线性代数二次形及其标准型.ppt

,1,*,*,*,*,线性代数 第五章,5.2,二次型及其标准形,一、二次型的矩阵表示,1,、二次型,定义,1,.,n,个变量 的二次齐次函数,2,、二次型的矩阵表示法,令,其中,A,是一个,n,阶对称矩阵,称为二次型的矩阵表达形式,A,称为二次型的矩阵，,A,的秩称为二次型的秩,.,说明：,（,1,）二次型的矩阵都是对称矩阵；,（,2,）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；,写出它的矩阵表达式。,例,1,：,解,：,例,2,解,0,2,0,注,1,、变量的线性变换,定义,5.2,关系式,令,则,线性变换的矩阵形式为,x,=,Cy,二,.,二次型的标准形,.,说明,为满秩（或可逆）的线性变换，此时,（,1,）如果系数矩阵,C,可逆，即,|C|,0,，,则称线性变换,x,=,Cy,（,2,）如果系数矩阵,C,为正交矩阵,.,则称线性变换,x,=,Cy,为,正交变换,.,定义,5.3,此,形称为,f,的标准形,.,标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明）,注：,二次型研究的主要问题是：,寻找,满秩线性变换,，,化二次型为标准形,所以经,满秩线性变换,后，新旧二次型的矩阵的关系：,因为有,定理,5.1,3,、矩阵的合同,合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。,因此二次型经过满秩线性变换后，,所得到的二次型矩阵,B,与,原,二次型矩阵,A,是合同的,.,定义,5.4,5.3,、化二次型为标准形,定理,5.2,一、用正交变换化二次型为标准形,证明：对于实对称矩阵,A,，存在正交矩阵,Q,，使,令正交变换,x=,Qy,，,在此变换下,例4,解,二次型矩阵,A,的特征多项式,A,的特征值为,把,1,=1,（,2,重）代入齐次方程组，得,基础解系为,将,它们正交化，得,再,单位化，得,把,2,=10,代入齐次方程组，得,基础解系为,单位化，得,正交矩阵,则,令,正交变换,X=QY,，,则,（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变,的特点，使其易于识别。,（二）用满秩线性变换化二次型为标准形,配方法,例2,解,把,含有,x,1,各项集中在一起,把,含有,x,1,各项配完全平方,把,含有,x,2,各项集中在一起，再配平方,令,显然,则,标准形为,验证,例3,解,令,有,构造平方项,令,则,这,两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换：,显然,即,其中,2,、,令,这样计算对吗？,正确的做法应该是什么？,（三）初等变换化二次型为标准形,即,用,初等变换把二次型矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵,与原矩阵合同，必须成对地施行行初等变换与列初等变换，,即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换,.,例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换,.,B,C,注意不是,I,标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关，,而系数不为,0,的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是,唯一的，与所作的满秩线性变换无关,.,例如,四,.,惯性定理,定理,5.4,（惯性定理）,一个二次型的任意两个标准形中的正系数的,个数与负系数的个数分别相等,.,定义：在二次型的标准形中，正系数的个数,P,（唯一确定）称为,二次型的,正惯性指数,，负系数的个数,N,（唯一确定）称为,负惯性指数,，,P+N=r.,它们之差,s=P-N,称为符号差。,定理,5.5,任意,二次型,f,均可经,满秩线性变换,化为,二次型,f,的规范形,5.4,、二次型与对称矩阵的有定性,1,、定义,5.5,例1,正定,例2,所以是半负定,.,例3,是不定,.,2,、实二次型（实对称矩阵,A,）,正定的判别方法：,（,1,）、下列条件都是实二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,)=,X,T,AX,正定的充 分必要条件：,正惯性指数为,n.,A,的所有顺序主子式全大于零,.,A,的特征值全大于零,.,A,与单位矩阵,I,n,合同,.,存在正交矩阵,Q,，,使,例4,解,2,2,-4,-4,-2,-2,它的顺序主子式为,=1 0,=1 0,所以,f,正定,.,（,1,）,（,2,）,令,经过这个非退化的线性变换，二次型化为,因此该二次型的正惯性指标为,2,，,从而该二次型不是正定的,.,例,5,解,解,不等式组,（,2,）、正定矩阵的性质：,A,是正定矩阵，若,A,B,，则,B,也是正定矩阵,.,A,正定,|A|0,，即,A,可逆,.,A,正定,kA,(,k,0),，,A,T,，,A,1,，,A,*,也是正定矩阵,.,A,正定,A,的主对角线上的元素,a,jj,0,.,证明：,A,正定,A,*,也是正定矩阵,.,证,方法一,设,A,的特征值为,且,|A|0,，,并且,A*,的特征值为：,即,A*,的全部特征值都大于零，,所以,A,*,也是正定矩阵,.,方法二,由,A,正定知，,|A|0,，,且存在可逆矩阵,C,，,使,于是,其中,且,P,为可逆矩阵，,所以,A,*,也是正定矩阵,.,例6,设,A,是,n,阶正定矩阵，,I,是,n,阶单位矩阵，证明,|,A,+,I,|1.,设,A,的特征值为,证,则,A+I,的特征值分别为,从而,也可,证明,A+I,正定,例7,证,代入已知等式，得,因为,故,满足,得,因为,A,为实对称矩阵，其特征值一定为实数，,故,只有,=1,，,即,A,的全部特征值都大于零，,因此,A,是正定矩阵,.,n,阶可逆矩阵,A,与,I,等价。,只有单位矩阵,I,n,与,I,n,相似。,只有正定矩阵与单位矩阵合同。,1,、设,A,和,B,为,n,阶矩阵，则（）成立,（,1,）、,A,B,A,和,B,等价；,（,2,）、,A,和,B,等价,A,B,；,（,3,）、,A B,A,和,B,等价；,（,4,）、,A,和,B,等价,A B,；,（,5,）、,A,B,A B,；,（,6,）、,A B,A,B,；,1,3,2,、设,A,和,B,为实,n,阶,对称矩阵，则（）成立,（,a,）、,A,B,A B,；,（b）、,A B,A,B,；,b,n,阶实数矩阵,A,，,如果,A,T,A=I,，称,A,为正交矩阵,.,都是实对称矩阵，但,A,B,不相似,此时,A,与,B,虽,合同，但特征值是不同的,.,（b）、,A B,A,B,；,事实上，由于,A,B,是实对称矩阵，,总,存在正交矩阵,Q,P,使,又A B,由于,Q,P,为正交矩阵，由性质有,所以,即,A,B,因此,A,B,