物理量 在 中取值 的概率是 。,于是证明了守恒量在含时态中取各值的概率与时间无关。,由此性质又可得出下面几条结论：,59,(1),守恒量,A,在系统任意状态中平均值不随时间改变。,即,(2),若守恒量于某一时刻在给定态中取确定值，则在,此以后,(,以及此前,),的任意时刻均取相同的确定值。,3.,说明,量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量的区别：,经典力学中：,系统运动时守恒量总取确定值；若同时有几个守恒量，则都各自取确定值。,量子力学中：,守恒量不一定取确定值。若两个守恒量,A,B,互不对易，则根本不存在二者都取确定值的状态。,60,三、对,HP,的直观理解,设在,Hilbert,空间中取一组厄米算符完备组,K,，用其本征矢量 建立一组基矢作为一个固定框架。,就是说，,HP,中可以建立各种表象，态矢量写成矩阵形式，这些列矩阵都是不含时的。,某系统的状态 是不含时的,而,就是 在,HP,中的,K,表象,这也是不含时的。,也可以换个角度看。保持基矢组 不动，再复制一组与 一样的基矢组,.,让这组新的基矢在,t=0,时刻与原来的基矢完全重合，而在,t,增加时开始动起来，成为动基矢组 。,61,我们规定动基矢组的运动规律与系统的态矢量运动规律一样，即,这样 就成为空间中一组动的框架。这时,系统的态矢量 在动基矢 上的分量就是,HP,中态矢量的,K,表象,：,62,从动系上去看算符,A,，则看到一个动算符，即静止算符,A,在动系中的矩阵元是含时的。,如果完备组,K,中含有系统的哈密顿,H,，那么以上两式就是,HP,中的,能量表象,.,它是,HP,中最常用的一个表象，也是历史上最早的,HP,中的矩阵形式。,用经典力学来比喻，就是建立了一个与动矢量相“固连”的动坐标系。观察者“站在”动系上去观察动矢量，他看到的这个矢量将是静止的。,63,四、,HP,的对易关系,根据幺正变换的性质，两个绘景中含有矢量和算符的所有关系式都是一样的（带有对时间求导的关系除外）。算符的本征值与简并度数也一样。故在,HP,中 的对易关系为,在,HP,中位置算符与动量算符随时间变化的规律，由前面出现的公式,64,可得,此二式与经典分析力学中的,Hamilton,正则方程形式完全一致。,65,五、量子化,1,、量子化一词的含义：,（,1,）在经典理论中，取连续值谱的物理量在量子,力学中变为离散值谱的现象；,（,2,）参照系统的经典运动规律写出其量子运动规,律的方法。,2,、一次量子化,历史上有一常被提到的量子化方法，可表述如下：,（,1,）写出系统的经典,Hamilton,正则方程,66,经过以上手续,就从系统所服从的经典力学运动规,律，直接进入到,HP,中的量子力学。这种手续称之为,“一次量子化”。,（,2,）将上方程中的物理量 看成算符,（,3,）赋予 以下对易关系,（,4,）给这些算符找一些适当的（不含时的）作用,对象来描写状态。,后面在介绍全同粒子体系时还介绍,“,二次量子化,”,。,67,