高等数学9-1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、区域,1.邻域,点集,称为点,P,0,的,邻域,.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：,若不需要强调邻域半径,也可写成,点,P,0,的,去心邻域,记为,2.,区域,(,1),内点、外点、边界点,设有点集,E,及一点,P,:,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,若存在点,P,的某邻域,U,(,P,),E,=,若对点,P,的任一邻域,U,(,P,),既含,E,中的内点也含,E,则称,P,为,E,的,内点；,则称,P,为,E,的,外点,;,则称,P,为,E,的,边界点,.,的外点,显然,E,的内点必属于,E,E,的外点必不属于,E,E,的,边界点可能属于,E,也可能不属于,E,.,(2),聚点,若对,任意给定的,点,P,的去心,邻域,内总有,E,中的点,则,称,P,是,E,的,聚点,.,聚点可以属于,E,也可以不属于,E,(因为聚点可以为,E,的边界点),D,(3),开区域及闭区域,若点集,E,的点都是,内点,，则称,E,为,开集,；,若点集,E,E,则称,E,为,闭集,；,若集,D,中任意两点都可用一完全属于,D,的折线相连,开区域连同它的边界一起称为,闭区域,.,则称,D,是,连通的;,连通的开集称为,开区域,简称,区域;,。,E,的边界点的全体称为,E,的,边界,记作,E,;,例如，,在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,o,对区域,D,若存在正数,K,使一切点,P,D,与某定点,A,的距离,AP,K,则称,D,为,有界域,界域,.,否则称为,无,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义1.,设非空点集,点集,D,称为函数的,定义域,;,数集,称为函数的,值域,.,当,n,=3,时,有三元函数,映射,称为定义,在,D,上的,二,元函数,记作,二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例,求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,左图球面.,单值分支:,例如,二元函数,定义域为,圆域,说明:,二元函数,z=f,(,x,y,),(,x,y,),D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,三、多元函数的极限,定义2.,设,二,元函数,则称,A,为函数,(也称为二,重极限),当,n,=2,时,记,二元函数的极限(二重极限,),可写作：,P,0,是,D,的聚,点,若存在常数,A,对一切,记作,都有,对任意正数,总存在正数,o,x,y,1,z,=,x,2,+y,2,+,1,y,=,kx,在平面上的(,0,0),点处,.,例如：,z,(和的极限等于极限的和),1 二重极限存在的例子,都有,z,1,有,z,1,有,故：在,xoy,平面上,点,.,.,例,1.,设,求证：,证:,故,总有,要证,例,2.,设,求证：,证：,故,总有,要证,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:,设,P,(,x,y,),沿直线,y,=,k x,趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k,值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,例3.,讨论函数,函数,o,x,y,z,a,y=x,.,.,那么，,曲面,在点(0,0)附近,的形状是怎样的呢,?,曲面与,z,轴无交点;,曲面关于平面,y,=,x,对称；,曲面关于平面,y,=,x,对称；,y=x,2.,二重极限不存在的例子,o,x,y,y=x,z,a,.,D,.,那么，曲面在点(0,0)附近,的形状是怎样的呢,?,曲面与,z,轴无交点;,曲面关于平面,y,=,x,对称；,曲面关于平面,y,=,x,对称；,y,=0,2.,二重极限不存在的例子,.,o,x,y,y=,kx,y=x,z,a,.,D,.,那么，曲面在点(0,0)附近,的形状是怎样的呢,?,曲面与,z,轴无交点;,曲面关于平面,y,=,x,对称；,曲面关于平面,y,=,x,对称；,y,=0,.,2.,二重极限不存在的例子,.,o,x,y,y=,kx,y=x,z,a,y=x,.,D,.,那么，曲面在点(0,0)附近,的形状是怎样的呢,?,曲面与,z,轴无交点;,曲面关于平面,y,=,x,对称；,曲面关于平面,y,=,x,对称；,.,y,=0,.,2.,二重极限不存在的例子,.,o,x,y,y=,kx,y=x,z,a,y=x,.,D,.,那么，曲面在点(0,0)附近,的形状是怎样的呢,?,曲面与,z,轴无交点;,y,=0,曲面关于平面,y,=,x,对称；,曲面关于平面,y,=,x,对称；,.,但曲面无限逼近,z,轴,2.,二重极限不存在的例子,.,四、多元函数的连续性,定义3,.,设,二,元函数,定义在,D,上,如果函数在,D,上,各点处,都连续,则称此函数,在,D,上,如果存在,否则称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称,二,元函数,连续,.,连续,聚点,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:,一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理：,若,f,(,P,),在有界闭域,D,上连续,则,在,D,上可取得最大值,M,及最小值,m,;,(,3)对任意,(,有界性定理),(,最值定理),(,介值定理),闭域,上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(,证明略),多元初等函数,：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫,多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域,解:,原式,例,5,.,求,内容小结,1.区域,邻域:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n,元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3.多元函数的极限,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,备用题,1.,设,求,解法1,令,1.,设,求,解法2,令,即,2.,是否存在？,解,：,所以极限不存在.,3.,证明,在全,平面连续.,证:,为,初等函数,故连续.,又,故,函数在全平面连续.,由,夹逼准则得,