高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.1.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,*,第五章 二次型,5.1,二次型的矩阵表示,5.2,标准形,5.3,唯一性,5.,4,正定二次型,章小结与习题,1/30/2026,数学与计算科学学院,一、,n,元二次型,二、非退化线性替换,三、矩阵的合同,四、小结,5.1,二次型的矩阵表示,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,解析几何中,选择适当角度,逆时针旋转坐标轴,(,标准方程,),中心与坐标原点重合的有心二次曲线,问题的引入,:,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,代数观点下,作适当的非退化线性替换,只含平方项的多项式,二次齐次多项式,(,标准形,),1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,一、,n,元二次型,1,、定义,：,设,P,为数域，,称为数域,P,上的一个,n,元二次型,n,个文字 的二次齐次多项式,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,注意,2),式,也可写成,1),为了计算和讨论的方便,式,中 的系数,写成,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,1,）,约定,中,a,ij,=,a,ji,，,ij,，,由,x,i,x,j,x,j,x,i,，,有,2,、二次型的矩阵表示,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,则矩阵,A,称为,二次型 的矩阵,.,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,于是有,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,注意,:,2,）,二次型与它的矩阵相互唯一确定，即,正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具,.,若,且,，则,1,）,二次型的矩阵总是对称矩阵,即,（这表明在选定文字下，二次型,完全由对称矩阵,A,决定,.),1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,例,1,1,）实数域,R,上的,2,元二次型,3,）,复数域,C,上的,4,元二次型,它们的矩阵分别是：,2,）,实数域,R,上的,3,元二次型,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,二、非退化线性替换,1,、定义,：,是,两组文字,，关系式,称为由,的一个,线性替换,;,若系数行列式,|c,ij,|,0,则称,为,非退化线性替换,.,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,.,0,它是非退化的,.,系数行列式,例,2,解析几何中的坐标轴按逆时针方向,旋转解角度,即变换,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,2,、,线性替换的矩阵表示,则,可表示为,X=CY,若,|C|,0,，,则,为非退化线性替换,.,注,1,）,或,为非退化的,为可逆矩阵,.,2,）若,X,CY,为非退化线性替换,，,则有非退化线性替换,.,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,即，,B,为对称矩阵,.,3,、二次型经过非退化线性替换仍为二次型,事实上，,是一个 二次型,.,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,三、矩阵的合同,1,）,合同具有,对称性：,传递性,:,即,C,1,C,2,可逆,.,反身性,:,注,:,1,、定义,：,设 ，若存在可逆矩阵,使 ，则称,A,与,B,合同,.,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,3,）,与对称矩阵合同的矩阵是,对称矩阵,.,2,）,合同矩阵具有,相同的秩,.,2,、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与,A,与,B,合同,.,二次型,X,AX,可经非退化线性替换化为二次型,YBY,进而，有,:,C,可逆,原二次型矩阵是合同的,.,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,例,2,证明：矩阵,A,与,B,合同，其中,一个排列,.,证：作二次型,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,故矩阵,A,与,B,合同,.,对作非退化线性替换,则二次型化为（注意,的系数为）,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,练习,写出下列二次型的矩阵,其中,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,答案,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,-,-,4.,解：,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,四、小结,n,元二次型,：,非退化线性替换：,，或,X=CY,，,|,C,|,0.,基本概念,矩阵的合同：,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,基本结论,1,、二次型经过非退化线性替换仍为二次型,.,3,、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性,.,2,、,二次型,X,AX,可经非退化线性替换化为二型,Y,BY,1/30/2026,5.1,二次型的矩阵表示,数学与计算科学学院,