线性代数 1.3按行(列)展开.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3,行列式按行（列）展开,引入,1,一、定义,n,阶行列式,中，划去元素,a,ij,所在的,第,i,行,和,第,j,列,元素，余下的元素按原来顺序构成一个,n,-1,阶行列式，称为元素,a,ij,的,余子式,，记做,M,ij,。,称 为元素,a,ij,的,代数余子式,。,【,注,】,行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式,.,2,如 四阶行列式,的余子式,:,代数余子式,:,12,),1,(,11,1,1,11,-,=,-,=,+,M,A,2,1,1,0,1,1,1,1,1,1,3,2,0,1,2,1,-,-,-,=,D,2,1,1,1,1,1,1,1,3,11,-,-,=,M,=,12,3,四阶行列式,的余子式,:,代数余子式,:,2,1,1,0,1,1,1,1,1,1,3,2,0,1,2,1,-,-,-,=,D,3,2,1,0,1,1,1,0,2,1,23,-,=,=,M,3,),1,(,23,3,2,23,=,-,=,+,M,A,4,定理,:,n,阶行列式,D,|,a,ij,|,等于它的任意一行,(,列,),各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,或,二、行列式展开定理,按,第,i,行,展开,按,第,j,列,展开,5,说明：,该定理可作为行列式的等价定义。,按某行（列）展开，本质是对行列式,降阶,，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。,证明思路,：,(,详细证明见教材,),1,两边项数相同,；,2,右边,各项都是,D,中的项,；,3,右边,各项的符号与在,D,中的符号相同。,6,例,1,利用行列式的展开计算行列式的值,【,评注,】,一般应选取零元素最多的行或列进行展开,;,或者选取一行或列,利用行列式的性质,5,将这一行或列的元素尽可能多的化为零,然后按这一行或列进行展开,;,这样方便计算。,7,解 将行列式按第,1,列展开,D=2 -,（,-2,）,=-48,8,推论：,行列式,D,的任一行,(,列,),的元素与,另一行,(,列,),的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,.,证明,在,中，如果令第,i,行的元素,等于另外一行，譬如第,k,行的元素，得,D,1,9,第,i,行,=0.,按第,i,行展开得,【,注,】,A,ij,既是,D,1,中第,i,行第,j,列元素的代数余子式，,也是,D,中第,i,行第,j,列元素的代数余子式。,10,综上，得,公式,11,例,2,：,计算,范德蒙,行列式,1,1,1,1,3,1,2,1,1,2,2,1,2,3,2,2,2,1,1,3,2,1,1,1,1,1,1,-,-,-,-,-,-,-,-,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,=,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,D,12,n,-1,阶,范德蒙,行列式,13,依此类推，可得：,14,例,3,：,计算行列式,27,64,8,125,9,16,4,25,3,4,2,5,1,1,1,1,=,D,解：,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,（,4,3,2,3,2,4,5,3,5,4,5,2,-,.,-,.,-,.,-,.,-,.,-,=,D,12,=,15,例,4,计算,【,析,】,按第,1,行或第,1,列展开,16,三、拉普拉斯（,Laplace,）,定理,定义,在,n,阶行列式,D=|,a,ij,|,中，任意,选取,k,行,k,列,(1kn),位于这些行和列交叉处的,k,2,个元素按原来顺序组成的一个,k,阶,行列式,M,，,称为行列式,D,的一个,k,阶子式,。,在,D,中，,划去这,k,行,k,列,后，余下的元素按原来顺序组成的一个,n,-,k,阶,行列式,N,，,称为,k,阶子式,M,的,余子式。,称为,k,阶子式,M,的,代数余子式。,其中，是,k,阶子式,M,在,D,中所在的,行号和列号。,17,定理：（拉普拉斯定理,）,在,n,阶行列式,D,中，,任意选取,k,行,(1kn),，,由这,k,行元素组成的所有,k,阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式,D,的值，即,M,i,是,D,的由选定的,k,行生成的子式，,A,i,是,M,i,的代数余子式，,i,1,，,2,，,t.,18,例,5,：计算,19,例,6,：,计算,2n,阶行列式,第,n,行,第,n+,1,行,20,例,7,计算,n+m,阶行列式,按前,n,行展开,n阶,m阶,21,22,定义法,化三角形法：,利用性质化为三角形行列式,降阶法,（展开定理）,直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）展开,间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行（列）具有较少的非零元，再按其展开,.,普遍法则,行列式的计算,23,常用技巧,拆分法,：,A,=,B,+,C,数学归纳法（不讲）,递推法,行列式的计算,提取因子法：,行,(,列,),和相等时，各行,(,列,),加到第一行,(,列,),，提取公因子，再继续化简。,24,特殊行列式计算,行列式的计算,箭头形（或爪形）行列式,范德蒙行列式,等等，自己总结规律。,25,作业 习题一,17(1),26,