第五节数列求和.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节数列求和,基础梳理,数列求和的常用方法,(1),公式法,直接用等差、等比数列的求和公式,掌握一些常见的数列的前,n,项和,1,2,3,n,_,；,1,3,5,(2,n,1),_.,n,2,(2),倒序相加法,如果一个数列,a,n,，与首末两端等“距离”的两项的,和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前,n,项,和就可用倒序相加法，如,_,数列的前,n,项和就,是用此法推导的,等差,(3),错位相减法,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的,对应项之积构成的，那么这个数列的前,n,项和即可用此法,来求，如,_,数列的前,n,项和就是用此法推导的,等比,(4),裂项相消法,把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可,以相互抵消，从而求得其和,常见的拆项公式有：,_,；,_,；,_.,(5),分组求和法,有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类,数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数,列，即先分别求和，然后再合并，形如：,a,n,b,n,，其中,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列；,a,n,基础达标,(,原创题,),数列,1,0,，,3,，,，,n,2,2,n,，,的前,n,项和为,_,解析：,S,n,1,0,(,3),n,2,2,n,(3,2),(4,4),(5,8),(,n,2,2,n,),(3,4,5,n,2),(2,4,8,2,n,),n,(,n,5),2,n,1,2.,2.(,必修,5P,40,引例改编,),若,x,1,x,2,1,，且,f,(,x,1,),f,(,x,2,),则,f,f,f,_.,解析：,x,1,x,2,1,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,),又,令,S,S,2,S,(,n,1),S,3.(,必修,5P,62,复习题,7,改编,),数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,a,n,则,S,5,_.,解析：,a,n,S,5,4.(,必修,5P,54,例,3,改编,),_.(,x,0,，,y,1,，,x,1),解析：,x,0,，,x,1,，,y,1,，,5.(,必修,5P,58,习题,6,改编,),求数列,1,3,a,5,a,2,7,a,3,，,，,(2,n,1),a,n,1,，,(,a,0),的前,n,项和,解析：当,a,1,时，数列变为,1,3,5,7,，,，,(2,n,1),，,，,S,n,1,3,5,7,(2,n,1),当,a,1,时，有,S,n,1,3,a,5,a,2,7,a,3,(2,n,1),a,n,1,，,aS,n,a,3,a,2,5,a,3,7,a,4,(2,n,1),a,n,，,令,，得,S,n,aS,n,1,2,a,2,a,2,2,a,3,2,a,4,2,a,n,1,(2,n,1),a,n,，,即,(1,a,),S,n,1,2,(2,n,1),a,n,.,1,a,0,，,S,n,经典例题,题型一利用错位相减法求和,【,例,1,】,(2011,扬州中学高三上学期期中考试,),已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,n,2,2,n,，设数列,b,n,满足,a,n,log,2,b,n,.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),求数列,b,n,的前,n,项和,T,n,;,(3),设,G,n,a,1,b,1,a,2,b,2,a,n,b,n,，求,G,n,.,分析,(1),由,S,n,与,a,n,的关系求出,a,n,的通项公式；,(2),可证数列,b,n,是等比数列，直接用等比数列的前,n,项和公式,求解；,(3),由,G,n,a,1,b,1,a,2,b,2,a,n,b,n,的特点可知，应用错位相,减法求和,解：,(1),S,n,n,2,2,n,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,2,n,1,；当,n,1,时，,a,1,S,1,3,，,也满足上式，,综上所述，,a,n,2,n,1.,(2),由,a,n,log,2,b,n,得,b,n,2,a,n,2,2,n,1,，,数列,b,n,是等比数列，其中,b,1,8,，,q,4.,T,n,2,3,2,5,2,2,n,1,(3),G,n,3,2,3,5,2,5,(2,n,1),2,2,n,1,，,4,G,n,3,2,5,5,2,7,(2,n,1),2,2,n,1,(2,n,1),2,2,n,3,，,两式相减得：,3,G,n,3,2,3,(2,2,5,2,2,7,2,2,2,n,1,),(2,n,1),2,2,n,3,；,24,(2,n,1),2,2,n,3,即,3,G,n,24,(2,6,2,8,2,2,n,2,),(2,n,1)2,2,n,3,变式,1,1,(2010,四川,),已知等差数列,a,n,的前,3,项和为,6,，前,8,项和为,4.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),设,b,n,(4,a,n,),q,n,1,(,q,0,，,n,N,*,),，求数列,b,n,的前,n,项和,S,n,.,解析：,(1),设,a,n,的公差为,d,，由已知得,解得,a,1,3,，,d,1.,故,a,n,3,(,n,1),4,n,.,(2),由,(1),的解答可得，,b,n,n,q,n,1,，于是,S,n,1,q,0,2,q,1,3,q,2,n,q,n,1,，,若,q,1,，将上式两边同乘以,q,有,qS,n,1,q,1,2,q,2,(,n,1),q,n,1,n,q,n,，,两式相减得,(,q,1),S,n,nq,n,1,q,1,q,2,q,n,1,nq,n,于是,S,n,若,q,1,，则,S,n,1,2,3,n,所以,S,n,题型二利用裂项相消法求和,【,例,2,】,(2010,山东,),已知等差数列,a,n,满足：,a,3,7,，,a,5,a,7,26,，,a,n,的前,n,项和为,S,n,.,(1),求,a,n,及,S,n,；,(2),令,b,n,(,n,N,*,),，求数列,b,n,的前,n,项和,T,n,.,分析本题考查等差数列的通项公式与前,n,项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟悉数列的基础知识是解答好本题的关键,解：,(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,，因为,a,3,7,，,a,5,a,7,26,，,所以有,解得,a,1,3,，,d,2,，,所以,a,n,3,2(,n,1),2,n,1,；,S,n,3,n,2,n,2,2,n,.,(2),由,(1),知,a,n,2,n,1,，所以,b,n,所以,T,n,变式,2,1,已知在等比数列,a,n,中，,a,1,2,，公比,q,2,，又在等差数,列,b,n,中，,b,2,a,1,，,b,8,a,3,.,(1),求数列,b,n,的通项公式,b,n,及前,n,项和,S,n,；,(2),若,c,n,求数列,c,n,的前,n,项和,T,n,.,解析：,(1),由已知,a,3,a,1,q,2,8,，,则,设,b,n,的首项为,b,1,，,公差为,d,，,则,解得,b,1,1,，,d,1,，,故,b,n,1,(,n,1),1,n,，,S,n,n,1,1,(2),由,(1),知,c,n,T,n,c,1,c,2,c,n,2,题型三倒序相加法求和,的图象上有两点,P,1,(,x,1,，,y,1,),，,【,例,3】,设函数,f,(,x,),P,2,(,x,2,，,y,2,),，若,P,为,P,1,P,2,的,中点，且,P,点的横坐标为,(1),求证：,P,点的纵坐标为定值，并求出这个值；,(2),求,的值,分析,(1),由已知函数图象上两点,P,1,，,P,2,，可得,设,P,(,x,，,y,),，根据中点坐标公,式去求,y,(2),根据,(1),的结论：若,x,1,x,2,1,，则由,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,，,可以得到,利用倒序相加法求解,解：,(1),点,P,为,P,1,P,2,的中点，,x,1,x,2,1,，,y,P,又,y,1,y,2,y,P,(2),由,x,1,x,2,1,，得,y,1,y,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,，,f,(1),设,S,n,又,S,n,2,S,n,2,f,(1),n,2,即,S,n,变式,3,1,如果函数,f,(,x,),满足：对任意的实数,m,、,n,都有,f,(,m,),f,(,n,),f,(,m,n,),且,f,(1005),2,，求,f,(2),f,(4),f,(6),f,(2008),的值,解析：由,f,(,x,),对任意实数,m,、,n,都有,f,(,m,),f,(,n,),f,(,m,n,),，得,f,(1005),f,(1005),f,(2010),2,2,4,；,f,(2),f,(2008),f,(2010),4,；,f,(1004),f,(1006),4.,令,S,f,(2),f,(4),f,(6),f,(2008),，,又,S,f,(2008),f,(2006),f,(2),，,所以,2,S,f,(2),f,(2008),f,(4),f,(2006),f,(2008),f,(2),41 004,4016,，故,S,4016,2008.,题型四分组法求和,【,例,4,】,(2011,南京师大附中模拟,),各项均为正数的数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,S,n,a,n,2,a,n,(,n,N,*,),(1),求,a,n,的通项公式；,(2),令,b,n,c,n,b,2,n,4,(,n,N,*,),，求,c,n,的前,n,项和,T,n,.,分析,(1),根据,a,n,与,S,n,的关系求解,(2),n,3,时，,c,n,2,n,1,2,，故求,c,n,的前,n,项和使用分组法求和,解：,(1),a,1,S,1,a,1,a,1,0,，,a,1,0,，,a,1,2,；,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,a,n,a,n,1,，,(,a,n,a,n,1,),0,，即,(,a,n,a,n,1,)(,a,n,a,n,1,2),0,a,n,0,，,a,n,a,n,1,2,，,a,n,为等差数列，,a,n,2,n,(,n,N,*,),(2),c,1,b,6,b,3,a,3,6,，,c,2,b,8,b,4,b,2,b,1,a,1,2,，,n,3,时，,c,n,b,2,n,4,b,2,n,1,2,b,2,n,2,1,a,2,n,2,1,2,n,1,2,，,此时，,T,n,8,(2,2,2),(2,3,2),(2,n,1,2),2,n,2,n,；,T,n,变式,4,1,求和：,S,n,解析：当,x,1,时，,当,x,1,时，,S,n,4,n,.,链接高考,(2010,重庆,),已知,a,n,是首项为,19,，公差为,2,的等,差数列，,S,n,为,a,n,的前,n,项和,(1),求通项,a,n,及,S,n,；,(2),设,b,n,a,n,是首项为,1,，公比为,3,的等比数列，求,数列,b,n,的通项公式及其前,n,项和,T,n,.,知识准备：,1.,要熟悉等差数列、等比数列的通,项公式与前,n,项和公式；,2.,熟悉数列求和的分组法求和,(1),因为,a,n,是首项为,a,1,19,，公差,d,2,的等差数列，,所以,a,n,19,2(,n,1),2,n,21,，,S,n,19,n,(,2),n,2,20,n,.,(2),由题意,b,n,a,n,3,n,1,，所以,b,n,3,n,1,2,n,21,，所以,T,n,S,n,(1,3,3,n,1,),n,2,20,n,