高数第8-1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,（1）邻域,一、多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是,边界点也是聚点,点集,E,的聚点可以属于,E，,也可以不属于,E,例如,(0,0),是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（,4,）,n,维空间,n,维空间的记号为,说明：,n,维空间中两点间距离公式,n,维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,从一元函数到二元函数,在内容和方法上,都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间,差异不大,.,因此研究多元函数时,将以二元函数,为主,.,（,5,）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,二元及二元以上的函,数统称为,多元函数定义域,定义域为,符合实际意义,的,自变量取值的全体,.,记为,函数 在点 处的函数值,或,类似,可定义,n,元函数.,多元函数.,实际问题中的函数,:,自变量取值的全体,.,纯数学问题的函数,:,定义域为使,运算有意义,的,例,1,求 的定义域,解,所求定义域为,（6）二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图,.,例如,右图球面,.,单值分支,:,二、多元函数的极限,说明：,（,1）定义中 的方式是任意的；,（,2）二元函数的极限也叫二重极限,（,3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,相同点,多元函数的极限与一元函数的极限的,一元函数,在某点的极限存在的充要,定义相同,.,差异为,必需是点,P,在定义域内以,任何方式和途径,趋,而,多元函数,于,P,0,时,相同点,和,差异,是什么,条件是,左右极限都,存在且相等,;,都有极限,且相等,.,例2,求证,证,当 时，,原结论成立,例3,求极限,解,其中,例4,证明 不存在,证,取,其值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,播放,确定极限,不存在,的方法：,利用点函数的形式有,三、多元函数的连续性,定义3,例5,讨论函数,在(0,0)处的连续性,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例6,讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随,k,的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，在,D,上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，如果在,D,上取得两个不同的函数值，则它在,D,上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,多元初等函数,：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫,多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域,是指包含在定义域内的区域或闭区域,例,解,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（,注意趋近方式的,任意性,）,四、小结,多元函数的定义,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,解答提示:,P11,题 2.,称为二次齐次函数.,P11,题 4.,P11,题 5(3).,定义域,P11,题 5(5).,定义域,P12,题 8.,间断点集,P72,题 3.,定义域,P72,题 4.,令,y=k x,，,若令,则,可见极限,不存在,不存在.,观察,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,