辅助线构造全等三角形.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,利用三角形的主要线段构造全等三角形,利用三角形的角平分线构造全等三角形,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,复习：,可以利用,倍长中线法,，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若,AD,为,ABC,的中线，,必有结论,：,A,B,C,D,E,1,2,延长,AD,到,E,，使,DE=AD,，,连结,BE,（,也可连结,CE,）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC=AB，CEAB。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,如图，在,ABC,中，,AD,平分,BAC,。,方法一：,A,B,C,D,E,必有结论：,在,AB,上截取,AE=AC,，,连结,DE,。,ADEADC。,ED=CD，,3,*,2,1,AED=C，,ADE=ADC。,方法二,：,A,B,C,D,F,延长,AC,到,F,，使,AF=AB,，,连结,DF,。,必有结论：,ABDAFD。,BD=FD，,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,3,*,2,1,如图，在,ABC,中，,AD,平分,BAC,。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,B=F，,ADB=ADF。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,A,B,C,D,M,N,方法三,：,过点D,作DMAB于M，DNAC于N。,必有结论：,AMDAND。,DM=DN，,3,*,2,1,如图，在,ABC,中，,AD,平分,BAC,。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,AM=AN，,ADM=AND。,（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证,DM=DN,）,证明,：,例1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，,求证：,A+C=180,D,A,B,C,E,（方法一）,在,BC,上,截取,BE,，使,BE=AB,，,连结,DE,。,BD,是,ABC,的角平分线,，,1,=2,.,在,ABD,和,EBD,中,AB=EB,1=2,BD=BD,ABDEBD,（,SAS,）,1,2,4,3,3+4,180,，,A+C,180,3,2,1,*,A,3,AD=DE,AD=CD,DE=DC,4=,C,（,等边对等角）,证明,:,例1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，,求证：,A+C=180,D,A,B,C,F,（方法二）,延长,BA,到,F,，使,BF=BC,，,连结,DF,。,BD,是,ABC,的角平分线,1,=2,在,BFD,和,BCD,中,BF=BC,1=2,BD=BD,BFDBCD,（,S.A.S,）,1,2,4,3,F,C,，,4=C,。,3,2,1,*,F,C,，,DF=DC,AD=CD，,DF=AD,4=,F,（,等边对等角）,DAB,+4,180,，,DAB,+C,180,。,证明,:,例1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，,求证：,A+C=180,D,A,B,C,M,（方法三）,过点D,作,DMBC,于,M,，,DNBA,交,BA,的延长线于,N,。,BD,是,ABC,的角平分线,，,1,=2,。,DNBA,，,DMBC,，,N=DMB=90,。,在,NBD,和,MBD,中,N=DMB,1=2,BD=BD,1,2,N,4,3,3,2,1,*,NBDMBD,（,AAS,）,ND=MD,例1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，,求证：,A+C=180,D,A,B,C,M,1,2,N,4,3,3,2,1,*,DNBA,，,DMBC,，,N=DM,C,=90,。,在,Rt,NAD,和,Rt,MCD,中,ND=MD,AD=CD,Rt,NAD,Rt,MCD,（,HL,）,4=C,，,DAB,+4,180,，,DAB,+C,180,。,证明,:,例1,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,BD,是,ABC,的角平分线，,AD=CD,，,求证：,A+C=180,D,A,B,C,M,(方法四）,过点D,作,DMBC,于,M,，,DNBA,交,BA,的延长线于,N,。,1,2,N,4,3,3,2,1,*,BD,是,ABC,的角平分线,，,DNBA,，,DMBC,，,ND=MD,。,4=C,DNBA,，,DMBC,，,A,ND,和,C,MD,=90,在,Rt,NAD,和,Rt,MCD,中,ND=MD,，,AD=CD,，,Rt,NAD,Rt,MCD,（,HL,）,DAB,+4,180,DAB,+C,180,.,练习,1,如图，已知,ABC,中，,AD,是,BAC,的角平分线，,AB=AC+CD,，,求证：,C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明,:,在,AB,上截取,AE,，使,AE=AC,，,连结,DE,。,AD,是,BAC,的角平分线,，,1,=2,。,在,AED,和,ACD,中,AE=AC,，,1=2,，,AD=AD,，,AEDACD,（,S.A.S,）,3,B=4,（,等边对等角）,4,*,C,3,，,ED=CD,AB=AC+CD=AE+EB,，,EB=DC=ED,。,3=,B+4=2B,，,C=2B,。,练习,1,如图，已知,ABC,中，,AD,是,BAC,的角平分线，,AB=AC+CD,，,求证：,C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明,:,延长,AC,到,F,，使,CF=CD,，,连结,DF,。,AD,是,BAC,的角平分线,，,1,=2,。,AB=AC+CD,，,CF=CD,，,AB=AC+CF=AF,。,ACB=F,+,3,=,2F,，,ACB=2B,。,3,2,1,*,在,ABD,和,AFD,中,AB=AF,，,1=2,，,AD=AD,，,ABDAFD,（,SAS,）,。,F,B,，,CF=CD,，,B=3,（,等边对等角）,练习,2,如图，已知直线,MNPQ,，且,AE,平分,BAN,、,BE,平分,QBA,，,DC,是过,E,的任意线段，交,MN,于点,D,，交,PQ,于点,C,。,求证：,AD+AB=BC,。,证明,:,延长,AE,，交,直线,PQ,于点,F,。,*,3,0,*,2,1,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,练习,2,如图，已知直线,MNPQ,，且,AE,平分,BAN,、,BE,平分,QBA,，,DC,是过,E,的任意线段，交,MN,于点,D,，交,PQ,于点,C,。,求证：,AD+AB=BC,。,证明,:,延长,BA,到点,G,，,使得,AG=AD,，,连结,EG,。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,G,练习,2,如图，已知直线,MNPQ,，且,AE,平分,BAN,、,BE,平分,QBA,，,DC,是过,E,的任意线段，交,MN,于点,D,，交,PQ,于点,C,。,求证：,AD+AB=BC,。,证明,:,延长,BA,到点,G,，,使得,AG=AD,，,连结,EG,。,*,3,0,*,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,G,练习,3,已知：如图在,Rt,ABC,中，,BAC=90,，,AEBC,，,BD,是,ABC,的角平分线，,GFBC,，,求证：,AD=FC,。,A,B,C,D,E,H,1,2,证明,:,过,D,作,DHBC,，,垂足为,H,。,G,F,*,3,0,*,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,小结：,（,3,）作,DMAB,于,M,，,DNAC,于,N,。,（,1,）在,AB,上截取,AE=AC,，,连结,DE,。,（,2,）延长,AC,到,F,，使,AF=AB,，,连结,DF,。,A,B,C,D,E,F,M,N,必有结论：,ADEADC,。,必有结论：,ABDAFD,。,必有结论：,AMDAND,。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,如图，在,ABC,中，,AD,为,BAC,的角平分线。,*,3,0,*,如何利用三角形的高来构造全等三角形？,如图，在,ABC,中，,ADBC,，,ABC=2C,。,求证：,AB+BD=CD,提示：,（,1,）延长,DB,到点,E,，使,BE=AB,，,连结,AE,。,（,2,）在,DC,上,截取点,E,，使,DE=BD,，,连结,AE,。,A,B,C,D,*,0,*,