高等数学多元函数的概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7.2,多元函数的概念,一、平面区域,1,邻域,设 是 的一个点,是某一正数,.,与点 距离小于,的点 的全体称为点 的,邻域,简称,邻域,记为,即,的几何意义为,xOy,平面上以点,为中心,半径为,的圆的内部所有点,的全体,.,中除去点,后剩余的,部分称为点 的,去心,邻域,.,记为,如果点,P,的任一邻域内既有属于,E,的点，也有不属于,E,的点，则称,P,点为,E,的边界点,E,的边界点的全体，称为,E,的边界，记作,E,.,2.,区域,设,E,是平面上的一个点集，,P,是平面上的任意一点,.,如果存在点,P,的某一邻域,U,(,P,),，使得 则称,P,为,E,的内点。,说明：,内点一定是聚点；,边界点可能是聚点；,例,(0,0),既是边界点也是聚点,点集,E,的聚点可以属于,E,，,也可以不属于,E,例如,(0,0),是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,如果点集,E,中的每一点都是内点，且,E,中任何两点可用全在,E,内的折线连结起来，则称,E,为开区域,(,简称区域,).,例如，,例如，,若区域,E,包含在某个圆内，则称,E,为有界区域；否则，称为无界区域,.,有界闭区域；,为无界开区域,例如，,二,.,多元函数的基本概念,定义,1,设,是一个,是平面上的一个非空点集,对应法则,如果对于每个点,都可由对应法,则,得到惟一的实数,与之对应,则称,是变量,的二元函数,记为,例,1,设圆柱体的底面半径为,高为,则圆柱体体,积,.,这是一个以,为自变量,为因变量,的二元函数,.,根据问题的实际意义,函数的定义域为,值域为,例,2,求二元函数,的定义域,.,解,由,可得定义域为,例,3,已知函数,求,.,解,所以,.,注,:,该方法主要是把右边的式子都,凑,成 里面的两个量,.,三,.,二元函数的极限,定义,2,设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，如果当点 无限趋于 点 时，函数 无限趋于一个常数,A,，则称,A,为函数 当 时的,极限,.,记为,或,例,4.,求,.,解,根据二重极限的定义，需要特别注意以下两点：,(1),二重极限存在，是指 以任何方式趋于 时，函数都无限接近于,A,.,(2),如果当,以两种不同方式趋于 时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在,.,例,5,证明 不存在,证,取,其值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,确定极限,不存在,的方法：,四,.,二元函数的连续性,定义,3,设二元函数 在点 的某一邻域内有定义，如果,则称 在点 处,连续,并称点 为连续点,.,如果函数 在点 处不连续，则称函数 在 处,间断,称点 为,间断点,.,例,6,讨论点 是否为函数,的连续点,.,解,由于,且,故,在,处连续,.,与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数,.,由,x,和,y,的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为,二元初等函数,.,例如，,都是二元初等函数,.,一切二元初等函数在其定义区域内是连续的,.,例,7.,求,解,因初等函数 在,(0,1),处连续,故有,例,8,求,解,二元函数的性质,:,性质,1,（,最大值和最小值定理,）在有界闭区域,D,上的二元连续函数，在,D,上至少取得它的最大值和最小值各一次,.,性质,2,（,有界性定理,）在有界闭区域,D,上的二元连续函数在,D,上一定有界,.,性质,3,（,介值定理,）在有界闭区域,D,上的二元连续函数，若在,D,上取得两个不同的函数值，则它在,D,上取得介于这两值之间的任何值至少一次,.,练 习 题,练习题答案,