复变函数5.4整函数与亚纯函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.4,整函数与亚纯函数,1.,整函数,2.,亚纯函数,在整个,z,平面上解析的函数,f,(,z,),称为,整函数,.,(5.14),设,f,(,z,),为一整函数,则,f(,z,),只以,z,=,为孤立,奇点,且可设,于是显然有,1.,整函数,定理,5.10,若,f,(,z,),为一整函数,则,(1),z,=,为,f,(,z,),的可去奇点的充要条为,:,f,(,z,)=c.,(2),z,=,为,f,(,z,),的,m,级极点的充要条件,:,f,(,z,),是一个,m,次多项式,(3),z,=,为,f,(,z,),的本性奇点的充要条件为,:,展式,(5.14),有无穷多个,c,n,不等于零,.(,我们称这,样的,f,(,z,),为,超越整函数,).,定义,5.6,在,z,平面上除极点外无其他类型,奇点的单值解析函数称为,亚纯函数,.,2.,亚纯函数,定理,5.11,一函数,f,(,z,),为有理函数的充,要条件为,:,f,(,z,),在扩充平面,z,平面上除极点外,没有其它类型的奇点,.,(2),但,m,n,时,z,=,必为,f,(,z,),的可去奇点,只,要置,其中,P,(,z,),与,Q,(,z,),分别为,z,的,m,n,次多项式,且彼此互质,.,则,证,必要性,设有理函数,就是,f,(,z,),的解析点,;,(3),的零点必为,f,(,z,),的极点,.,充分性 若,f,(,z,),在扩充,z,平面上除极点外没有其它类型的奇点,则这些极点的个数只能是有限个,.,因若不然,这些极点在 扩充,z,平面上的,(1),当,m,n,时,z,=,必为,f,(,z,),的,m-n,级极点,;,聚点就是,f,(,z,),的非孤立奇点,.,与假设矛盾,.,今命,f,(,z,),在,z,平面上的极点为,其级数分别为 则函数,至多以,z,=,为极点,而在,z,平面上解析,.,故,g(,z,),必为一多项式,(,或常数,).,即必,f,(,z,),为有理函数,.,由此可见,每一有理函数都是亚纯函数,.,定义,5.7,非有理的亚纯函数称为超越亚,纯函数,