常系数高阶齐次线性微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,高阶常系数齐次线性方程,一、定义,二、二阶常系数齐次线性方程解法,三、,n,阶常系数齐次线性方程解法,一、定义,n,阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,n,阶常系数线性微分方程的标准形式,n,阶常系数齐次线性微分方程的标准形式,(2),的特征方程,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-,特征方程法,将其代入上方程,得,故有,特征方程,特征根,1.,有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2.,有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,3.,有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,三、,n,阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征根,对应的特解,注,1,、,n,次代数方程恰有,n,个根。,2,、,属于不同特征,根的解线性无关。,注意,n,次代数方程有,n,个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例3,四、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤,:,（,1,）写出相应的特征方程,;,（,2,）求出特征根,;,（,3,）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,.,(,见下表,),思考题,求微分方程 的通解,.,思考题解答,令,则,特征根,通解,练 习 题,练习题答案,微分方程的应用题,例,1.,某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下,.,现有一质量为,9000kg,的飞机，着陆时的水平速度为,700km/h.,经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为,问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？,注,:,kg,表示千克，,km/h,表示千米,/,小时,.,【,分析,】,本题是标准的牛顿第二定理的应用，,列出关系式后再解微分方程即可。,【,解,1,】,由题设，飞机的质量,m=9000kg,，着陆时的水平速度,从飞机接触跑道开始记时，设,t,时刻飞机的滑行,距离为,x(t,),，速度为,v(t,).,根据牛顿第二定律，得,又,由以上两式得,积分得,由于,故得,从而,当,时,所以，飞机滑行的最长距离为,1.05km.,例,2,如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段,PQ,之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,答,:,例,4,抛物线的光学性质,实例,:,车灯的反射镜面,-,旋转抛物面,解,如图,得微分方程,由夹角正切公式得,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,