第一节多元函数的基本概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,第一节 多元函数的基本概念,一、多元函数的概念,二、多元函数的极限,三、多元函数的连续性,四、小结,第八章 多元函数微分法及其应用,一、多元函数的概念,（1）邻域,回忆,（1）邻域,一、多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为,开集,内点,.,内点：,开集：,开集,.,边界点：,边界点,.,连通：,连通的,.,开区域：,连通的开集称为,区域,或,开区域,例如，,例如，,闭区域：,对于点集,E,，,如果存在正数,K,，,使,一切点,P,E,与某一点,A,间的距离|,AP,|,不超过,K,，,即,对于一切点,P,E,成立，则称,E,为,有界点集,。,否则称为,无界点集,.,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点,（1）,内点一定是聚点；,说明：,（2）,边界点可能是聚点；,例如，,(0,0),既是,边界点也是聚点,补充,（3）,点集,E,的聚点可以属于,E,，,也可以不属于,E,例如,(0,0),是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（1）,内点一定是聚点；,说明：,（2）,边界点可能是聚点；,例如，,(0,0),既是,边界点也是聚点,（4）,n,维空间,实数,x,一一对应,数轴点.,数组(,x,y,),实数全体表示直线(一维空间),一一对应,平面点,(,x,y,),全体表示平面(二维空间),数组(,x,y,z,),一一对应,空间点,(,x,y,z,),全体表示空间(三维空间),推广,：,n,维数组(,x,1,x,2,x,n,),全体称为,n,维空间,，记为,n,维空间中两点间,距离公式,设两点为,特殊地，当,n,=,1,2,3,时，便为数轴、平面、空间两,点间的距离,n,维空间中,邻域,概念：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,（5）二元函数的定义,回忆,点集,D,-,定义域,，,-,值域,.,x,、,y,-,自变量,，,z,-,因变量,.,类似地可定义三元及三元以上函数,点集,D,-,定义域,，,-,值域,.,x,、,y,-,自变量,，,z,-,因变量,.,函数的,两个要素,:,定义域、对应法则.,与一元函数相类似，对于定义域,约定,：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例,1,求 的定义域,解,所求定义域为,（6）二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,二、多元函数的极限,利用点函数的形式有,说明：,（,1）定义中 的方式是任意的；,（,2）二元函数的极限也叫,二重极限,（,3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（4）二重极限的,几何意义,：,0，,P,0,的去心,邻域,U,(,P,0,)。,在,U,(,P,0,),内，函数,的,图形总在平面,及,之间。,例2,求证,证,当 时，,原结论成立,注意,：是指,P,以任何,方式趋于,P,0,.,一元中,多元中,确定极限,不存在,的,方法,：,例3,设,解,但取,其值随,k,的不同而变化。,不存在,故,例4,求,解,例5,求极限,解,其中,三、多元函数的连续性,定义3,定义3,注意,：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能,在曲线上的所有点处均间断。,例如，,因此，,多元初等函数,：,由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四,则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表,示的多元函数叫,多元初等函数,。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域,在,定义区域内的,连续点求极限可用“,代入法,”：,例6,求极限,解,是,多元初等函数。,定义域：,于是，,（不连通）,例,解,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，在,D,上,至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，如果在,D,上取得两个不同的函数值，则它在,D,上取,得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）,最大值和最小值定理,（2）,介值定理,四、小结,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（,注意趋近方式的,任意性,）,多元函数的定义,作业：,P,12 2，4（1），（3），（5）,5，6，7,