机械振动3强迫振动8-10.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 受迫振动,3.8,系统对任意激励的响应,卷积积分,3.9,系统对任意激励的响应,傅里叶积分,3.10,用拉普拉斯变换法求系统响应,传递函数,3.8,系统对任意激励的响应,卷积积分,上节讨论了周期激励作用下的振动响应，在不考虑,初始阶段的瞬态响应时，它是稳态的周期振动。,但在现实中激励并非是周期的，而是任意的周期函,数，或者是在极短时间内的冲击作用。在这种激励,情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。,激励停止后，系统按固有频率作自由振动。,若激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也会持续下去。,对任意激励的响应，求解方法有多种：,3.8.1,脉冲响应,对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应,单位脉冲力可利用狄拉克（,Dirac,）分布函数,(,t,),表示,函数也称为,单位脉冲函数,，定义为：,对于,时刻的,单位脉冲函数，,表示为：,O,-,（,3.1.1,）,函数的性质,:,特别地，当时刻,=0,时，有：,实际应用时，通常,f,(,t,),在,时才有意义,冲量为,的脉冲力可借助,函数表示为：,当,I,=1,时，为单位脉冲力。,因而有：,现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应,单位脉冲响应,记：,-,、,为单位脉冲力的前后时刻,运动微分方程与初始条件可合写为：,或,脉冲响应,乘,dt,：,在脉冲力作用的瞬间，位移来不及变化，但速度可产生突变,令：,0,-,两边在区间,内对时间积分：,在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间，位移则来不及有改变，也习惯表示为：,x,(0,+,)=,x,(0,-,),当,t,时，脉冲力作用已经结束，此时物体得到了速度增量,1,/,m,。由于,无限小，所以记为：,质量越大，越小,质量越小，越大,若系统受到冲量为,I,脉冲作用，结束时物体得到了速度增量,I,/,m,。,系统受脉冲,I,作用，因脉冲结束后无后续激励，因此响应为自由振动。其初始条件为：初位移为零，而初速度为,I/,m,。,对无阻尼系统：,因此解为：,对单位脉冲，其响应为脉冲响应，,记为,h,(,t,),：,3.8.2,卷积积分,当处于零初始条件的系统受到任意激励时，可以将激励,F,(,t,),看作一系列脉冲力的叠加,对于时刻,t=,的脉冲力，,系统受脉冲作用后产生速度增量：,并引起,t,各个时刻的响应,系统的脉冲响应：,其冲量为：,由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间,内各个脉冲响应的总和,得：,杜哈梅,(Duhamel),积分,利用卷积性质：,若初始条件非零，则：,若阻尼为零，则非零初值条件下的响应：,对于周期激励的无阻尼系统：,与,零初值条件的受迫振动的稳态响应一致。,3.8.3,阶跃函数响应,在,t,1,时刻开始受到突加的常值力作用，强度为,F,0,试用杜哈梅积分计算系统在,t,t,1,时段内的响应。,解,：由于在,t,t,1,时段，其激励相当于,2,个常值力激励的叠加，响应也是两个对应的响应叠加。因此利用上例的结果：,即得到解：,对于无阻尼系统，即,=0,，矩形脉冲激励的响应为：,直接解法,：,（,1,）时,（,2,）时,解法,三：（仅对于无阻尼情形）,当,t,t,1,时激励力已经消失，此时系统将以时刻,t,=,t,1,时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为,残余振动,先求,t,=,t,1,时刻的位移和速度,，前面已解得：,得,t,=,t,1,时刻的位移和速度,：,即为,t,t,1,时的响应。,在,t,=,t,1,开始作自由振动：,3.9,系统对任意激励的响应,傅里叶积分,上节讲到用杜哈梅积分，可以计算任意非周期激励的响应。,那是在时间域内的变化关系，本节从另一角度出发，改在频率域内讨论激励和响应的关系。,对于任意非周期函数,F,(,t,),，可看成为周期,T,趋于无限大的周期函数。频谱图中相邻频率,=2,/,T,视为无限小量，则可以认为频率在区间,(-,),上接近于连续分布。,设周期力,F,(t),的频率为,，周期为,T,=2,/,。将,F,(t),展开为,傅里叶级数，以复数形式表示为：,其中,：,回顾，,傅里叶展开级数,：,将傅里叶展开式中的,n,改用,n,表示，周期,T,以,2,/,代替：,当,0,时，离散变量,n,转变为连续改变的频率变量,，上式转化为：,（,3.9-5,）,将其中的,TF,n,视为,的连续函数，改用,(,),表示：,（,3.9-7,）,(,),称为激励的,频谱函数,。,积分式,（,3.9-8,）称为函数,F,(,t,),的,傅里叶变换,。,（,3.9-8,）,（,3.9-7,）,积分式,（,3.9-7,）称为函数,(,),的,傅里叶逆变换,，,它将非周期函数,F,(,t,),表示为频率为,、强度为,(,),d,的简谐分量的无限和,。,函数,(,),和,F,(,t,),共,称为,傅里叶变换对,。,回顾，受迫振动,：,（,b,）,其中,X,n,为系统的第,n,阶复振幅。,（,a,）,（,b,）代入（,a,）：,（,3.9-9,）,令,X,(,)=,H,(,),(,),求,x,(,t,),：,F,(,t,),傅里叶变换得,(,),，乘,H,(,),，,傅里叶逆变换。,x,(,t,),与,X,(,),组成傅里叶变换对。,X,(,),为,系统响应的频率域表达式,。,例,3.9.1,质量,-,弹簧系统受矩形脉冲激励，试对激励作傅里叶变换，并作频谱图。讨论脉冲宽度趋于零的单位脉冲的极限情形,解：利用（,3.9.8,）式积分求频谱函数,矩形脉冲的频谱图,对于脉冲宽度趋于零的单位脉冲情形,即单位脉冲的傅里叶变换等于,1,，其频谱在区间（,-,）内均匀分布,矩形脉冲的频谱函数,3.10,用拉普拉斯变换法求系统响应,传递函数,计算线性系统对任意非周期激励的响应也可以用,拉普拉斯（,Laplace,P.S.,）变换,。,对于任意函数,x,(t),，定义拉普拉斯,(Laplace,P.S.),变换式为,其中,s,=,+i,为复变量，称为拉普拉斯变换的辅助变量。,当,=0,时,，,这是,x,(,t,),的傅里叶变换。因此拉普拉斯变换可视为傅里叶变换向复数域的扩展。,（,3.10-1,）,可以证实，拉普拉斯变换为线性变换：,对,x,(t),的一阶导数做拉普拉斯变换：,（,3.10-2,）,对,x,(t),的二阶导数做拉普拉斯变换：,（,3.10-3,）,利用以上公式对线性系统受迫振动方程做拉普拉斯变换：,上式是将自变量,t,的线性常微分方程变换成自变量为,s,的代数方程，且包含了外激励和初始扰动在内的全部激励，是拉普拉斯变换的最大优点。,（,3.10-4,）,令：,（,3.10-5,）,如激励力,F,(,t,),延迟在,t,=,t,1,时刻发生，将,F,(,t,-,t,1,),代入拉普拉斯变换式：,作用时间滞后对拉普拉斯变换的影响由指数函数 体现,若初始扰动为零，从方程（,3.10-5,）导出：,若,s=i,上式就是第二章讲到的位移阻抗（,k-m,2,+ic,）,。,因此,Z(s),称为系统的,广义阻抗,，其倒数称为系统的,传递函数,或,广义导纳,。记作：,若,s=i,上式就是第二章讲到的复频响应函数,1/(k-m,2,+ic,),。,系统响应,x,(t),的拉普拉斯变换,X,(s):,。,因此，传递函数,H,(s),可视为激励力的拉普拉斯变换,(s),计算响应的,拉普拉斯变换,X,(s),的代数算子。,导出,X,(s),以后，通过拉普拉斯逆变换，即可得到系统响应。,拉普拉斯逆变换是在复数域内的积分，但不必具体做积分运算，因为各种典型函数的拉普拉斯变换和逆变换均有现成表格可供查阅。,从以上分析过程可以看出，拉普拉斯变换将线性常微分方程转化为代数方程，通过逆变换得到微分方程的解。,下图表示其计算流程。,X(s)=H,(s),(s),H,(s),F,(t),(s),x,(t),P67,表,3.10-1,有几种常见激励力所对应的拉普拉斯变换对，更多的变换对可查阅数学手册。,例,3.10.2,无阻尼,质量弹簧系统,在,t,1,时刻开始受到突加的常值力作用，强度为,F,0,试用拉普拉斯变换计算系统在,t,t,1,时段内的响应。,解,：对激励力进行拉普拉斯变换：,其中：,1/s,为阶跃函数对应的拉普拉斯变换，,体现作用时间的滞后。,无阻尼动力学方程的拉普拉斯变换（,c,=0,）：,查,X,(s),各项的逆变换：,相当于滞后,t,1,时刻,查表,查表,变换是线性的,与上节例子的解（考虑初始条件）一样。,杜哈梅积分部分,对初始条件的响应,例,3.10.3,：无阻尼质量,弹簧系统,在（,0,，,t,1,）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用,解：矩形脉冲力可利用单位阶跃函数表达为：,试用拉普拉斯变换计算系统的响应。,无阻尼动力学方程的拉普拉斯变换（,c=0,）：,相当于滞后,t,1,时刻,查表,查表,变换是线性的,可以证明，脉冲响应函数,h,(,t,),与复频率响应函数,H,(,),也恰好,组成傅里叶变换对。,设系统受单位脉冲激励，令：,脉冲响应为：,脉冲激励的傅里叶变换：,3.11,复频率响应与脉冲响应之间的关系,对应于脉冲响应时，有,时间域,频率域,(3.11-5),所以：,变换对,(3.11-6),时间域,频率域,F,(,t,),(,),h,(,t,),H,(,),x,(,t,),X,(,),傅里叶变换对表示的激励与响应的关系,激励,脉冲响应,响应,频谱函数,复频响应,变换对,对单位脉冲，,(,)=1,本节作业：,3.13,；,3.16,