近世代数课件--2.8 子群.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,子群,8.1,定义与例,8.2,等价条件,8.3,生成子群,8.4,子群的运算,8.1,定义与例,讨论子对象是一个常用的代数方法,.,我们看一个群 假如由 里取出一个非空子集 来，那么利用 的乘法可以把 的两个元相乘对于这个乘法来说，很可能也作成一个群,定义,一个群 的一个非空子集 叫做 的一个,子群,，假如 对于 的乘法来说作成一个群,用符号,表示,例,给了一个任意群 ，至少有两个子群：,；,只包含单位元 的子集,例,，那么 是 的一个子群,因为：,对于 的乘法来说是闭的，,，,，；,结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对；,；,，,更多的例子,注,1:,的乘法必须是 的乘法,注,2:,验证 是子群时有些条件可以省略,.,8.2,等价条件,引理,:,设,那么,(1),(2),对于 中运算,定理,一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：,（,）,（,）,证明,若是（,），（,）成立，作成一个群,由于（,），是闭的；,结合律在 中成立，在中自然成立；,因为 至少有一个元 ，由（,），也有,元 ，所以由（,），,由（,），对于 的任意元 来说，有,元 ，使得,反过来看，假如 是一个子群，（,）显然成立我们证明，这时（,）也一定成立 证完,（,），（,）两个条件也可以用一个条件来代替,定理,一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：,（,）,证明,I.,我们先证明，（,）和（,）成立，（,）就也成立,假定 ，属于 ，由（,），由（,），,II.,现在我们反过来证明，由（,）可以得到（,）和（,）,假定 由（,），于是,（,）成立,假定 ，由刚证明的，；由（,），,即,(i),成立,证完,假如所给子集 是一个有限集合，那么 作成子群的条件更要简单,定理,一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：,证明,这个条件是必要的，无须证明我们证明它是充分的因为 是有限集合，我们使用有限的定义证明,.,8.3,生成子群,现在我们要认识一种找一个子群的一般方法,我们在一个群 里任意取出一个非空子集 来，包含元 ，,.,那么 当然不见得是一个子群,但是我们可以把 扩大一点，而得到一个包含的子群,利用 的元以及这些元的逆元我们可以作各种乘积，比方说，,，,等等设集合 刚好包含所有这样的乘积,可以证明,:,(1).,作成一个子群,因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积，,一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积,由定理，,(2),对任何一个包含 的子群,一定包含 ,这一点容易看出：既是一个子群，它又包含所有 的元 ，,，,，,，两个条件，因而根据定理,1,，它必须包含所有的上面所作的那些乘积；这就是说，,由,(1),和,(2),，是包含 的最小的子群,定义,如上得到的 叫做由 生成的子群，我们用符号 来表示它,假如我们取一个只包含一个元 的子集 ，那么,是一个循环子群,例,3,生成子群很复杂,给出一些简单的例子,8.4,子群的运算,两个子群的交仍然是子群,两个子群的并不一定是子群,群的子集的运算,容易证明,:,设,A,，,B,是群,G,的两个非空子集,规定,等价条件的另外表达,定理,1,一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：,（,）,（,）,定理,一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：,（,）,定理,3,一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：,证明,:,仅证明定理,1,设,H,是,G,的子群,那么,(?),另一方面,所以,注意,:,所以,.,反过来,构成 的一个子群,.,子群的乘积,例,4,两个子群的乘积一般不是子群,.S,3,中，,H=(1),(12),N=(1),(13),HN=(1),(13),(12),(132),不是子群,定理,4,设,H,K,是,G,的两个子群,那么,HK,是子群,HK=KH,证明,:,如果,HK,是子群,那么,(HK)-1=HK,同时,(HK)-1=K-1H-1=KH,所以,HK=KH,反过来,如果,HK=KH,(HK)(HK)=(HK)(KH)=.=HK,(HK)-1=K-1H-1=KH=HK,注,:HK=KH,hk,=,kh,(,k,h,分别属于,K,和,H),?,作业,:,P64-65:2,3,4,