二元函数泰勒展开.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,10.,4,二元函数的泰勒公式,就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似计算外,又为建立极值判别准则作好了准备,.,三、极值问题,一、高阶偏导数,二、中值定理和泰勒公式,一、高阶偏导数,如果它们关于,x,与,y,的偏导数也,导数有如下四种形式,:,存在,说明,具有,二阶偏导数,二元函数的二阶偏,类似地可以定义更高阶的偏导数,例如,的三阶偏导数共有八种情形,:,解,由于,例,1,因此有,数为,例,2,注意,在上面两个例子中都有,数为,混合偏导数,).,但是这个结论并不对任何函数都,成立，例如函数,它的一阶偏导数为,数相等,(,称这种既有关于,x,又有关于,y,的高阶偏导,的混合偏导数,:,由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关,.,那么,在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢,?,为此,式,.,由于,因此有,类似地有,这两个累次极限相等,.,下述定理给出了使,(1),与,(2),相等的一个充分条件,连续，则,证,令,于是有,(4),(3),由,(4),则有,(5),如果令,则有,用前面相同的方法,又可得到,(6),在且相等，这就得到所要证明的,(3),式,合偏导数都与求导顺序无关,注,2,这个定理对,n,元函数的混合偏导数也成立,.,例,由定理假设,都在点,连,续,故当,时,(7),式两边极限都存,如三元函数,的如下六个三阶混合偏导数,若在某一点都连续，则它们在这一点都相等,今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般,都假设相应阶数的混合偏导数连续,复合函数的高阶偏导数,设,数,同样存在二阶连续,偏导数,.,具体计算如下,:,同理可得,例,3,改写成如下形式,:,由复合函数求导公式，有,自变量的复合函数所以,二、中值定理和泰勒公式,二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉,也有相同的公式，只是形式上更复杂一些,先介绍凸区域,若区域,D,上任意两点的连线都含于,D,则称,D,为凸区域,(,图,10.3-6).,这就是说,若,D,为,一切,恒有,上连续,在,D,的所有内点都可微,则对,D,内任意两,定理,8,(,中值定理,),设,在凸区域,图,10.3-6,凸,非凸,的一元连续函数,且在,(0,1),内可微,.,根据一元函数,其中,中值定理，,，使得,(10),(9),(10),两式即得所要证明的,(8),式,注,若,D,为严格,凸区域，即,，都有,式成立,(,为什么,?),公式,(8),也称为二元函数,(,在凸域上,),的中值公式,.,它与定理,17.3,的中值公式,(12),相比较,差别在于这,请读者作为练习自行证明此推论,分析,将上式改写成,例,4,对,应用微分中值定,理，证明存在某个,之间应用微分中值定理,计算偏导数,:,证,首先,当,有,再,定理,9,(,泰勒定理,),若,在点,内任一点,内有直到,阶的连续偏导数,则对,其中,证,类似于定理,8,的证明，先引入辅助函数,(11),式称为,的,n,阶泰勒公式,并称其中,而首项,也可看作,的情形,.,件，于是有,由假设，,上满足一元函数泰勒公式的条,应用复合求导法则,可求得,的各阶导数如下,:,(12),公式,(11),将,(13),(14),两式代入,(12),式,就得到所求之泰勒,时的特殊情形,.,此时的,n,阶泰勒公式可写作,则仅需,内存在,n,阶的连续偏导数即可,将它们代入泰勒公式,(15),，即有,与,1,、,例,7,的结果,(1.32),相比较，这是更接近于真,微分近似相当于现在的一阶泰勒公式,三、极值问题,多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应,用,这里仍以二元函数为例进行讨论,.,有定义,.,若,极大值点、极小值点统称,极值点,的,极大,(,或极小,),值点,.,极大值、极小值统称,极值,;,极,注意,这里讨论的极值点只限于定义域的内点,点,是,g,的极大值点,但不是,h,的极值点这是因,同极值,;,也取相同极值,.,于是,得到二元函数取极值的必要条件如下,:,定理,10,(,极值的必要条件,),若函数,在点,值,(,注,由定义可见,若,在点,取极值,则当固,存在偏导数,且在,取得极值,则必有,的,稳定点,.,上述定理指出,:,偏导数存在时,极值点必是稳定点,.,但要注意,:,稳定点并不都是极值点,在例,6,中,之所,以只讨论原点,就是因为原点是那三个函数的惟一,稳定点；而对于函数,h,原点虽为其稳定点,但却不,是它的极值点,.,与一元函数的情形相同,多元函数在偏导数不存在,原点没有偏导数,但,(17),定点,则有如下结论,:,于是有,证,由,在,的二阶泰勒公式，并注意到条件,二次型,连续函数,(,仍为一正定二次型,),首先证明,:,当,正定时，,在点,取得极小,值这是因为，此时对任何,恒使,极大值,由于,因此,在此有界,闭域上存在最小值,，于是有,即,在点,取得极小值,亦取,则沿着过,的任何直线,最后证明,:,当,为,不定矩阵时,在点,不,极小值,则将导致,必须是正半定的,.,也就是,的或负半定的，这与假设相矛盾,这表明,必须是负半定的,.,同理,倘若,取,系，定理,11,又可写成如下比较实用的形式,根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关,若,如定理,11,所设，则有如下结论,:,是否取得极值,解,由方程组,例,7,取得极小值,;,取得极大值,;,例,8,讨论,是否存在极值,得极值,?,因,，故原点不是,的,极值点,.,又因,处处可微，所以,没有极值点,.,解,容易验证原点是,的稳定点,且,故由定理,11,无法判断,在原点是否取得极值,但因为在原点的任意小邻域内,当,时,由极值定义知道,极值只是函数的一个,局部性概念,.,想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值,方法,与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳,定点、无偏导数点处的函数值,还有在区域边界上,的这类特殊值；然后比较这些值,其中最大,(,小,),者,即为问题所求的最大,(,小,),值,以,f,(0,0)=0,不是极值,(,参见图,10.3-7),例,10,证明,:,圆的所有外切三角形中,以正三角形的,面积为最小,证,如图,10.3-8,所示,设圆的半径为,a,任一外切三角,图,10.3-8,图,10.3-7,式为,其中,.,为求得稳定点,令,形为,ABC,三切点处的半径相夹的中心角分别为,在定义域内,上述方程组仅有惟一解,:,的二阶偏导数,:,此稳定点处取得极小值,因为,面积函数,S,在定义域中处处存在偏,正三角形的面积为最小,解,(i),求稳定点：,解方程组,导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以,因此,得稳定点,(ii),求极值：,由于,的黑赛矩阵为,(iii),求在,上的特殊值,:,当,当,，,当,，,算出,单调增,算出两端值,图形,上面的讨论都能在图中清晰地反映出来,一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！,注,本例中的,上虽然只有惟一极值,且为极,小值，但它并不因此成为,上的最小值这,图,10.3-9,例,12,(,最小二乘法问题,),设通过观察或实验得到一,上，即大体上可用直线,方程来反映变量,x,与,y,之间的对应关系,(,参见,图,10.3-10).,现要确定一,直线,使得与这,n,个点,的偏差平方之和为最小,(,最小二乘方,),图,10.3-10,解,设所求直线方程为,为此令,把这组关于,a,b,的线性方程加以整理并求解，得,并由实际意义可知这极小值即为最小值,.,复习思考题,试比较本节的中值公式,(8),与,1,、里的中值公式,(12),，两者的条件与结论有何区别？,2.,对于函数,下列记号,各表示什么意义？,什么不可以推广到多元函数中来？,