第八章 阻抗和导纳.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三篇,动态电路的相量分析法,和,s,域分析法,“,你能记住任何一则新信息，如果它与你已知或已经记住的有联系。,”,珍妮特,.,沃斯等,学习的革命,第,146,页,上海三联书店（,1998,年译本）,第八章,阻抗和导纳,第三篇转入动态电路的变换（域）分析，这类方法题材广泛，内容丰富。本书只涉及其中的相量分析法和复频域（,s,）分析法、在,“,信号与系统,”,和其他有关课程中将会学到更多的变换方法。,引入,“,变换,”,思路，并体会到它带来的巨大好处是本篇的主旨。从第八章至第十一章为正弦稳态的相量分析法。在第六章中，我们曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是用待定系数法求解电路微分方程的特解得出答案的，即便电路很简单，也感到很麻烦。当我们把时间,t,的正弦函数变换为相应的复数（相量）后，解微分方程特解的问题就可以简化为解代数方程的问题，且可进一步设法运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就需要引入阻抗和导纳这两个相量分析中的重要参数，本章将说明这些问题。,教学内容,8-1,变换方法的概念,8-2,复数,8-3,振幅相量,8-4,相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,8-5,三种基本电路元件,VCR,的相量形式,8-6 VCR,相量形式的统一,阻抗和导纳的引入,8-7,正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比,相量模型的引入,8-8,正弦稳态混联电路的分析,8-9,相量模型的网孔分析和节点分析,8-10,相量模型的等效,8-11,有效值 有效值相量,8-12,两类,特殊问题 相量图法,本章基本内容,1,、正弦量、相量和有效值的基本概念,2,、电路定律的相量形式,3,、阻抗和导纳的概念,4,、正弦稳态电路的计算,教学目的,1,、,深刻理解,正弦量、相量和有效值的概念,；,2,、,熟练掌握,R,，,L,，,C,元件伏安关系的相量形式,；,3,、,深刻理解,阻抗与导纳的概念和性质,;,4,、,熟练掌握,正弦稳态电路的计算方法；,5,、,会,借助相量图计算正弦稳态电路的响应。,8,1,变换方法的概念,变换方法,的基本思路如图,8-1,所示，均可分为三个步骤：,原来的问题,变换域中较易的问题,变换,原来问题的解答,变换域中问题的解答,反,变换,求解,直接求解,图,8-1,变换方法的思路,1.,把原来的问题,变换,为一个较容易处理的问题。,2.,在变换域中求解问题。,3.,把变换域中求得的解答,反变换,为原来问题的解答。,原来运用变换思路来求解问题的例子。例如，求解满足方程式,的,实数,x,问题。直接求解是很困难的，如果对（,8-1,）式的两端取对数后再做，求解就很容易。取对数后，得,因此,解得,借助对数表就能顺利地进行解算。,上述计算过程大家并不陌生。实际上，它就是一种变换方法，对照图,8-1,，这一计算过程可表如图,8-2,所示。,x,2.35,=5,（,8-2,）式,取对数（变换）,x,=1.983,（,8-3,）式,求反对数（反变换）,求解,？,（,8-2,）式可看作是（,8-1,）式的变换，变换不仅改变了数值（,lg5,当然与,5,不同）还改变了数值间的运算方式。（,8-1,）式左端的指数运算变换成（,8-2,）式左端的乘法运算。求解（,8-2,）式并不困难，其结果如（,8-3,）式所示。但这一结果还是“变换域中的解答”，并非就是我们所要的结果。为得到这一结果，还需进行反变换，即对（,8-3,）式两端取反对数，最后得出解答。,从上例可注意到，我们所说的,变换，实际上是一个函数,y,=,lg,x,，,它是一种对每一正实数,x,和另一实数,y,之间指定的运算规则。,它们应具有一一对应的性质。,8,2,复 数,一、复数的概念,其中 ，为虚数单位，,j,2,-1,。,1,、直角坐标形式,设,A,为一复数，,a,1,及,a,2,分别为其实部及虚部，则,实部：,虚部：,注意：虚部是指,a,2,，,而不是指,ja,2,。,2,、极坐标形式,又根据欧拉恒等式,（,8-6,）式可进一步写作,（,8-7,）式可简写作,可读,为“,a,在一角度,”,。,复数,A,在复平面上可以用有向线段来表示。在原点,O,与点,A,之间连一直线。把这直线的长度记作,a,，,称为,复数,A,的模,，模总是取正值。在这直线,A,端加上箭头，把它和实轴正方向的夹角记作,，,称为,复数,A,的辐角,。这样，复数,A,在复平面上就可以用有向线段来表示，也就是说用模,a,和辐角,来表示。根据这一表示方式，可以得到复数的另一形式：,二、复数的四则运算,若,则,因此，复数的加、减运算必须用直角坐标形式进行。,1,、相等：若两复数的,实部和虚部分别相等,或,模和辐角分别相等,，则这两复数相等。,例如：若,a,1,Re,A,、,b,1,Re,B,，,a,2,Im,A,、,b,2,Im,B,，,且,a,1,b,1,，,a,2,b,2,则,A,B,2,、,加减运算：几个复数的相加或相减就是把它们的,实部和虚部,分别相加或相减,。例如,:,复数的加减运算也可以在复平面上用图形来表示（几何意义）。求两复数之和的运算在复平面上是符合平行四边形求和法则的。这是表明复数之和的一种很方便的方法，以后经常用到。,3,、乘法运算：复数相乘时，,其模相乘,，,其辐角相加,。,4,、除法运算：复数相除时，,其模相除,，,其辐角相减,。,注意：,一般来说，复数的乘、除运算用极坐标形式进行较为简便，但在作理论分析、公式推导时往往需要用直角坐标形式来进行乘除运算。,或,或,作业：,P54,8-1,8-2,8,3,振幅相量,一、正弦函数信号的三特征,从,RC,电路的正弦响应的求解可知，求微分方程比较麻烦，特别是常数,U,m,和,的确定。而且电路越复杂，求解越麻烦。,时间,t,的正弦函数，以正弦电压为例，可表为,正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。,由于在正弦稳态电路中，各个电压、电流响应与激励均为,同频率,的正弦波，正弦波的三特征降为两个特征，从而利用欧拉恒等式，可把给定,的正弦函数变换为复平面上的相量。,相量分析法实质上是一种专用以分析正弦稳态电路的变换方法。,二、正弦函数在复平面上的表示,相量法,欧拉,恒等式为,式中,为一,实数（单位为孤度），可以把这一公式推广到,为,t,的实函数的情况，如,t,，,其中,为常量，单位为,rad/s,。,这样便得到,这一式子把一个实变数的复指数函数和两个实变数,t,的正弦函数相联系，这样就可以把时间,t,的正弦函数变换为复数。由上式可得：,设,正弦电压为,就,可以把它写作,其中,是,一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电压的振幅，辐角为该正弦电压的初相。,这一复值常数称为电压振幅相量,，同样也有电流振幅相量 。为了简便，在不致引起误解时，常称为,相量,。,相量只是一个复数,，但它具有特殊的意义，它是代表一个正弦波的，为了与一般的复数有所区别，在这相量的字母上端需加一点。,变换简单易行。例如，已知,则由（,8,11,）式可得该电压的相量为,相反，如已知,相量是正弦波的变换式，并非正弦波本身，这就好比和,lg5,间,不能划等号是一样的。以电压为例，相量及其所对应的正弦波之间的完整关系由（,8,10,）式表明。这一关系可用双箭头符号表示。也就是说，若,则,时间,t,的正弦函数属时域，相量属复数域，给定频率的正弦时间函数和复数（相量）之间有着一一的对应关系，也可用图,8,6,表明。,频率为,的正弦函数集合,相量的集合,变换,反变换,图,8,6,时域与相量域的映射,注意：,(1),相量是一个表示时域正弦函数到复数域变换的的,特殊复数,二者具有一一对应关系，,但两者间不能画等号。,(2),电压,(,流,),相量是一个不随时间变化的,复常数,其模为正弦电压,(,流,),的振幅,U,m,(,I,m,),相角为正弦电压,(,流,),的初相角,。,(3),作为一个复数，相量在复平面上可用有向线段表示，如图,8,8,所示。相量在复平面上的图示称为,相量图,。利用相量图可以进行相量加减运算或比较相量间的相位关系。,故得,代表,i,3,的相量为,这三个电流的相量图如图,8-9,所示。,作业,:P55,8-3,8,4,相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,第二步在变换域中把以上两相量相加，得,上述的例子反映了相量的一个重要性质，即,一,.,线性性质,表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。,由线性性质可得基尔霍夫定律的相量形式。,由,KCL,可知,：在任一时刻，流出电路节点的电流的代数和为零。设线性时不变电路在单一频率,的,正弦激励下,(,正弦电源可以有多个，但,频率必须相同,）进入稳态时，各处的电压、电流都将为同频率的正弦波。因此，在所有时刻，对任一节点,KCL,可表示为,由,线性性质,得,其中,:,为,流出该节点的第,k,条支路正弦电流,i,k,的振幅相量，,K,为该节点处的支路数。,二,.,基尔霍夫定律的相量形式,同理：在正弦稳态电路中，沿任一回路，,KVL,可表示为：,结论：,在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流振幅相量和电压振幅相量写出。,解,:,由已知,:,其中,:,作业,:P55 8-7,8-5,三种基本电路元件,VCR,的相量形式,在关联参考方向下，线性时不变电阻、电容及电感元件的,VCR,分别为,在正弦稳态电路中，这些元件的电压、电流都是同频率的正弦波。为适应使用相量进行正弦稳态分析的需要，下面将导出这三种基本元件,VCR,的相量形式。,设要研究的元件接在一正弦稳态电路中，元件两端的电压和流过的电流为关联参考方向，可表示为：,其中,我们的任务是求出相量 与 的关系。,一、电阻元件,VCR,的相量形式,由,图,(a),所示电路，据欧姆定律,u,=,Ri,得,由于,R,是常数，这一式子表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流同步变化，即是,同相,的。上式和图,(c),表明的都是电压的时间函数与电流的时间函数之间的关系，称为,时域式,。,据,线性性质,因此：,这,就是我们要求的,电阻元件,VCR,的相量形式。,它既能表明电压、电流振幅之间的关系，又能表明电压、电流相位之间的关系。,包含两方面内容,电压和电流振幅符合欧姆定律,电压和电流是同相的,对,纯,电阻电路可以不必用相量法。电阻,VCR,的相量关系式主要用于一般正弦稳态电路（含,R,、,L,、,C,等各种元件）的分析。,二、电容元件,VCR,的相量形式,由,(8-28),电压与电流振幅之间的关系为,:,(8-26),电压与电流的相位关系为,:,(8-27),表明,电压、电流振幅的关系不仅与,C,有关而且还与角频率,有关,，而电阻元件的这一关系是与,无关的。当,C,值,一定时，对一定的,U,m,来说，,越高则,I,m,越大，即电流越容易通过；,越低则,I,m,越,小，即电流越难通过。当,0,（,相当于直流激励）时，,I,m,0,，,电容相当于开路，这正是直流稳态时电容应有的表现。,电流超前电压的角度为,90,。,电容电压、电流的时间函数表示式。若,则,三、电感元件,VCR,的相量形式,对电感元件来说，考虑到它的,VCR,与电容的,VCR,存在对偶关系，因此，由电容,VCR,相量形式可得到电感,VCR,的相量形式。,(8-31),表明,电压、电流振幅的关系不仅与,L,有关而且还与角频率,有关,。当,L,值一定时，对一定的,I,m,来说，,越高，则,U,m,越大；,越低，则,U,m,越,小。当,0,（,相当于直流激励）时，,U,m,0,，,电感相当于短路。,电流滞后电压的角度为,90,。,因此对电感来说：若,则,等效于,:,(8-32),(8-32),作业,:P56 8-9,8-6 VCR,相量形式的统一,阻抗和导纳的引入,上节讨论了三种基本元件,VCR,的相量形式，在关联参考方向的前提下，它们是,定义,1,元件的阻抗,定义,2-,元件的导纳,(8-39),或,(8-40),(8-44),定义,3,L,和,C,的电抗,:,定义,Z,=,j,X,X,为电抗,定义,4,L,和,C,的电纳,:,定义,Y,=,j,B,即,B,=,Im,Y,对电容：,即,:,X,=,Im,Z,对电容,:,对电感：,对电感：,定义,5,阻抗定义的推广,:,不含独立源的单口网络的阻抗和导纳,(1),说明,:,阻抗,Z,和导纳,Y,是用复数形式描述正弦稳态电路的原（主）参数，即是与,RLC,等时域基本电路参数对应的复数域参数。,(3),对单个元件,其阻抗角分别为,:,作业,:P56,8-11,8-7,正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比,相量模型的引入,一,.,电路相量模型的概念,:,对正弦稳态电路中的元件,(,RLC,),用阻抗或导纳表示时的,假想,的,电路模型,。是一种运用相量能很方便地对正弦稳态电路进行分析计算的假想的模型。,二,.,RLC,正弦稳态电路的相量模型与电阻电路时域模型的类比,电阻电路,RLC,正弦稳态电路,元件 电阻,R,阻抗,Z,或导纳,Y,=1/,Z,欧姆定律,基本形式,适用范围 电阻电路或 正弦稳态,RLC,电路或,只含电阻的一般单口网络 含,RLC,的一般单口网络,模型性质 实际时域模型 假想复数域模型,三,.,运用相量模型分析,RLC,电路,(,相量分析法,),的,基本步骤：,(1),写出已知正弦量的相量,;,(2),作原电路的相量模型,确定电路中各相量间的关系；,(3),根据所求得的相量，写出相应的正弦时间函数。,若单口,网络的各元件系串联的，则其阻抗为,若单口网络的各元件系并联的，则其导纳为,各,电压及电流的相量图表明了各电压、电流间的相位关系。,作业,:P56,8-13,8-8,正弦稳态混联电路的分析,作出正弦稳态电路的相量模型后，就可仿照电阻混联电路的处理方法来求输入阻抗或导纳、各支路电流相量以及电压相量等等。,在求输入阻抗或导纳时，需注意以下几点：,表,81,基本元件的阻抗和导纳,1.,同一元件的阻抗与导纳互为倒数；同一对端钮间的阻抗与导纳互为倒数，即：,2.,记住基本元件的阻抗和导纳，如表,81,所示。,3.,凡是,串联,的元件，用,阻抗,来表征较为方便,可根据,(851),式进行化简,得,凡是,并联,的元件，用,导纳,来表征较为方便，可根据,(852),式进行化简,得,但在,两个元件并联,时，也可用下式进行化简,:,解:,写出已知正弦量的相量,作相量,模型如图,b,所示，其中：,根据相量模型进行计算。输入阻抗,电流,作业,:P57,8-16,8-9,相量模型的网孔分析法和节点分析法,解,:,作相量,模型如图,(b),所示，其中,解:,正弦稳态电路相量分析法分析小结,:,分析,电阻电路,的各种分析方法和电路定理都可,推广,用于分析电路的相量模型。差别仅在于所得到的电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。,要求熟练掌握正弦稳态电路的计算方法。,作业：,P58 8-18,8-10,相量模型的等效,本节介绍含,/,不含独立源的线性单口网络的串联和并联相量模型。,给定单口网络,N,0,如图,(a),所示，下标“,0”,表示该网络不含独立源，其,VCR,为,一,.,输入阻抗,(,串联相量模型,),和输入导纳,(,并联相量模型,),的定义,其中,Z,为单口网络的输入阻抗,，即,等效阻抗,。输入阻抗一般为复数，具有实部和虚部，亦即,其中,R,称为输入阻抗的电阻分量,，它并不一定只由网络中的电阻元件所确定，一般来说，,它是网络中各元件参数和频率的函数,；,X,称为输入阻抗的电抗分量,，它并不一定只由网络中的动态元件所确定，一般来说，,它是网络中各元件参数和频率的函数,。因此，该单口网络可等效为一由,R,和,j,X,串联的相量模型如图,(b),所示。,单口网络,N,0,的,VCR,也可表为,而,其中,G,、,B,分别称为输入导纳的电导分量和电纳分量,。因此，该单口网络的由,G,和,j,B,并联的等效相量模型如图,(c),所示。,Y,为单口网络的输入导纳,即,等效导纳,。,二,.,输入阻抗和输入导纳间的转换,则由（,8-58,）式得,即,并联相量模型的电导与电纳分别为：,注意：,一般情况,G,并非是,R,的倒数，,B,则不可能是,X,的倒数。,1.,等效关系,:,2.,已知,Z,求等效,Y,:,设已知,物理意义：,串联电路中的,R,和并联电路中的,G,，,并非指同一电阻元件，而公式,R,1/,G,原是指同一个电阻元件的电阻参数与电导参数的关系，因而不能用于两个不同的电阻元件。,B,并非,X,的倒数，即使是指同一动态元件也不能认为,X,1/,B,。,应根据,Z,1/,Y,来考虑，在单个动态元件时可得,j,X,1/j,B,，,因此,X,-1/,B,。,3.,已知,Y,求等效,Z,:,设已知,则由（,8-58,）式得,即,串联相量模型的电阻与电抗分别为：,注意：,一般来说,R,并非是,G,的倒数，,X,则不可能是,B,的倒数。,4.,注意：,以上各式中的,R,、,G,、,X,、,B,等均为,的函数，因此，只有在某一指定频率时才能确定,R,、,G,的数值和,X,、,B,的数值及其正、负号。等效相量模型只能用来计算在该频率下的正弦稳态响应。,三,.,不含独立源的单口网络相量模型使用举例,在这一,频率时，电抗分量变为负值，说明等效相量模型的两串联元件的阻抗为,4.35,的电阻和阻抗为,-j11.02,的电容。,并联相量模型中的两元件，其一为导纳等于,0.03099S,的电阻，另一为导纳等于,j0.0785S,的电容。,四,.,含独立源的单口网络相量分析,-,戴维南定理及诺顿定理的运用,作业,:P60 8-24,8-11,有效值 有效值相量,周期电流、电压的瞬时值是随时间而变化的，在电工技术中，往往并不需要知道它们每一瞬间的大小，在这种情况下，就需要为它们规定一个表征大小的特定值。,当,直流电流,I,流过电阻时，在相同的时间,T,内消耗的电能为,PT,RI,2,T,一,.,正弦量,(,周期波,),大小的表征,有效值的定义,周期电流的有效值,定义为,在效应上,(,如电流的热效应,代表其作功能力,),与周期电流在,一个周期,内的平均效应相等的,直流量,。,考虑到周期电流（电压）和直流电流（电压）施加于电阻时，电阻都要消耗电能，以此为依据，可以为周期波规定一个表征其大小的特定值。设有两个相同的电阻,R,，,分别通以周期电流,i,和直流电流,I,。,当周期电流,i,流过电阻,R,时，该电阻在一个周期,T,内所消耗的电能为,如果在周期电流的一个周期的时间内，这两个电阻,R,消耗的电能相等，也就是说，就平均作功能力来说，这两个电流是等效的，则该直流电流,I,的数值可用以表征周期电流,i,的大小，这一特定的数值,I,称为周期电流,i,的,有效值,。,由,得,由有效值定义式可知：周期电流的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根，因此，有效值又称为,方均根值,。,类似地，可得周期电压,u,的有效值,(8,66),对正弦电流,对正弦电压,(8,68),(8,69),结论,:,1,.,2.,大部分使用于,50Hz,的交流电表测读的都是有效值,;,对应的电压振幅相量为,3.,有效值一般用不带下标的大写字母如,I,、,U,表示。,例：引用有效值后，以电压为例，正弦波也可表为：,二,.,有效值相量,说明,:1.,有效值相量是复数。,今后，除非特别声明，本书所称的,相量均系指有效值相量,。相量图也是用有效值相量绘制。,定义,:,电压有效值相量：,电流有效值相量,:,2.,与振幅相量的关系,:,又,故得,解,:,今后，相量模型中除非特别申明，均系有效值相量。电路对电源的等效阻抗为,1,作业,:P62 8-30,8-31,8-12,两类特殊问题 相量图法,一,.,两类特殊问题是什么,?,有无简单计算方法,?,1.,有效值的计算问题,;,2.,相位差的计算问题。,答案,:,相量图法,二,.,相量图法举例,输出电压的有效值：,输出电压的初相：,相位差角：,注意：,由于,u,O,与电流,i,同相（,u,O,是电阻电压），因此,u,O,超前,u,S,角,，,也就是,i,超前,u,S,角,，,介于,0,与,90,之间。,要特别注意：,u,S,不是电容两端电压，而是电容与电阻串联组合两端的电压，因而电流虽然仍超前电压，但超前角度并非,90,。,画相量,模型如图,(b),，,其中 。可依照以下步骤，逐个绘出相量,：,绘出,相量图后，显然可见 总是超前 的。相位差角,也可在相量图上利用几何、三角关系求得。相量 的长度为,RI,，,相量 的长度为,I/,C,。,由相量图中 、构成的直角三角形可知：,（此时相量图只能定性而不能定量绘制。）,用相量解析法,在解题时，初学者往往容易发生这样的错误：认为电流表,A,的读数是,10A,10A,20A,。,实际上,汇集在节点处电流的有效值一般是不满足,KCL,的，满足,KCL,的是电流有效值相量！,因,电阻电压、电流同相，故相量 与 同相；因电容的电流超前电压,90,，,故相量 垂直 且处于超前 的位置。根据已知条件，相量 、的长度相等，都等于,10,。由这两相量所构成的平行四边形的对角线确定了相量 ，且由相量图的几何关系可知,解得,在,直角三角形,OCA,中：,得,因而,故得,又,得,故得,小 结,一,.,基本要求,(1),深刻理解正弦量、有效值和相量的概念。,(2),熟练掌握,R,，,L,，,C,元件伏安关系的相量形式。,(3),深刻理解阻抗与导纳的概念和性质。,(4),熟练掌握正弦稳态电路的计算方法。,(5),会借助相量图算正弦稳态电路的响应。,二,.,重点、难点学习指导,表示,第八章,结束,期待中的力量！,我们期待什么，便会得到什么；如果我们什么都不期待，自然就一无所得；安于贫贱，自然就不会富裕。唯有诚心期待成功的人，才能成功！,