利息理论 第1章利息的基础知识.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,利息理论,主讲：沈治中,第一章,利息的基础知识,主要内容,一、利息的度量,二、利率问题、时间问题的求解,一、利息的度量,主要内容,累积函数,利息,利率,单利与复利,现值函数,一年计息,m,次的实际利率与实际贴现率,利息力,1,、累积函数,单位货币经过,t,年后的价值。,A,0,为本金，,A,t,为,t,年后的价值。,2,、利息,投资获得的报酬。,t,年内的利息为：,第,n,年的利息为：,3,、利率,单位资本的获得的利息。,例一,设：,a,t,=ct,2,+d(c,、,d,为常数），,a,5,=126,A,0,=100,求：,A,10,、,i,10,解：,a,0,=1 a,5,=126,得：,c=5 d=1,所以：,a,t,=5t,2,+1,A,10,=A,0,a,10,=50100,i,10,=(a,10,-a,9,)/a,9,=0.233,4,、单利与复利,（,1,）,单利 设年利率为,i,，期初本金为,1,1+i 1+2i 1+it,1,0 1 2 t,a,t,=1+it,复利,设利率为,i,，期初本金为,1,。,1+i (1+i),2,(1+i),t,1,0 1 2 t,a,t,=(1+i),t,单利、复利的比较,（,1,）单利条件下，每年利息相等，实际利率减少。,每年的利息：,I,n,=A,n,-A,n-1,=A,0,(a,n,-a,n-1,)=A,0,i,每年的利率：,（,2,）、复利条件下，每年利息增大，实际利率不变,实际利息,：,实际利率：,（,3,）、图形比较,当,t(1+i),t,当,t1,时：,1+it(1+i),t,a,t,=1+it,a,t,=(1+i),t,1,1,例二,李刚,94,年,1,月,1,日从银行借款,1,，,000,元，假设年利率为,12%,，试分别以单利和复利计算：,（,1,）,96,年,1,月,1,日时，他需还银行多少钱,?,（,2,）几年后需还款,1,，,500,元？,解：,（,1,）,A,1,=1,，,000,（,1+it,）,=1,，,000,（,1+0.122,）,=1,，,240,元,A,2,=1,，,000(1+i),2,=1,，,254.4,元,（,2,）,1,，,500=1,，,000,（,1+it,1,）,t,1,=4.17,年,1,，,500=1,，,000(1+i),t,t,2,=3.58,年,5,、现值和贴现率,现值函数,。未来,t,年,1,单位货币在现在的值。,（,1,）单利：各年,1,元的现值。,1+i 1+2i 1+it,1,1 1 1 1,1/1+i,1/1+2i,折现过程,0,.,（,2,）复利 设年利率为,i,，各年,1,元的现值。,1+i,（,1+i,）,2,（,1+i,）,t,1,1 1 1 1,折现过程,0,复利条件下：,折现因子：,折现函数：,贴现率,1,）计息的方式。,滞后利息 期初利息,例：购买一年期面值为,100,元的国债，,第一种方法：一年后还本付息,110,元；,10,元为滞后利息，是期初本金上的增加额。,-,利息。,第二种方法：购买时,90,元，一年后按面值返还。,10,元为期初利息，是期末值的减少额。,-,贴现额。,.,2,）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。,年贴现额,=,A,n,d,n,=A,n,-A,n-1,以,A,n,为标准的减少额。,年利息,=A,n-1,i,n,=A,n,-A,n-1,以,A,n-1,为标准的增加额。,3,）贴现率与利率,或：,4,）贴现率与折现因子,公式一,及：,公式二,及：,例：,94,年,1,月,1,日的积累值为,1,，,000,元，,d=10%,求：,1,）,90,年,1,月,1,日的现值为多少？,2,）年利率为多少,?,3,）折现因子为多少？,解：,1,）,A,0,=1000(1-d),4,=656.1,元,2),3,）,v=1-d=0.9,作业,1,、李华,90,年,1,月,1,日在银行帐户上有,5,，,000,元存款。,1,）在每年,10%,的单利下，求,94,年,1,月,1,日的存款。,2,）在每年,8%,的复利下，求,94,年,1,月,1,日的存款。,。,2,、张军,94,年初在银行帐户上有,10,，,000,元存款。,1,）在复利,11%,下计算,90,年的现值。,2,）在,11%,的贴现率下计算,90,年的现值。,6,、一年计息,m,次的实际利率与贴现率,例：期初本金为,1,元，年利率为,10%,。,如果一年计息一次，则年末积累值为,1.10,元。,如果一年计息两次，则年末积累值为,（,1+10%/2,）,2,=1.1025,元,即年实际利率为,10.25%,1,）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。,设年名义利率为,i,（,m,）,，年实际利率为,i,。,每次计息的实际利率为,i,（,m,）,/m,。,则：,所以：,或：,2,）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。,设年名义贴现率为,d,(m,),实际贴现率为,d,，,则：每次的贴现率为,所以：,或：,3,）,i,(m,),与,d,(m,),的关系,1,元钱在年末的累积值为：,或：,则：,得：,一般公式,如果一年结转,m,次利息与一年贴现,n,次等价。,则：,例（,1,）求每月结算的年利率为,12%,的实际利率；（,2,）求每季结算的年贴现率为,10%,的实际贴现率。,解（,1,）,（,2,）,结论：结转次数越多，实际利率越大，实际贴现率越小。,例,2,，,000,元的本金在,6%,的名义利率下投资，如果每年结转,4,次利息，求：,1,）,2,年零,6,个月后的积累值；,2,）年名义贴现率。,解,1,）共计息,10,次,2,）由公式,得：,例,:,一张尚需,6,个月到期的债券，其面值为,2,，,000,元，如果名义贴现率为,6%,，一年贴现,4,次，求该债券现在的价格为多少？,解：,1,）,P=,或：,2,）,7,、利息力,瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能力。,1,）常数利息力,定义：,。,或：,所以：,a,）,b,）,利息力与累积函数,2,）常数贴现力,当,m,，期初付与期末付没有区别。,3,）利息力的一般式,定义,累积函数与利息力,由定义式：,两边积分,。,当 为常数时：,各年的利息力分别为：,积累函数值,第,n,年的利率为,。,现值函数值为：,例：设某项投资基金的利息力为，,其中,k,为投资年度。求某投资者在开始投资多少资金于该基金时，使得投资在,5,年末的终值为,50,，,000,元。,解：,例：设,1,）,4,）,二、利率问题、时间问题求解,利率问题求解,1,）解析法,2,）线性插值法,3,）迭代法,1,）解析法,例：期初的,2,，,000,元本金经过,2,年,3,个月之后的累积额为,2,，,500,元，试确定这笔投资的收益率,。,解：,2,）线性插值法,设,y=,f(i,),，在区间（,i,1,，,i,2,）近似呈线性变化。,且：,f(i,1,)0,，,f(i,0,)=0,.,.,i,1,i,0,i,2,f(i,1,),f(i,2,),y,0,x,斜率相等,例：某人现在投资,500,元，第一年末投资,300,元，第二年末再投资,150,元，这样在第四年末将积累到,1,，,300,元，求,i,解：,500(1+i),4,+300(1+i),3,+150(1+i),2,=1300,令：,f(i,)=500(1+i),4,+300(1+i),3,+150(1+i),2,-1300,由试算得：,f(0.1)=12.85=f(i,2,),f(0.09)=-27.49=f(i,1,),由线性插值法得：,3,）迭代法,多次运用线性插值法。,例：用迭代法求上例，要求精确度达到小数点后,5,位。,解,:,上例中,f(i,)=500(1+i),4,+300(1+i),3,+150(1+i),2,-1300,第一次近似：,f(0.0968)=-0.1604=f(i,1,),试算：,f(0.0969)=0.2447=f(i,2,),由线性插值法得：,时间问题的求解,1,）解析式,2,）,72,规则,。,3,）加权算术平均公式,设在时间,t,1,，,t,2,，,t,3,t,n,分别需要偿还金额,x,1,，,x,2,，,x,3,x,n,；如果他希望一次还清总贷款,(x,1,+x,2,+x,3,+,x,n,),。,求还款的时间。,。,近似公式,。,。,习题,1,、假设累积函数,a(t,)=at,2,+b,，如果期初的,100,元在,3,年末可以累积到,172,元，试计算在第,6,年初投资,100,元，在第,10,年末可以累积到多少元？,2,、如果,A(t,)=100+5t,，试计算,i,5,。,3,、如果,A(t,)=100(1.1),t,，试计算,i,5,。,4,、已知投资,3 000,元在两年后的利息是,158,元，试计算以相同的复利利率投资，起初的,3 000,元在,3,年半的利息。,5,、第,n,年末的,1,元和第,2n,年末的,1,元在起初的现值之和为,1,元，试计算,(1+i),2n,是多少？,6,、如果每季度接转一次利息的年名义利率为,6%,，试计算,200,元本金在,3,年零,4,个月末的值。,7,、如果,i,(m,),=0.179 988 9,d,(m),=0.173 734 8,试 确定,m,为多大？,8,、当常数利息力为多大时，等价于每月接转一次利息的年名义利率,6%,。,9,、如果,内等价的年实际利率。,10,、如果投资者愿意立即投资,3 000,元，并在第,3,年末追加一笔投资，希望在第,5,年末和第,6,年末个获得,5 000,元，假设,i,(4),=5%,，试确定投资者应该在第,3,年末追加多少投资？,11,、有两笔金额均为,3 000,元的资金，如果一笔按,6%,的实际利率投资，另一笔按,4%,的实际利率投资，试计算经过多长时间以后，前者的累积值是后者的,2,倍。,12,、一项贷款的年实际利率为,5%,，原来的还款计划是：第,1,年末偿还,5 000,元，第,2,年末偿还,6 000,元，地,4,年末再偿还,5 000,元正好还清。如果借款人希望一次还清,16 000,元的贷款，试计算合理的还款时间。,。,13,、如果现在投资,300,元，第,1,年末投资,200,元，第,2,年末投资,100,元，到第,3,年末时将累积到,800,元，试计算实际利率为多少？,14,、厂商向零售商提供了两种可供选择的付款方式,：（,1,）立即付款，可以享受,20%,的价格折扣；（,2,）,6,个月后付款，可以享受,15%,的价格折扣。当实际利率为多少时，这两种付款方式对零售商没有区别？,