杆件内力及内力图的绘制(梁的内力).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,杆件的内力及内力图绘制,（梁的内力）,梁的概念,内力计算,剪力图和弯矩图的绘制。,内容提要,本 章 内 容,一、梁弯曲的概念,二、梁的内力,-,剪力和弯矩,三、剪力图和弯矩图,四、剪力图和弯矩图的规律作图,五、叠加法画弯矩图,一、梁弯曲的概念,构件的弯曲变形是工程中常见的，也是重要的基本变形。如,图,1,中桥式吊车梁、,图,2,中支架的横梁、,图,3,中的管道梁、,图,4,中的楼面梁等，都是工程中受弯曲的实例。,当杆件受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内受到外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形称为,弯曲变形,。发生弯曲变形或以弯曲变形为主的构件，通称为,梁,。,1.,弯曲的概念,图,1,图,2,图,3,图,4,工程中大多数的梁，其横截面都具有对称轴，,如图,5,所示,。对称轴与梁的轴线构成的平面称为纵向对称面,(,图,6,),。若作用在梁上的外力或外力偶都作用在纵向对称面内，且外力垂直于梁的轴线，则梁在变形时，其轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为,平面弯曲,。,2.,平面弯曲的概念,图,5,图,6,根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为,静定梁,和,超静定梁,。静定梁又可分为,单跨静定梁,和,多跨静定梁,。,单跨静定梁按支座情况可分,三种基本类型：,（,1,）简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为活动铰支座,(,图,7(a),。,（,2,）,外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外,(,图,7(b),。,（,3,）,悬臂梁梁的一端固定，另一端自由,(,图,7(c),。,3.,梁的类型,图,7,二、梁的内力,-,剪力和弯矩,图,8(a),为一简支梁，载荷,P,与支座反力,N,A,和,N,B,是作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面,m,m,上的内力。,梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个内力元素：,（,1,）,剪力,Q,相切于横截面的内力。剪力的作用线通过截面形心。,（,2,）,弯矩,M,作用面与横截面垂直的内力偶矩。,1.,剪力和弯矩,截面,m,m,上剪力,Q,的大小和方向以及弯矩,M,的大小和转向，可由右段梁的平衡方程确定,F,y,=0,，,N,B,-Q=0,Q=N,B,m,C,(F,)=0,，,N,B,x,-M=0,M=,N,B,x,根据作用力和反作用力的关系，分别以梁的左段和右段为研究对象求出的,Q,和,M,，大小是相等的，而方向或转向是相反的,(,图,8(b),、,(c),。,图,8,(1),剪力的正负号规定,正剪力：,截面上的剪力使研究对象作顺时针方向的转动,(,图,7(a,),；,负剪力,：截面上的剪力使研究对象作逆时针方向的转动,(,图,7(b,),。,(2),弯矩的正负号规定,正弯矩：,截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹下凸的形状,(,图,10(a,),；,负弯矩：,截面上的弯矩使该截面附近弯成上凸下凹的形状,(,图,10(b,),。,2.,剪力和弯矩和正负号规定,图,7,图,10,利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤如下：,（,1,）,计算支座反力。,（,2,）,用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一段为研究对象。,（,3,）,画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正方向假设。,（,4,）,建立平衡方程，求解剪力和弯矩。,3.,用截面法求指定截面的剪力和弯矩,【,例,1】,简支梁,如图,11(a),所示,。已知,P1=36kN,，,P2=30kN,，试求截面,I,I,上的剪力和弯矩。,【,解,】,(1),求支座反力,以整梁为研究对象，受力图,如图,11(a),。列平衡方程,由,m,A,(F,)=0,，,R,B,6-P,1,1-P,2,4=0,得,R,B,=,（,P,1,1+P,2,4,）,/6=26kN,由,m,B,(F,)=0,，,P,1,5+P,2,2-R,A,6=0,得,R,A,=(P,1,5+P,2,2)/6=40kN,(2),求截面,I-I,的内力,用,I-I,截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受力图,如图,11(b),。列平衡方程,由,F,y,=0,，,R,A,-P,1,-Q,1,=0,得,Q,1,=R,A,-P,1,=(40-36)kN=4kN,由,m,1,(F)=0,，,M,1,+P,1,1-R,A,2=0,得,M,1,=R,A,2-P,1,1,=(402-361)kNm=44kNm,计算结果,Q,1,、,M,1,为正，表明,Q,1,、,M,1,实际方向与图示假设方向相同，故为正剪力和正弯矩。,若取梁的右段为研究对象，受力图如图,11(c),所示。列平衡方程,由,F,y,=0,，,Q,1,+R,B,-P2=0,得,Q,1,=P,2,-R,B,=(30-26)kN=4kN,由,m,1,(F)=0,，,R,B,4-P,2,2-M1=0,得,M,1,=R,B,4-P,2,2=(264-302)kNm,=44kNm,可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得截面,I-I,的内力结果相同。,【例,2】,外伸梁受载荷作用,如图,12(a),所示,。图中截面,1-1,是指从右侧无限接近于支座,B,。试求截面,1-1,和截面,2-2,的剪力和弯矩。,【,解,】,(1),求支座反力,以整梁为研究对象，受力图,如图,12(a),。由平衡方程求解支座反力。,m,B,(F,)=0,，,R,C,a-P2a-Me=0,R,C,=(2Pa+Me)/a=,（,2Pa+Pa,）,/a=3P,m,C,(F,)=0,，,-,R,B,a,-Pa-Me=0,R,B,=(-Pa-Me)/a=(-Pa-Pa)/a=-2P,(2),求截面,1-1,的内力,用,1-1,截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受力图,如图,12(b),。由平衡方程求,Q,1,和,M,1,F,y,=0,，,R,B,-Q,1,=0,Q,1,=R,B,=-2P,m,1,(F)=0,，,M,1,-Me=0,M,1,=Me=Pa,计算结果,Q,1,为负，表明,Q,1,实际方向与图示假设方向相反，故为负剪力；,M,1,为正，表明,M,1,实际方向与图示假设方向相同，故为正弯矩。,(3),求截面,2-2,的内力,用,2-2,截面将梁假想地截开，取右段为研究对象，受力图,如图,12(c),。由平衡方程求,Q,2,和,M,2,Fy,=0,，,Q,2,-P=0,Q,2,=P(,正剪力,),m,2,(F)=0,，,-M,2,-Pa/2=0,M,2,=-Pa/2(,负弯矩,),图,11,图,12,图,12,图,12,(1),梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧,(,或右侧,),梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等于该截面左侧,(,或右侧,),梁上所有外力对于该截面形心之矩的代数和。,(2),外力对内力的符号规则,左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。,(3),代数和的正负，就是剪力或弯矩的正负。,4.,计算剪力和弯矩的规律,【,例,3】,简支梁受载荷作用,如图,13,所示,。已知集中力,P=1000N,，集中力偶,m=4kNm,，均布载荷,q=10kN/m,，试求,1-1,和,2-2,截面的剪力和弯矩。,【,解,】,(1),求支座反力,以整梁为研究对象，受力图,如图,13,所示,，由平衡方程求解支座反力。,m,B,(F,)=0,，,P750-R,A,1000-m+q500250=0,R,A,=(P750-m+q500250)/1000=-2000N,F,y,=0,，,R,A,-P-500q+R,B,=0,R,B,=P+500q-R,A,=8000N,(2),计算,1-1,截面的内力,利用计算剪力和弯矩的规律，由,1-1,截面左侧外力计算,Q,1,=R,A,=-2000N(,负剪力,),M,1,=R,A,200=-400Nm(,负弯矩,),(3),计算,2-2,截面的内力,利用计算剪力和弯矩的规律，由,2-2,截面的右侧外力计算,Q,2,=q0.4-R,B,=-4000N(,负剪力,),M,2,=R,B,0.4-q0.40.2=2400Nm(,正弯矩,),图,13,三、剪力图和弯矩图,若以横坐标,x,表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标,x,的函数，即,Q=,Q(x,),M=,M(x,),以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为,梁的剪力方程和弯矩方程,。,1.,剪力方程和弯矩方程,为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为,剪力图和弯矩图,。,剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，用平行于梁轴的横坐标,x,表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。,在土建工程中，习惯上将正剪力画在,x,轴上方，负剪力画在,x,轴的下方；正弯矩画在,x,轴下方，负弯矩画在,x,轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。,2.,剪力图和弯矩图,(1),求支座反力,以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，由静力平衡方程求出支座反力。,(2),将梁分段,以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。,(3),列出各段的剪力方程和弯矩方程,各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原点与坐标轴,x,的正向可视计算方便而定，不必一致。,3.,绘制剪力图和弯矩图的步骤,(4),画剪力图和弯矩图,先根据剪力方程,(,或弯矩方程,),判断剪力图,(,或弯矩图,),的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程,(,或弯矩方程,),计算其相应截面的剪力值,(,或弯矩值,),，然后描点并画出整个全梁的剪力图,(,或弯矩图,),。,剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩值，其相应的横截面称为,危险断面,。,【,例,7.4】,悬臂梁,如图,14(a),所示,，在自由端,B,处有集中力,P,作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。,【,解,】,(1),列剪力方程和弯矩方程,将坐标原点取在梁右端,B,点上，取距坐标原点为,x,的任意截面右侧梁为研究对象。利用计算剪力和弯矩的规律，列出剪力方程和弯矩方程分别为,Q(x,)=P(0 xl),M(x,)=-Px(0 xl),(2),画剪力图和弯矩图,剪力图是一条在,x,轴线上侧与,x,轴平行的直线，,如图,14(b),所示,。,从式,(b),可见，弯矩,M(x,),是,x,的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只需确定始末两个控制截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式,(b),x=0,，,M,A,=0,x=l,，,M,B,左,=-P,l,弯矩图,如图,14(c),所示,。,从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪力，其值为,Q,max,=P,；弯矩的最大值发生在固定端，其值为,M,max,=P,l,。最大剪力和最大弯矩指的是绝对值最大的剪力和弯矩。,【例,7.5】,简支梁,如图,15(a),所示,，受均布荷载,q,作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。,【,解,】,(1),求支座反力,由于载荷对称，支座反力也对称，有,R,A,=R,B,=ql/2,(2),列剪力方程和弯矩方程,坐标原点取在左端,A,点处，距原点,A,为,x,处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为,Q(x,)=R,A,-,qx,=ql/2-qx(0,x,l),M(x,)=R,A,x-qx,2,/2=ql/2x-qx,2,/2(0 xl),(3),画剪力图和弯矩图,由式,(a),可见，,Q(x,),是,x,的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式,(a),x=0,，,Q,A,右,=ql/2,x=l,，,Q,B,左,=-ql/2,剪力图如图,15(b),所示。,由式,(b),可见，,M(x,),是,x,的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式,(b),x=0,，,MA=0,x=l/2,，,MC=ql2/8,x=l,，,MB=0,弯矩图,如图,15(c),所示,。,从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为,Q,max,=ql/2,，最大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为,M,max,=ql,2,/8,。,【例,7.6】,简支梁受集中力,P,作用,如图,16(a),所示,，试画出梁的剪力图和弯矩图。,【,解,】,(1),求支座反力,以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。,m,B,(F,)=0,，,-,R,Al,+P,b,=0,R,A,=,P,b,/l,F,y,=0,，,R,A,+R,B,-P=0,R,B,=P,a,/l,(2),列剪力方程和弯矩方程,梁在,C,截面处有集中力,P,作用，,AC,段和,CB,段所受的外力不同，其剪力方程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端,A,为坐标原点,AC,段：,Q(x,)=R,A,=,Pb/l,(0 xa),M(x,)=,R,A,x,=Pb/lx(0 xa),CB,段：,Q(x,)=R,A,-P=-Pa/l(axb,，则在,CB,段任一截面上的剪力值都相等且比,AC,段的要大，其值,Q,max,=Pa/l,，最大弯矩发生在集中力,P,作用的截面上，其值,M,max,=,Pab/l,。,如果集中力,P,作用在梁的跨中，即,a=b=l/2,，则,Q,max,=P/2,M,max,=Pl/4,【,例,7.7】,简支梁受集中力偶,m,作用,如图,17(a),所示,，试画出梁的剪力图和弯矩图。,【,解,】,(1),求支座反力,以整梁为研究对象，由平衡方程得,m,B,(F,)=0,，,R,A,l-m,=0,R,A,=,m/l,m,A,(F,)=0,，,-,m-R,B,l,=0,R,B,=-,m/l,(2),列剪力方程和弯矩方程,梁在,C,截面处有集中力偶,m,作用，需分为,AC,段和,CB,段。取梁左端,A,为坐标原点,AC,段：,Q(x,)=R,A,=,m/l,(0,xa,),M(x,)=,R,A,x,=m/lx(0 xa),CB,段：,Q(x,)=R,A,=,m/l,(,ax,l),M(x,)=,R,A,x-m,=,m/lx-m(a,xl,),(3),画剪力图,从式,(a),和式,(c),可知，,AC,段和,CB,段的剪力为常数,m/l,，剪力图是一条在,x,轴线上侧与,x,轴平行的直线。剪力图,如图,17(b),所示,。,【,例,7.8】,外伸梁受荷载作用,如图,18(a),所示,，试画出梁的剪力图和弯矩图。,【,解,】,(1),求支座反力,以整梁为研究对象，由平衡方程得,m,B,(F,)=0,，,q6aa-R,A,4a=0,R,A,=1.5qa,m,A,(F,)=0,，,R,B,4a-q6a3a=0,R,B,=4.5qa,(2),列剪力方程和弯矩方程,梁在,B,截面处有支座反力,RB,作用，需分为,AB,段和,BC,段。,AB,段：坐标原点取在左端,A,点处，距原点,A,为,x,1,处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为,Q(x,1,)=R,A,qx,1,=1.5qa-qx,1,(0 x,1,4a),M(x,1,)=R,A,x,1,-qx,2,1/2=3qa/2x,1,-q/2x,1,2,(0 x,1,4a),BC,段：坐标原点取在右端,C,点处，距原点,C,为,x,2,处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为,Q(x,2,)=qx,2,(0 x,2,2a),M(x,2,)=-qx,2,2,/2(0 x,2,2a),(3),画剪力图,从式,(a),可知，,AB,段的剪力,Q(x,1,),是,x,1,的一次函数，剪力图是一条斜直线，由式,(a),x,1,=4a,，,Q,B,左,=-2.5qa,从式,(c),可知，,BC,段的剪力,Q(x,2,),是,x,2,的一次函数，剪力图也是一条斜直线，由式,(c),x,2,=0,，,Q,C,=0,x,2,=2a,，,Q,B,右,=2qa,画出剪力图,如图,18(b),所示,。,(4),画弯矩图,从式,(b),可知，,AB,段的弯矩,M(x,1,),是,x,1,的二次函数，弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定,A,截面、,B,截面和极值弯矩截面三个控制截面上的弯矩值，才能画出弯矩图。由式,(b),x,1,=0,，,M,A,=0,x,1,=4a,，,M,B,=-2qa,2,为计算,AB,段的极值弯矩，首先要确定产生极值弯矩截面的位置。由例,7.5,知，在剪力为零的截面有弯矩的极值，令,Q(x1)=0,，有,1.5qa-qx,1,=0,得,x1=1.5a,即距离原点,A,为,1.5a,处的截面上剪力为零，该截面上有极值弯矩。将,x,1,=1.5a,代入式,(b),M,x1,=1.5a=1.5qa1.5a-q/2(1.5a),2,=1.125qa,2,从式,(d),可知，,BC,段的弯矩,M(x,2,),是,x,2,的二次函数，弯矩图也是一条二次抛物线，由式,(d),x,2,=0,，,M,C,=0,x,2,=2a,，,M,B,=-2qa,2,画出弯矩图,如图,18(c),所示,。,图,14,图,14,图,15,图,15,图,16,图,16,图,17,图,17,图,17,图,18,图,18,图,18,四、剪力图和弯矩图的规律作图,(1),梁上没有均布荷载作用的一段,剪力图为一条水平线，弯矩图为一条斜直线。,(2),梁上有均布荷载作用的一段,剪力图为一条斜直线，若均布荷载指向向上，其斜率为正，即由左下向右上倾斜,(/),；若均布荷载指向向下，其斜率为负，即由左上向右下倾斜,(,),。弯矩图是一条抛物线，抛物线的凸向与均布荷载的指向相同。,7.4.1,剪力图和弯矩图的规律,(3),梁上集中力作用的截面,剪力图发生突变，突变量的绝对值等于集中力的大小。若从左向右作图，突变的方向与集中力方向相同；若从右向左作图，突变的方向与集中力方向相反。弯矩图发生转折。,(4),梁上集中力偶作用的截面,剪力图不变。弯矩图发生突变，突变量的绝对值等于集中力偶的力偶矩。,(5),绝对值最大的弯矩出现在下述截面：,均布荷载作用段内,Q=0,的截面；,集中力作用的截面；,集中力偶作用处的左右截面。,其作图步骤如下：,(1),求支座反力,以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，由静力平衡方程求出支座反力。,(2),梁的分段和分截面,梁的分段原则与列剪力方程和弯矩方程的分段相同，即以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。,7.4.2,利用内力图的规律作剪力图和弯矩图,分截面原则：,对于剪力图，在集中力作用的截面上发生突变，需将集中力作用的截面分出来；对于弯矩图，在集中力偶作用的截面上发生突变，需将集中力偶作用的截面分出来。,(3),画剪力图和弯矩图,按照作图方向截面和分段出现的先后顺序，利用剪力图和弯矩图的规律，再结合剪力和弯矩的规律计算各控制截面上的剪力值和弯矩值，依次就可以简捷地画出剪力图和弯矩图。,【,例,7.7】,如图,17(a),所示,的外伸梁，试画出该梁的剪力图和弯矩图。,【,解,】,(1),求支座反力,以整梁为研究对象，由平衡方程得,m,A,(F,)=0,，,R,B,4a+qa5a-q4a2a=0,R,B,=3/4qa,m,B,(F,)=0,，,q4a2a+qaa-R,A,4a=0,R,A,=7/4qa,(2),画剪力图,了从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为,A,截面、,AB,段、,B,截面、,BC,段和,C,截面。,A,截面：有向上的集中力,R,A,作用，,Q,图向上突变,R,A,=7/4qa,。,Q,A,右,=0+7/4qa=7/4qa,AB,段：有向下的均布荷载,q,作用，,Q,图为一条斜直线,(,),，需确定,Q,A,右,和,Q,B,左,。,Q,B,左,=R,A,-q4a=-7/4qa,B,截面：有向上的集中力,R,B,作用，,Q,图向上突变,R,B,=3/4qa,。,Q,B,右,=-7/4qa+3/4qa=-,qa,BC,段：没有均布荷载作用，,Q,图为一条水平线。,Q,C,左,=Q,B,右,=-,qa,BC,段：没有均布荷载作用，,Q,图为一条水平线。,Q,C,左,=Q,B,右,=-,qa,C,截面：有向上的集中力,qa,作用，,Q,图向上突变,qa,，回到,x,轴线上。,画出的剪力图,如图,17(b),所示,。,(3),画弯矩图,从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为,AB,段和,BC,段。,AB,段：有向下的均布荷载,q,作用，,M,图为一条下凸的二次抛物线。由于该段内有,Q=0,的截面，需确定,M,A,、,MB,和极值弯矩。,M,A,=0,M,B,=,qaa,=qa,2,为计算极值弯矩，首先确定,Q=0,的截面位置，距离左端,A,为,x,的任意截面,Q(x,)=R,A,-,qx,，令,Q(x,)=0,，有,7/4qa-qx=0,得,x=7/4a,该截面上的弯矩，即为极值弯矩，其值,M,x,=7/4a=R,A,x-qx,2,/2=81/32qa,2,BC,段：没有均布荷载作用，,M,图是一条斜直线，需确定,M,B,和,M,C,。,M,C,=0,画出的弯矩图,如图,17(c),所示,。,【例,7.10】,如图,20(a),所示,的简支梁，试画出该梁的剪力图和弯矩图。,【,解,】,(1),求支座反力,以整梁为研究对象，由平衡方程得,m,A,(F,)=0,，,R,B,8+m-P2-q46=0,R,B,=30kN,m,B,(F,)=0,，,P6+m+q42-R,A,8=0,R,A,=30kN,(2),画剪力图,从左向右作图，全梁分为,A,截面、,AC,段、,C,截面、,CD,段、,DB,段和,B,截面。,Q,A,右,=(0+30)kN=30kN,AC,段：没有均布荷载作用，,Q,图为一条水平线。,Q,C,左,=Q,A,右,=30kN,C,截面：有向下的集中力,P,作用，,Q,图向下突变,P=20kN,。,Q,C,右,=(30-20)kN=10kN,CD,段：没有均布荷载作用，,Q,图为一条水平线。,Q,D,=Q,C,右,=10kN,DB,段：有向下的均布荷载,q,作用，,Q,图为一条斜直线,(,),，需确定,Q,D,和,Q,B,左,。,Q,B,左,=-R,B,=-30kN,B,截面：有向上的集中力,R,B,作用，,Q,图向上突变,R,B,=30kN,，回到,x,轴线上。,画出的剪力图,如图,20(b),所示,。,(3),画弯矩图,从左向右作图，全梁分为,AC,段、,CD,段、,D,截面和,DB,段。,AC,段：没有均布荷载作用，,M,图是一条斜直线，需确定,M,A,和,M,C,。,M,A,=0,M,C,=R,A,2=302kNm=60kNm,CD,段：没有均布荷载作用，,M,图是一条斜直线，需确定,M,C,和,M,D,左。,M,D,左,=RA4-P2=(304-202)kNm=80kNm,D,截面：有逆时针方向的集中力偶,m,作用，,M,图向上突变,m=40kNm,。,M,D,右,=M,D,左,-m=(80-40)kNm=40kNm,DB,段：有向下的均布荷载,q,作用，,M,图为一条下凸的二次抛物线。由于该段内有,Q=0,的截面，需确定,M,D,右,、,M,B,和极值弯矩。,M,B,=0,为计算极值弯矩，首先确定,Q=0,的截面位置。设,E,截面的剪力,Q=0,，由,Q,图中相似三角形的比例关系有：,1030=DEEB,，得,EB=3m,E,截面上的弯矩，即为极值弯矩，其值,M,E,=R,B,3-q31.5=(303-1031.5)kNm,=45kNm,画出的弯矩图,如图,20(c),所示,。,图,17,图,17,图,17,图,20,图,20,图,20,五、叠加法画弯矩图,在,图,21(a),、,(b),、,(c),分别画出了同一根梁,AB,受集中力,P,和均布荷载,q,共同作用、集中力,P,单独作用和均布荷载,q,单独作用等三种受力情况。,(1),在,P,、,q,共同作用时,Q(x,)=-P-,qx,M(x,)=-Px-1/2qx,2,7.5.1,叠加原理,(2),在,P,单独作用时,Q,P,(x,)=-P,M,P,(x,)=-,Px,(3),在,q,单独作用时,Q,q,(x,)=-,qx,M,q,(x,)=-1/2qx,2,当要求梁某一指定截面,(,即,x,等于某一常数时,),的内力时，上述各式的剪力和弯矩与荷载均为线性关系。,比较上面三种情况的计算结果有：,Q(x,)=,Q,P,(x)+Q,q,(x,),M(x,)=,M,P,(x)+M,q,(x,),即在,P,、,q,共同作用时所产生的内力,Q(,或,M),等于,P,与,q,单独作用时所产生的内力,Q,P,、,Q,q,(,或,M,P,、,M,q,),的代数和。,如果需要确定的某一参数与荷载成线性关系，则由,n,个荷载共同作用时所引起的某一参数,(,反力、内力、应力、变形,),等于各个荷载单独作用时所引起的该参数值的代数和。这个结论称为,叠加原理,。,图,21,根据叠加原理来绘制内力图的方法称为叠加法。,用叠加法画弯矩图，绘图时先把作用在梁上的复杂的荷载分成几组简单的荷载，分别作出各简单荷载单独作用下的弯矩图，然后将它们相应的纵坐标叠加，就得到梁在复杂荷载作用下的弯矩图。例如,图,21(a),、,(b),、,(c),所示。,用叠加法画弯矩图时，一般先画直线形的弯矩图，再叠画上曲线形的弯矩图。,7.5.2,叠加法画弯矩图,【,例,7.11】,简支梁受荷载,P,和,q,作用,如图,22(a),所示,。试用叠加法画梁的弯矩图。,【,解,】,将作用在梁上的荷载分为,P,与,q,两组。,先分别画出,P,、,q,单独作用下的弯矩图，,如图,22(b),、,(c),所示,。然后将这两个弯矩图的相应纵坐标叠加起来，,如图,22(a),所示,，就是简支梁在集中荷载,P,和均布荷载,q,共同作用下的弯矩图。,【,例,7.12】,外伸梁受荷载作用,如图,23(a),所示,，试用叠加法画梁的弯矩图。,【,解,】,将荷载分为,q,与,P,两组。,先分别画出,q,、,P,单独作用下的弯矩图，,如图,23(b),、,(c),所示,。由于荷载,q,与,P,单独作用时弯矩图有不同的正负号，叠加时可以先画直线弯矩图，再叠画上曲线弯矩图，,如图,23(a),所示,，使两图相互重叠部分正值和负值的纵坐标互相抵消，则剩下的部分就是外伸梁在荷载,q,和,P,共同作用下的弯矩图。,图,22,图,23,