数论与有限域 第五章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 有限域的概念,通过前面的学习，我们已经知道对于给定的两个整数,a,和,b,，利用带余数除法一定会找到一个整数,q,以及一个非负整数,r,，使得,a,=,qb,+,r,，在后面的学习过程中，还会发现，这个规则对于多项式，高斯整数等也是成立的。于是，人们为了将这样一大类的研究对象进行统一处理，引入了一个新的概念,欧氏环,。如此，就可以在欧氏环中做我们所熟知的除法，因子分解等等，许多的结论我们不必再分别对整数，多项式，高斯整数等一一验证，只要知道是欧氏环，那么相应的结论就是正确的。,类似这样的一套由具体到抽象的理论是由一些伟大的数学家迦罗瓦，阿贝尔等将我们所熟知的数上的一些理论加以高度概括，提炼出来的结果称之为近世代数又称之为,抽象代数,。和我们已经接触到的经典代数中的初等代数、高等代数和线性代数不同，其研究对象不再是代数方程和线性方程组，而是,代数系统,。,定义,设,S,是任意一个集合，并记,S,S,S,为所有有序对,(,s,1,s,2,s,n,),，,s,i,S,，,1,i,n,，所构成的集合，则称由,S,S,S,到,S,的映射为集合,S,上的（,n,元）代数运算，并称由集合,S,以及定义在集合,S,上的一个或多个代数运算构成的系统为代数系统或代数结构。,在这个定义中，要求有序对,(,s,1,s,2,s,n,),S,S,S,的像必须在集合,S,中，即运算要满足封闭性。,例如,，由整数集合,Z,以及定义在其上的整数加法运算“,+,”,所构成的系统就是一个代数系统；而由整数集合,Z,和整数加法运算“,+,”,以及乘法运算“,”,所构成的系统也是一个代数系统，,第一节 群,定义,5.1.1,设,G,是定义了二元运算“”的非空集合，如果在集合,G,中：,a,b,c,G,，有,(,a,b,),c,=,a,(,b,c,),；,存在一个特殊的元素,e,，使得,a,G,，有,e,a,=,a,e,=,a,；,a,G,，可以找到一个特殊的元素,a,-1,G,，使得,a,a,-1,=,a,-1,a,=,e,。,则称,G,为群，并称元素,e,为群,G,的单位元，而称,a,-1,为元素,a,的逆元。,定义,5.1.2,若对群,G,中任意的元素,a,，,b,，有,a,b,=,b,a,，即运算“,”满足交换律，则称该群为阿贝尔（或可换）群。,第一节 群,例,5.1.1,证明,(,Z,+),构成阿贝尔群，,(,Z,),不构成群。,证明,：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性,(,即任意两个整数做加法还是整数,),，结合律与交换律，同时容易验证：,整数,0,是整数集合在加法运算下的单位元；,对任意的整数,a,，都可以找到其对应地逆元,-,a,。,因而,(,Z,+),构成阿贝尔群。,虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元,1,，但是对任意的整数,a,1,都找不到其对应的逆元。因而,(,Z,),不构成群。,第一节 群,例,5.1.1,证明,(,Z,+),构成阿贝尔群，,(,Z,),不构成群。,证明,：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性,(,即任意两个整数做加法还是整数,),，结合律与交换律，同时容易验证：,整数,0,是整数集合在加法运算下的单位元；,对任意的整数,a,，都可以找到其对应地逆元,-,a,。,因而,(,Z,+),构成阿贝尔群。,虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元,1,，但是对任意的整数,a,1,都找不到其对应的逆元。因而,(,Z,),不构成群。,第一节 群,例,5.1.2,给定由模,4,的全体剩余类构成的集合,Z,4,=0,1,2,3,，则可对,Z,4,定义加法“,+”,运算：,i,+,j,=,i,+,j,。该“,+”,运算可用如下运算表来完全刻划,表,5-1,群,Z,4,+,中运算表,在如上定义的“,+”,运算下，,Z,4,+,构成群。,+,0,1,2,3,0,0,1,2,3,1,1,2,3,0,2,2,3,0,1,3,3,0,1,2,第一节 群,例,5.1.1,证明,(,Z,+),构成阿贝尔群，,(,Z,),不构成群。,证明,：由整数加法的运算性质知加法运算满足封闭性,(,即任意两个整数做加法还是整数,),，结合律与交换律，同时容易验证：,整数,0,是整数集合在加法运算下的单位元；,对任意的整数,a,，都可以找到其对应地逆元,-,a,。,因而,(,Z,+),构成阿贝尔群。,虽然容易验证整数集合在乘法运算下有单位元,1,，但是对任意的整数,a,1,都找不到其对应的逆元。因而,(,Z,),不构成群。,第一节 群,由上述运算表易知,Z,4,对该加法“,+”,运算封闭；“,+”,满足结合律；,由于对任意的元素,a,Z,4,，都有,0+,a,=0+,a,=,a,+0=,a,+0=,a,，,因而,0,为,Z,4,中的加法零元；,而对,Z,4,中任意的元素,a,，都可以找到,Z,4,中的元素,-,a,，使得,-,a,+,a,=-,a,+,a,=0=,a,+(-,a,)=,a,+,-,a,，,因而,Z,4,中的每个元素都有负元，具体地,0,的负元是自身，,1,的负元为,-1=3,，,2,的负元是,-2=2,，,3,的负元为,-3=1,。,因而,Z,4,+,构成了加法群，称之为整数模,4,的剩余类加群。利用同样的证明过程，可以得到整数模的剩余类加群,Z,n,+,。,第一节 群,一般地，在乘法群中，一个元素,a,G,作,n,次运算的结果可以记为,a,n,=,aa,a,，同时称,a,n,为,a,的,n,次幂；而在加法群中，一个元素,a,G,作,n,次运算的结果则可以记为,na,=,a,+,a,+,a,。并且类似于普通的数的集合中的加法和乘法运算，群中的加法和乘法运算具有如下性质,对于乘法：,a,-n,=(,a,-,1,),n,，,a,n,a,m,=,a,n,+,m,，,(,a,m,),n,=,a,nm,;,对于加法：,(,-,n,),a,=,n,(,-a,),，,na,+,ma,=(,n,+,m,),a,，,m,(,na,)=(,mn,),a,。,在,n,=0,时，作如下约定：在乘法记号中,a,0,=,e,；在加法记号中,0,a,=0,，其中最后一个“,0”,为加法群中的零元。,第一节 群,定义,5.1.3,设,a,为群,G,中的元素，则称使得,a,n,=,e,的最小正整数,n,为元素,a,的阶，记为,|,a,|,，如果这样的,n,不存在，则称,a,的阶为无限（或称是零）。,由定义,5.1.3,可知，群中单位元的阶是,l,，而其他任何元素的阶都大于,1,，例如在非零有理数乘法群中，单位元,1,的阶是,1,，而元素,-1,的阶是,2,，其余元素的阶均为无限。,定义,5.1.4,群,G,中的元素个数称为,G,的阶，通常记为,|,G,|,。,例,5.1.3,集合,G,=1,-1,i,-,i,关于数的普通乘法作成群，即,4,次单位根群。其中群,G,的阶为,4,，元素,l,的阶是,l,，,-1,的阶是,2,，而虚单位根,i,与,-,i,的阶都是,4,。,第一节 群,定义,5.1.5,设,S,为定义了代数运算“”的任一非空集合。若在集合,S,中，运算“”满足封闭性与结合律，则称,S,为半群。,例,5.1.4,设,A,=1,2,3,4,，而令,S,为,A,的全部子集构成的集合（通常称之为,A,的幂集），则易知,S,及,S,都是半群。,第二节 子群、陪集与拉格朗日定理,一、子群,二、,陪集与拉格朗日定理,一、子群,定义,5.1.5,如果群,G,的子集,H,对于群,G,的运算也构成了群，则称,H,为群,G,的子群，并称群,G,的除了,e,和,G,之外的子群为,G,的真子群。,例如容易验证所有偶数构成的集合就是整数加法群的真子群。,定义,5.1.6,如果群,G,中存在一个子集,H,，使得子集,H,中的任意元素,b,，都可以表示为,H,中某个特殊的元素,a,的幂次，则称子集,H,为群,G,的循环子群，而称元素,a,为,H,的生成元，记为,H,=(,a,),。特别地，若,H,=,G,，则称群,G,为循环群。,例,5.1.5,容易验证整数模,4,的剩余类加群,Z,4,中的任意元素都可以由元素,1,做若干次运算而得到,，,即,1,是,Z,4,的生成元。,一、子群,显然循环群的乘法满足交换律，故循环群都是可换群。同时一个循环群的生成元很可能不止一个。例如容易证明,3,也是,整数模,4,的剩余类加群,Z,4,的生成元。,推论,5.1.1,由群,G,中一个固定的元素,a,的所有幂次所构成的子群，称为由,a,生成的子群，记为（,a,）。,子群（,a,）必然是循环群，并且若这个子群的阶是有限的，则此子群的阶就是元素,a,的阶，而若子群的阶是无限的，则元素,a,的阶也是无限的。,二、陪集与拉格朗日定理,定义,5.1.7(,集合的积,),设,X,和,Y,是群,G,的两个非空子集，于是子集,X,与,Y,的积记为,XY,=,xy,|,x,X,y,Y,。特别地，如果,Y,=,y,是一个单元素集，而子集,X,=,x,1,x,2,，那么子集,X,和,Y,的积为,XY,=,x,1,y,x,2,y,，此时我们记,XY,为,Xy,，并称,Xy,为元素,y,右乘,X,的积。,定义,5.1.8,设,H,为群,G,的子群，,a,G,，则称群,G,的子集,aH,=,ax,|,x,H,为群,G,关于子群,H,的一个左陪集，而称,Ha,=,xa,|,x,H,为群,G,关于子群,H,的一个右陪集。同时称,a,为代表元。,二、陪集与拉格朗日定理,定理,5.1.1,设,H,为群,G,的子群，则,a,，,b,G,，,Ha,=,Hb,与下面两个条件等价,a,Hb,ab,-1,H,证明,：,(,a,HbHa,=,Hb,),：设,a,Hb,，则存在,h,H,使得,a,=,hb,，因而,h,-1,a,=,h,-1,hb,=,b,，即,b,=,h,-1,a,。,首先,x,Ha,，存在,h,1,H,使得,x,=,h,1,a,=,h,1,(,hb,)=(,h,1,h,),b,，,由子群,H,对乘法运算的封闭性得到,h,1,h,H,，因而,x,=,(,h,1,h,),b,Hb,，故,Ha,Hb,。,二、陪集与拉格朗日定理,(,a,HbHa,=,Hb,),：,h,-1,a,=,h,-1,hb,=,b,，即,b,=,h,-1,a,。,其次,y,Hb,，存在,h,2,H,使得,y,=,h,2,b,=,h,2,(,h,-1,a,)=(,h,2,h,-1,),a,，,由子群,H,对乘法运算的封闭性得到,h,2,h,-1,H,，因而,y,=,(,h,2,h,-1,),a,Ha,，故,Hb,Ha,。,综上，得到,Ha,=,Hb,。,(,Ha,=,Hbab,-1,H,),：设,Ha,=,Hb,，则,ha,Ha,，都存在,h,H,，使得,ha,=,h,b,，即,ab,-1,=,h,-1,h,H,，进而,ab,-1,H,。,(,ab,-1,Ha,Hb,),：设,ab,-1,H,，则存在,h,H,，使得,ab,-1,=,h,，于是,a,=,hb,Hb,，即,a,Hb,。,二、陪集与拉格朗日定理,定理,5.1.2,设,H,为群,G,的子群，,a,，,b,G,，则,a,Ha,；,右陪集,Ha,与,Hb,或者相等或者相交为空集，即,Ha,=,Hb,或,Ha,Hb,=,；,G,=,证明,：,因为,H,为群,G,的子群，所以,H,中有单位元,e,，使得,a,G,，有,a,=,e,a,Ha,；,二、陪集与拉格朗日定理,若,Ha,Hb,，则存在,x,Ha,Hb,，,由,x,Ha,，可以得到,Hx,=Ha,，,而由,x,Hb,，又可以得到,Hx,=,Hb,，,所以,Ha,=,Hb,；,二、陪集与拉格朗日定理,因为每个右陪集,Ha,都是,G,的子集，所以这些右陪集的并也是,G,的子集，即,另一方面，,g,G,，由,1),知,g,Hg,，而显然有,所以,g,，由,g,的任意性得到,所以,二、陪集与拉格朗日定理,由定理,5.1.2,我们看到：,每个右陪集的代表元都含在该右陪集内，,任两个右陪集要么相等，要么不相交，,将不重复的全部右陪集并起来以后恰好等于整个群,G,，,即群,G,的所有右陪集构成了,G,的一个划分。,定义,5.1.9,设,H,为群,G,的子群，由上述定理决定的,G,的划分,G,=,称为,G,的一个右陪集分解。,二、陪集与拉格朗日定理,定义,5.1.9,设,H,为群,G,的子群，由上述定理决定的,G,的划分,G,=,称为,G,的一个右陪集分解。,特别地，由上可见群,G,的右陪集分解具有如下特点：,分解式中必含有子群,(,即以单位元为代表的右陪集,),而其余的右陪集都不是,G,的子群；,右陪集分解式中出现的右陪集彼此都不相交；,分解式中每个右陪集的代表元都可以适当替换。,二、陪集与拉格朗日定理,设,H,为群,G,的子群，若记,S,R,=,Ha,|,a,G,S,R,为,H,的所有不重复的右陪集做成的集合，,S,L,=,cH,|,c,G,，,S,L,为,H,的全部不重复的左陪集做成的集合。,则左陪集将与右陪集具有完全相似的性质。同时有如下结论,定理,5.1.3,设,H,为群,G,的子群，则,S,R,与,S,L,之间存在双射。,二、陪集与拉格朗日定理,定理,5.1.3,设,H,为群,G,的子群，则,S,R,与,S,L,之间存在双射。,证明,：作,:,S,R,S,L,，其中,(,Ha,)=,a,-1,H,。,(,必是映射,),：,Ha,，,Hb,S,R,，若,Ha,=,Hb,，则,ab,-1,H,，即存在,h,H,，使得,ab,-1,=,h,，,即,b,-1,=,a,-1,h,，,进而,b,-1,a,-1,H,，故,a,-1,H,=,b,-1,H,，即,(,Ha,)=,(,Hb,),，,这说明,是个映射。,二、陪集与拉格朗日定理,定理,5.1.3,设,H,为群,G,的子群，则,S,R,与,S,L,之间存在双射。,证明,：作,:,S,R,S,L,，其中,(,Ha,)=,a,-1,H,。,(,必是满射,),：,cH,S,L,，存在,Hc,-1,R,，使,(,Hc,-1,)=(,c,-1,),-1,H,=,cH,，,所以,必是满射。,(,必是单射,),：设,(,Ha,)=,a,-1,H,，若,a,-1,H,=,b,-1,H,，则,ab,-1,H,=,H,，即存在,h,1,，,h,2,H,，使得,ab,-1,h,1,=,h,2,，,即,ab,-1,=,h,2,h,1,-1,，,进而,a,=,h,2,h,1,-1,b,，,即,h,2,-1,a,=,h,1,-1,b,，,故,Ha,=,Hb,，所以,必是单射。,综上知,必是双射。,二、陪集与拉格朗日定理,定义,5.1.10,若,H,为群,G,的子群，则称,H,的右,(,左,),陪集的个数为,H,在,G,中的指数，记为,G,:,H,。,引理,5.1.1,设,H,为群,G,的子群，则,H,与,H,的任一个右陪集,Ha,之间都存在双射。,证明,:,设,:,H,Ha,，其中,h,H,，有,(,h,)=,ha,。,h,H,，作为,h,在,下的象,ha,是唯一确定的，所以,是映射。,ha,Ha,，显然,ha,有原象,h,，所以,是满射。,设,(,h,1,)=,h,1,a,，,(,h,2,)=,h,2,a,，若,h,1,a,=,h,2,a,，则,h,1,aa,-1,=,h,2,aa,-1,，即,h,1,=,h,2,，所以,必是单射。,综上知,是双射。,二、陪集与拉格朗日定理,定理,5.1.4(,拉格朗日定理,),设,H,为群,G,的子群，若,|,G,|=,N,，,|,H,|=,n,，且,G,:,H,=,j,，则,N,=,nj,。,证明,：因为,G,:,H,=,j,，即,H,在群,G,中的右陪集只有,j,个，,从而有,G,的右陪集分解：,G,=,Ha,1,Ha,2,Ha,3,Ha,j,，其中,Ha,1,=,H,。,由引理,5.1.1,知，,|,Ha,1,|=|,Ha,2,|=|,Ha,3,|=|,Ha,j,|=,n,，,所以,|,G,|=|,Ha,1,|,j,，即,N,=,nj,。,由等式“,N,=,nj,”,知子群,H,的阶,n,是,G,的阶,N,的因子，于是,二、陪集与拉格朗日定理,推论,5.1.2,设,G,为有限群，则,aG,，其阶,m,必是,|,G,|,的因子，即,|,a,|,G,|,。,证明,：设以元素,a,生成,G,的一个循环子群,H,=(,a,),，则由拉格朗日定理知,|,H,|,G,|,，,但,|,H,|=,m,，所以,m,|,G,|,，,即,|,a,|,G,|,。,第三节 环,一、环的定义,二、,陪集与拉格朗日定理,一、环的定义,定义,5.2.1,设在非空集合,R,中定义了两个二元运算“,+”,与“,”,，如果在集合,R,中,R,+,构成阿贝尔群；,R,构成半群；,乘法“,”,对加法“,+”,满足左、右分配律，即,a,b,c,R,，有,a,(,b,+,c,)=,a,b,+,a,c,，且,(,b,+,c,),a,=,b,a,+,c,a,。,则称,R,+,为环。,例,5.2.1,在环,R,+,中，取集合,R,为整数集,Z,，“,+”,和“,”,为整数的加法和乘法运算，则容易验证,R,+,构成环，称之为整数环，记为,Z,。同理还可以得到有理数环，实数环，复数环，由于这四个环都是由数的集合组成的，故均称之为,数环,。,一、环的定义,例,5.2.2,设集合,Z,i,=,a,+,bi,|,a,b,Z,，则按照整数加法运算，集合,Z,i,也构成了环，称为高斯整数环。,例,5.2.3,模,m,的剩余类环,Z,m,+,，前边我们曾讨论了模,m,的剩余类加群,Z,m,+,，这里再为,Z,m,定义一个乘法“,”,：,i,j,=,i,j,，于是可以验证,Z,m,+,构成一个环。为了便于理解，这里特取,m,=7,，接下来证明,Z,7,+,构成环。,一、环的定义,例,5.2.3,证明,Z,7,+,构成环。,事实上：,Z,7,+,正是模,7,剩余类加群；,Z,7,是半群：由下边的乘法运算表可知,Z,7,对乘法运算封闭，且满足结合律；,+,0,1,2,3,4,5,6,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,2,3,4,5,6,2,0,2,4,6,1,3,5,3,0,3,6,2,5,1,4,4,0,4,1,5,2,6,3,5,0,5,3,1,6,4,2,6,0,6,5,4,3,2,1,一、环的定义,例,5.2.3,证明,Z,7,+,构成环。,a,b,c,Z,7,，有,a,(,b,+,c,),=,a,b,+,c,=,a,(,b,+,c,),=,a,b,+,a,c,=,a,b,+,a,c,=,a,b,+,a,c,，,同理,(,b,+,c,),a,=,b,a,+,c,a,，,因而,Z,7,+,构成环。,一、环的定义,环,R,+,在集合,R,上定义了两个二元运算，并且这两个二元运算通过分配律建立了彼此的联系，但同时注意到集合,R,对于乘法只要求构成半群,乘法满足封闭性和结合律，所以为环在乘法方面留下了很大的发展空间，一旦某些乘法再满足其它一些条件，就可以得到一些特殊类型的环。,首先引入如下定义,定义,5.2.2,若环,R,中存在非零元素,a,和,b,，使得,a,b,=0,，则称,a,是,R,的一个左零因子，,b,是,R,的一个右零因子，进一步地，若环,R,中的元素,a,既是左零因子，又是右零因子，则称,a,为,零因子,。,一、环的定义,例,5.2.4,容易验证在环,Z,6,+,中，有,23=0,，因而,2,是,Z,6,的一个左零因子，同时,3,是,Z,6,的一个右零因子，又由,32=0,，知,2,也是,Z,6,的一个右零因子，,3,也是,Z,6,的一个左零因子，而因而,2,和,3,都是,Z,6,的零因子。但是观察环,Z,7,+,的乘法运算表,2,，我们会发现找不到这样的非零元素,a,与,b,，故环,Z,7,+,中既无左零因子，也无右零因子。,注,：在环,R,中,左零因子和右零因子这两个概念彼此依赖，有左零因子有右零因子；,若,a,是,R,的左零因子，一般,a,未必同时是,R,的右零因子；,若环,R,是交换环，则,R,的每个左,(,或右,),零因子都是零因子。,一、环的定义,定义,5.2.3,若环,R,中没有左零因子,(,自然也就没有右零因子,),，则称环,R,为无零因子环。,进一步地，,定义,5.2.4,若环,R,+,中具有乘法运算的单位元，则称环,R,+,为有单位元环。,若环,R,+,中的乘法运算满足交换律，则称环,R,为可换环。,一个不含零因子的交换环称为整环。,若环,R,+,中的非零元在乘法运算下构成群，则称环,R,+,为除环。,可交换的除环称为域。,一、环的定义,注意,：,环中的乘法单位元显然不只代表整数,1,，,例如,Z,7,+,中的单位元为,1,；,并不是每个环都有单位元，例如偶数环。,若环,R,中有单位元,则这个单位元必是唯一的。,例,5.2.5,所有数环以及剩余类环,Z,m,都是可换环。,整数环，模,m,剩余类环,(,m,为素数时,),都是整环；,而偶数环,(,无单位元,),，模,m,剩余类环,(,m,为合数时，有零因子,),不是整环。,一、环的定义,接下来，有必要对域的概念及性质做进一步地强调。,首先，域是定义了两个二元运算加法和乘法的非空集合。,该集合对加法构成了阿贝尔群，其加法的零元记为,0,；,集合中的所有非零元对乘法也构成了阿贝尔群，其乘法的单位元记为,e,，且,0,e,。,两个二元运算乘法和加法通过分配律,a,(,b,+,c,)=,ab,+,ac,联系在一起。,前面曾介绍的很多数环都是域,(,称为数域,),，例如有理数域,Q,，实数域,R,，复数域,C,。,定义,5.2.5,只包含有限个元素的域称为有限域，或迦罗瓦域。,一、环的定义,定理,5.2.1,若,p,是素数，则模,p,的剩余类环,Z,p,构成域。,证明,：,首先,模,p,的剩余类环,Z,p,是不含零因子的可换环，即整环。否则设,a,是,Z,p,的任意一个零因子，则,存在,b,Z,p,，且,b,0,，使得,a,b,=0,，,由,b,0,，得到,p,b,，,而由,a,b,=,ab,=0,，又知,p,|,a,b,。,故,p,|,a,，即,a,=0,，也即,Z,p,的零因子只有,0,，,故,Z,p,是整环。,其次,易知,Z,p,有单位元,1,。,一、环的定义,最后,由域的定义只需证明每个非零元素,a,都有逆元即可。为此，,x,Z,p,，作映射,f,:,x,a,x,，则,由乘法运算的封闭性知,a,x,Z,p,，即,f,(,Z,p,),Z,p,。,若,f,(,Z,p,)=,Z,p,，则,必定可以找到一个,x,Z,p,，使得,a,x,=1,，即,x,=,a,-1,。,下面证明,f,(,Z,p,)=,Z,p,。,一、环的定义,下面证明,f,(,Z,p,)=,Z,p,。,由于,f,(,Z,p,)=,a,x,|,x,Z,p,，故当,x,取遍,Z,p,时，,a,x,取遍,Z,p,，且,若,x,1,x,2,，则由中无零因子知,a,x,1,a,x,2,，,因而,|,f,(,Z,p,)|=|,Z,p,|,，,即集合,f,(,Z,p,),与,Z,p,有相同个数的元素，因而,结合,f,(,Z,p,),Z,p,，就得到,f,(,Z,p,)=,Z,p,。,一、环的定义,定义,5.2.6,（子环）,若环,R,的一个子集,S,在环,R,的加法和乘法运算下也构成环，则称,S,为,R,的子环。,类似地可以给出如下子整环，子除环和子域的定义。,定义,5.2.7,若整环（除环或域）,R,的子集,S,在整环（除环或子域）,R,的加法和乘法运算下也构成整环（除环或域），则称,S,为整环（除环或域）,R,的子整环（子除环或子域）。,例,5.2.6,容易验证整数模,7,的剩余类环,Z,7,中的子集,S,=0,1,2,4,构成了,Z,7,的子环，且该子环还是一个子域，其中,1,为单位元，而,2,与,4,互为逆元。,一、环的定义,定义,5.2.8,（理想）,设,I,是环,R,的一个子环，若,a,I,，,r,R,，都有,ra,I,（或,ar,I,），则称,I,是,R,的一个左理想（或右理想）；若,a,I,，,r,R,，都有,ar,I,且,ra,I,，则称,I,是,R,的一个理想。,例,5.2.7,任一个环,R,至少都有如下两个理想：,0,零理想，,R,单位理想，统称为环,R,的平凡理想，而将其它理想,(,若存在,),称之为环,R,的真理想。,例,5.2.8,容易验证偶数环是整数环的理想。,二、多项式环,设,R,是任意环，则,环,R,上的多项式,可以表示为,f,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,，,其中,n,为非负整数，系数,a,i,为环,R,上的元素，,x,是不属于环,R,的一个符号，称为环,R,上的不定元。,约定当系数,a,i,=0,时，项,a,i,x,i,可以不写，在此约定下，上面的多项式也可以等价地表述为,f,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,+0,x,n,+1,+0,x,n,+,h,，,其中,h,为任意正整数。,如此对环,R,上的两个多项式,f,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,与,g,(,x,)=,b,0,+,b,1,x,+,b,m,x,m,进行比较时，就可以假设他们都具有相同的幂指数，,即,m,=,n,。,环,R,上的两个多项式,f,(,x,)=,g,(,x,),a,i,=,b,i,，,0,i,n,。,二、多项式环,两个多项式,f,(,x,),与,g,(,x,),的加法与乘法运算分别定义为,f,(,x,)+,g,(,x,)=(,a,0,+,b,0,)+(,a,1,+,b,1,),x,+(,a,n,+,b,n,),x,n,，,f,(,x,),g,(,x,)=,c,0,+,c,1,x,+,c,n,+,m,x,n,+,m,，,容易验证环,R,上的多项式集在定义了如上的多项式的和与乘积运算之后构成环。称之为,环,R,上的多项式环,，记为,R,x,。,R,x,中的零元是系数全为零的多项式，这个多项式称为零多项式，记为,0,。,二、多项式环,定义,5.2.9,设,f,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,+,a,n,x,n,为环,R,上的一个非零多项式，故可设,a,n,0,，并称,a,n,为多项式,f,(,x,),的首系数，,a,0,为,f,(,x,),的常数项，而,n,称为,f,(,x,),的次数，记,n,=,deg(,f,(,x,)=,deg(,f,),。并约定,deg(0)=-,。次数,0,的多项式称为常数多项式。若环,R,有单位元,1,且,f,(,x,),的首系数为,1,，就称,f,(,x,),为首一多项式。,例,5.2.9,多项式环,Z,7,x,中，多项式,f,(,x,)=6,x,5,+5,x,4,+,x,2,+4,的次数,deg(,f,(,x,)=5,，首系数为,6,，常数项为,4,。由于多项式,f,(,x,),的首系数不为,1,，因而,f,(,x,),不是首一多项式。,二、多项式环,定理,5.2.2,设,f,(,x,),和,g,(,x,),R,x,，则,deg(,f,(,x,)+,g,(,x,),),max(deg(,f,(,x,),),deg(,g,(,x,),),；,deg(,f,(,x,),g,(,x,),),deg(,f,(,x,),)+deg(,g,(,x,),),若,R,是整环，则,deg(,f,(,x,),g,(,x,),),=,deg(,f,(,x,),)+deg(,g,(,x,),),。,例,5.2.10,多项式环,Z,6,x,中，多项式,f,(,x,)=2,x,3,+,x,2,+4,，,g,(,x,)=3,x,2,+,x,+3,则,deg(,f,(,x,)=3,，,deg(,g,(,x,)=2,，而,f,(,x,)+,g,(,x,)=2,x,3,+4,x,2,+,x,+1,，,f,(,x,),g,(,x,)=5,x,4,+,x,3,+3,x,2,+4,x,，,deg(,f,(,x,)+,g,(,x,),),=3=,max(deg(,f,(,x,),),deg(,g,(,x,),),，,deg(,f,(,x,),g,(,x,),)=4,deg(,f,(,x,),)+deg(,g,(,x,),)=5,。,二、多项式环,而在多项式环,Z,7,x,中，多项式,f,(,x,)=6,x,5,+5,x,4,+,x,2,+4,，,g,(,x,)=3,x,4,+5,x,2,+,x,+5,则,deg(,f,(,x,)=5,，,deg(,g,(,x,)=4,，而,f,(,x,)+,g,(,x,)=6,x,5,+,x,4,+6,x,2,+2,，,f,(,x,),g,(,x,)=4,x,9,+,x,8,+2,x,7,+6,x,6,+,x,3,+4,x,2,+6,，,deg(,f,(,x,)+,g,(,x,)=5=,max(deg(,f,(,x,),deg(,g,(,x,),，,deg(,f,(,x,),g,(,x,)=9=,deg(,f,(,x,)+deg(,g,(,x,),。,二、多项式环,定理,5.2.3,设,R,是一个环，则,R,x,是可换环当且仅当,R,是可换环；,R,x,是有单位元的环当且仅当,R,有单位元；,R,x,是整环当且仅当,R,是整环。,并且与整数环上的素数相对应，在域,F,的多项式环,F,x,上可以定义既约多项式。,定义,5.2.11,设,f,(,x,),是次数大于零的多项式，若除了常数和常数与多项式,f,(,x,),本身的乘积以外，,f,(,x,),再不能被域,F,上的其它多项式除尽，则称,f,(,x,),为域,F,上的既约多项式或不可约多项式。,二、多项式环,注：由此定义,f,(,x,),是不可约多项式的充要条件为,f,(,x,),不能再分解为两个次数比,f,(,x,),的次数更低的多项式的乘积。,f,(,x,),是否可约与所讨论的域有很大关系，例如,f,(,x,)=3,x,2,+1,在实数域上是不可约的，但在复数域上可分解为,f,(,x,)=(,x,+,i,)(,x,-,i,),。但不论在哪一个域上，凡是一次首一多项式都是不可约多项式。,二、多项式环,定理,5.2.4,设,f,(,x,),和,g,(,x,),F,x,，,g,(,x,)0,，则存在多项式,q,(,x,),和,r,(,x,),F,x,，使得,f,(,x,)=,q,(,x,),g,(,x,)+,r,(,x,),其中,deg(,r,(,x,)deg(,g,(,x,),。,定理,5.2.5,域,F,的,多项式环,F,x,中,的每一个首一多项式必定可以分解为首一不可约多项式的乘积，并且当不考虑因式的顺序时，这种分解是唯一的。,第四节 整环中的因子分解,一、一些基本概念,二、唯一分解整环,一、一些基本概念,定义,5.3.1,设,D,是有单位元的整环，则,a,b,D,，,若,c=,ab,，则称,a,是,c,的因子，并称,a,可整除,c,，记作,a,|,c,。,若,a,|,b,且,b,|,a,，则称,a,与,b,相伴，记作,a,b,。,若,a,与,b,之积,ab,为单位元，则称,a,与,b,互为逆元，此时也称,a,与,b,皆为可逆元（或称,a,与,b,为单位）。,若,c=,ab,，且,a,与,b,都不是可逆元，则称,a,是,c,的真因子。,一、一些基本概念,例,5.3.1,整数环中两个整数相伴的充要条件为,这两个整数相等或只差一个负号；,在多项式环中两个多项式相伴的充要条件为,这两个多项式相差一个常数多项式；,高斯整数环,Z,i,中的可逆元为,1,，,i,，故两个高斯整数相伴的充要条件为,这两个高斯整数相差,1,或,i,，例如,-3+,i,1+3,i,。,一、一些基本概念,由定义,5.3.1,可得以下基本事实，其中集合,U,(,D,),表示整环,D,中的所有可逆元构成的集合：,由于,a,D,，均有,0=,a,0,，,a,=,a,1,，,因而任意元素都是,0,的因子，,而单位元,l,是任意元素的因子。,由于若,u,U,(,D,),，则,a,D,，均有,a=u,(,u,-1,a,),，因而可逆元是任意元素的因子。,由于,a,b,c,D,，若,a,|,b,且,b,|,c,，则,a,|,c,，因而整除关系满足传逆性。,一、一些基本概念,两元素相伴，则它们差一可逆元因子：,设,a,b,，则,a,|,b,且,b,|,a,，即存在元素,u,和,v,使得,b=,ua,，,a=,vb,，因而,b=,uvb,，由于,D,中有单位元且无零因子，因而由,b,(1-,uv,)=0,，即得,uv,=1,，所以,u,和,v,都是可逆元。,相伴关系是等价关系。,可逆元无真因子，且所有可逆元都与单位元,l,相伴：若,u,U,(,D,),，,u=,ab,，则,u,-1,ab,=,a,(,u,-1,b,)=(,u,-1,a,),b,=1,，,即,a,与,b,都是可逆元，因而可逆元无真因子；又,u,U,(,D,),，有,u,-1,u,=1,，而,u,-1,为可逆元，故由,4,）知,u,与,1,相伴。,一、一些基本概念,定义,5.3.2,设,D,是有单位元的整环，且,D,*,为,D,中的所有非零元构成的集合，则,a,b,D,，,p,D,*,U,(,D,),，若由等式,p=,ab,，可知,a,U,(,D,),，或,b,U,(,D,),，则称,p,是不可约元或既约元；若由,p|ab,，可知,p|a,或,p|b,，则称,p,是素元。,例,5.3.2,在多项式环中的既约元与素元均指,不可约多项式；,在整数环中，既约元与素元均是指,全体素数；,但在高斯整数环中，素数就不一定是既约元了，,例如，,2,是素数，且,2=(1+,i,)(1-,i,),，而高斯整数环中的可逆元只有,1,与,i,，故,1+,i,与,1-,i,均不是可逆元，故,2,在,Z,i,中不是既约元，显然也不是素元。,一、一些基本概念,定理,5.3.1,设,D,是有单位元的整环，则,D,中的素元必是既约元。,证明,：设,p,是素元且,p,=,ab,，则由,p,=,ab,可得,p,|,ab,，而由,p,是素元可得,p,|,a,或,p,|,b,。,若,p,|,a,，则由,p,=,ab,可得,a,|,p,，即,p,a,，因而,b,U,(,D,),。,若,p,|,b,，则由,p,=,ab,可得,a,|,p,，即,p,b,，因而,a,U,(,D,).,即,a,与,b,中总有一个可逆元，所以,p,是既约元。,一、一些基本概念,定义,5.3.3,设,D,是有单位元的整环，,a,b,D,，若存在,d,D,使得以下两个条件成立，则称,d,是,a,和,b,的最大公因子。,d|,a,，,d,|,b,；,d,D,，若,d,|,a,且,d,|,b,，则,d,|,d,。,引理,5.3.1,：,a,与,b,的任意两个最大公因子是相伴的。,证明,：若,d,是,a,与,b,的最大公因子，则,u,U,(,D,),，,u,d,也是,a,与,b,的最大公因子，即,a,与,b,的任意两个最大公因子是相伴的。,因而以下当,a,与,b,的最大公因子存在时，以,(,a,b,),表示,a,与,b,的任意一个最大公因子。,一、一些基本概念,引理,5.3.2,：,(,a,(,b,c,)(,a,b,),c,),。,证明,：设,d,l,=(,a,(,b,c,),，,d,2,=(,a,b,),c,),，则,d,l,|,a,且,d,l,|(,b,c,),，,进而,d,l,|,a,，,d,l,|,b,，,则,d,l,|(,a,b,),，,又,d,l,|,c,，因而,d,1,|(,a,b,),c,)=,d,2,，,类似,d,2,|,d,1,，所以,d,2,d,1,，即,(,a,(,b,c,)(,a,b,),c,),。,一、一些基本概念,引理,5.3.3,