近世代数课件--5.2 单扩域.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单扩域,假定 是域 的扩域，而 是 的一个元,要讨论单扩域 的结构，我们把 的元分成两类,定义,叫做域 上的一个,代数元,，假如存在 的不都等于零的元 ，,，使得,假如这样的 ，,，不存在，就叫做 上的一个,超越元,若 是 上的一个代数元，就叫做 的一个,单代数扩域,；若 是 上的一个超越元，,就叫做 的一个,单超越扩域,单扩域的结构通过以下定理可以掌握,定理,若 是 上的一个超越元，那么,的商域,这里 是 上的一个未定元 的多项式环,若 是 上的一个代数元，那么,这里 是 的一个唯一的确定的、最高系数为的不可约多项式，并且,证明,包含 上的 的多项式环,一切 ，我们知道，,是 上的未定元 的多项式环 到 的同态满射，现在我们分两个情形来看,情形 是 上的超越元 这时以上映射是同构映射：,由,，定理，,的商域 的商域,由,，定理，我们可以知道，,（）的商域,另一方面，的商域包含 也包含 ，因此，由 的定义,（）的商域,由（）和（）得,的商域,因而 的商域,情形 是 上的代数元这时,这里 是上述同态满射的核由,，定理和定理，是一个主理想环，所以,的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而它们只能差一个单位因子，,而 的单位就是 的非零元所以令 的最高系数是，就是唯一确定的由 的定得：；由此得 不是 的非零元但 是 上的代数元，所以 也不是零多项式因此，的次数,我们说，是 的一个不可约多项式不然的话，将有,，和 的次数 的次数,或,从而得,但 和 是域 的元，而域没有零因子，所以由上式可以得到,这就是说，或 ，即,这是一个矛盾,或,这样，是一个不可约多项式，因而 是 的一个最大理想，而 是一个域这样 是一个域但 包含 也包含 ，并且 ，所以,证完,以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域当 是域 上代数元的时候，我们还可以把 描述得更清楚一点,定理,令 是域 上的一个代数元，并且,那么 的每一个元都可以唯一地表成,的形式，这里 是 的次数要把这样的两个多项式 和 相加，只需把相当的系数相加；与 的乘积等于 ，这里 是用 除 所得的余式,证明,由于 ，所以 的一个任意元 可以写成,的形式但,其中,因而，由于 ，有,这种表示方法是唯一的因为：假如,，和的次数 那么,由于的次数 ，得,，,由以上证明可以看出，定理的后一部分成立证完,，,我们已经看到，多项式 对于一个单代数扩域的重要性 显然是理想 里的一个次数最低的多项式,定义,中满足条件 的次数最低的多项式,叫做元 的在 上的,极小多项式,叫做 的在 上的,次数,以上的讨论是在域 有扩域 的前提下进行的现在我们问，若是只给了一个域 ，是不是 的单扩域存在？,存在 的单超越扩域容易看出我们知道，上的一个未定元 的多项式环 和 的商域都是存在的 的商域显然是包含 和 的最小域，而按照未定元的定义，是 上的一个超越元因此 的商域就是 的一个单超越扩域由定理，的任何单超越扩域都是同构的,现在我们证明,定理,对于任一给定域 以及 上一元多项式环 的给定不可约多项式,总存在 的单代数扩域 ，其中 在 上的极小多项式是 ,证明,有了 和 ，我们可以作剩余类环,因为 是不可约多项式，所以 是一个最大理想，因而 是一个域,我们知道，有 到 的同态满射,这里 是 所在的剩余类由于 ，在这个同态满射之下，与 同构这样，由于 和 没有共同元，根据,，定理我们可以把 的子集 用 来掉换，而得到一个域 ，使得,，,现在我们看 的元 在 里的象 由于,所以在 里,因此，假如我们把 在 里的逆象叫做 ，我们就有,这样，域 包含一个 上的代数元 我们证明，就是 在 上的极小多项式令 是 在 上的极小多项式那么 中一切满足条件 的多项式 显然作成一个理想，而这个理想就是主理想（参看,，定理的证明）因此 能被 整除但 不可约，所以一定有,，,但 和 的最高系数都是，所以 ，而,因此我们可以在域 中作单扩域 ，而 能满足定理的要求,实际上，这一点我们留给读者去证明证完,给了域 和 的一个最高系数为的不可约多项式 ，可能存在若干个单代数扩域，都满足定理的要求但我们有,定理,令 和 是域 的两个单代数扩域，并且和 在 上有相同的极小多项式 那么 和 同构,证明,假定 的次数是 那么 的元都可以写成,的形式，而 的元都可以写成 的形式，这里 映射,显然是 和 间的同构映射证完,总起来，我们有,定理,在同构的意义下，存在而且仅存在域 的一个单扩域 ，其中 的极小多项式是 的给定的，最高系数为的不可约多项式,