人大微积分课件8-1多元函数的极限及连续性.ppt

一 预备知识,二 多元函数的概念,三 多元函数的极限,四 多元函数的连续性,第一节 多元函数,的,极限及连续性,1.邻域,设,是,平面上的一个点，,是某,一正数，与点,距离小于,的点,的全体，称为点,的,邻域，记为,，,的去心邻域,点,一、预备知识,2.内点,.,的内点,为,则称,的某一邻域,一个点如果存在点,是平面上的,是平面上的一个点集，,设,.,的内点属于,.,为开集,则称,的点都是内点，,如果点集,例如，,即为开集,3.边界,注,：,0,.,3,也可能不属于,的边界点可能属于,0,;,2,的外点必定不属于,1,0,;,的内点必属于,的边界点,为,），则称,可以不属于,，也,本身可以属于,的点（点,也有不属于,的点，,于,的任一个邻域内既有属,如果点,的边界,的边界点的全体称为,E,E,4.,连通集,5.,区域,连通的开集称为区域或开区域,开集,且该折线上的点都属于,是连通的,，则称,连结起来,，,任何两点，都可用折线,内,是开集如果对于,设,开区域连同它的边界一起称为闭区域,例如，,例如，,有界闭区域,；,无界开区域,6,有界点集、无界点集,无界点集,为有界点集，否则称为,则称,即,，,不超过,的距离,与,使任意的,，,如果存在正数,的某一定点,对于点集,例如，,7,n,维空间,设两点为,比如,：,当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,设,为取定的一个自然数，我们称,元数组,的全体为,维空间,，,而每个,元数,组,称为,维空间中的一个点，数,称为该点的第,个坐标,.,二、多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,设,D,是平面上的一个点集，如果对于每个点,D,y,x,P,),(,，变量,z,按照一定的法则总有确定的值,和它对应，则称,z,是变量,y,x,的二元函数，记为,),(,y,x,f,z,=,（或记为,),z,当,时,，,元函数统称为多元函数,.,多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念,1,多元函数的定义,解,所求定义域为,解,所求定义域为,例1,求 的定义域,例2,求 的定义域,2,二元函数 的图形,),(,y,x,f,z,=,设函数,),(,y,x,f,z,=,的定义域为,D,，对于任意,取定的,D,y,x,P,),(,，对应的函数值为,),(,y,x,f,z,=,，这样，以,x,为横坐标,、,y,为纵坐,标、,z,为竖坐标在空间就确定一点,),(,z,y,x,M,，,当,),(,y,x,取遍,D,上一切点时，得,到,一个空间点集,),(,),(,|,),(,D,y,x,y,x,f,z,z,y,x,=,，这个点集称,为二元函数的图形,.,说明：二元函数的图形通常是一张曲面,.,如二元函数的图形是以原点为球心，半径为的上半个球面；,而表示以坐标原点为顶点的上半个锥面,三、多元函数的极限,聚点,设,E,是平面上的一个点集,，,P,是平面上的,一个点，如果点,P,的任何一个邻域内总有无限,多个点属于点集,E,，,则称,P,为,E,的聚点,.,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点,例,(0,0),既是,边界点也是聚点,定义,1,设函数,),(,y,x,f,z,=,的定义域为,),(,0,0,0,y,x,P,D,是其聚点,，,如果对于任意给定的正,数,e,，,总存在正数,d,，,使得对于适合不等式,d,-,+,-,=,2,0,2,0,0,),(,),(,|,|,0,y,y,x,x,PP,的一切,点，都有,e,-,|,),(,|,A,y,x,f,成立，则称,A,为函数,),(,y,x,f,z,=,当,0,x,x,，,0,y,y,时的极限，,（,或,),0,(,),(,r,A,y,x,f,这里,|,|,0,PP,=,r,）,.,记为,说明：,（1,）定义中 的方式是任意的；,（2,）,二元函数的极限也叫二重极限,（,3,）,二元函数的极限运算法则与一元函数类似,证,例1,求证,当,时,原结论成立,证,例2,求证,当 时，,所以结论成立,证,其值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,例3,证明 不存在,取,（,2,）,令,),(,y,x,P,沿,kx,y,=,趋向于,),(,0,0,0,y,x,P,，,若,极限值与,k,有关，则可断言极限不存在,；,确定极限不存在的方法：,1,（,）,找两种不同趋近方式，使,存在，,但两者不相等，此时也可断言,),(,y,x,f,在点,),(,0,0,0,y,x,P,处极限不存在,1,定义,上连续,在,就称函数,的每一点都连续，那么,在,如果函数,D,D,y,x,f,),y,x,f,(,),(,四、多元函数的连续性,例4,讨论函数,在(0,0),处的连续性,解,当 时，,故函数在,(0,0),处连续,.,例5,讨论函数,在(0,0),的连续性,解,取,其值随,k,的不同而变化，,极限不存在,故函数在,(0,0),处不连续,设,0,P,是函数,),(,P,f,的定义域的聚点，如果,),(,P,f,在点,0,P,处不连续，则称,0,P,是函数,),(,P,f,的,间断点,.,2,间断点,函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：,（1,）函数在此点处无定义,；,（2,）函数在此点处有定义，但无极限,；,（,3,）,函数在此点处有定义，有极限，但极限,不等于函数值,注意,：,（,1,）多元函数的间断点有可能是一点，,也可能形成一条曲线；,（,2,）多元初等函数在其定义区域内是,连续函数定义区域是指包含在定,义域内的区域,一般地，求时，,如果是,初等函数，且是的定义域的内点则,在,点处连续，,于是,解,例6,求,函数的定义域,显然,故,例,解,例8,解,3,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，在,D,上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，如果在,D,上取得两个不同的函数值，则它在,D,上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1,）最大值和最小值定理,（2,）介值定理,