电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Field and Wave Electromagnetic,电磁场与电磁波,2010.09.16,作业情况,1,班：人,2,班：人,合计：人,情况,:,2,Review,位置矢量,:,任意矢量,A:,点积,:,叉积,:,微分长度,:,微分体积,:,微分面积,:,3,Main topic,梯度和散度,1.,标量场的梯度,2.,矢量场的散度,3.,散度定理,4,1.,标量场的梯度,We now address the method for describing,the space rate of change,of a,scalar field,at a given time.As the rate of change may be different in different directions,a,vector,is needed to define the space rate of change of a scalar field at a given point and at a given time.,5,1).,方向导数,标量场在某点的,方向导数,表示标量场自该点沿某一方向上的,变化率,。,6,2).,梯度,标量,f(x,y,z,),等于常数的空间曲面称为标量场的,等值面,。函数值相等的点构成的曲面。,电势,V,沿,l,n,方向的方向导数最大,7,梯度的概念,标量场在,某点,的梯度的,大小,等于该点的,最大,方向导数，梯度的,方向,为该点具有,最大,方向导数的方向（与等值面垂直，且指向标量场增大的方向）。,沿,任意,方向的方向导数（变化率）？,标量函数在任意方向,l,上的变化率等于梯度在该方向的,投影,。,8,某点的梯度的性质：,（,1,）,垂直,于给定函数的等值面。,（,2,）指向给定函数在某位置变化,最快,的方向。,（,3,）它的大小等于给定函数每单位距离的,最大,变化率。,（,4,）一个函数在某点任意方向的方向导数等于此函数的梯度与该方向单位矢量的,点积,（标积）。,可以看出：掌握了某一点的梯度，可以知道标量场沿什么方向标量场变化最大，及其最大值（梯度的方向及大小）；而且可以求出任意方向 的方向导数，这只要求出梯度与该方向单位矢量 的标积就行了。总而言之，梯度场是源于标量场的一个,矢量场,，它全面地刻画了标量场的,空间变化特征,。,9,梯度的计算,直角坐标系,称为“,del”,算子,球坐标系,圆柱坐标系,广义坐标系,10,梯度运算符合以下规则：,C,为常数,11,例,1,已知标量场,求（,2,，,1,，,3,）处,方向导数的最大值。,那么在（,2,，,1,，,3,）处的梯度为,其模为,因此，在（,2,，,1,，,3,）处方向导数的最大值为,（,117,）,1/2,解,根据梯度的定义,12,例,2,13,例,3,设标量,=xy,2,+yz,3,矢量,试求标量函数,在点（,2,，,-1,，,1,）处,沿,矢量,A,的方向上的,方向导数,。,解,已知梯度,那么，在点（,2,，,-1,，,1,）处,的梯度为,因此，标量函数,在点（,2,，,-1,，,1,）处沿矢量,A,的方向上的方向导数为,14,例,场点,P(x,y,z),y,源点,P(,x,y,z,),z,x,O,计算,解,同理可得,15,2.,矢量场的散度,A,B,通量线,or,流线,源,and,汇（洞）,净通量,矢量场,电力线,矢量的通量,16,如：真空中的电场强度,E,通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量,q,与真空介电常数,0,之比：,高斯定理,闭合曲面内的电量为,正,、,负,、,零,时的通量,根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中,源的正负特性,，以及存在与否。,通量,仅能,表示闭合曲面中源的总量，它,不能,显示源的分布特性，,如何,显示源的特性呢？,5C,5C,3C,4C,-2C,17,1),散度的概念,当闭合面,S,向某点,无限收缩,时，矢量,A,通过该闭合面,S,的通量与该闭合面包围的体积之比的,极限,称为矢量场,A,在该点的,散度,，记为：,式中，,V,为闭合面,S,包围的体积。,如果矢量场,F,每一点的散度都有定义，则形成一个,标量,的分布（标量场,),称为矢量,F,的,散度场,，描述,源的强度,在空间的分布，矢量场的变化,.,散度是描述矢量场的变化特性的物理量，矢量场的变化由源引起的，某点的散度就是该点处,源,（通量源）,的强度,.,18,2),散度计算方法,直角坐标系,柱坐标系,球坐标系,广义坐标系,19,散度运算规则,直角坐标系中,拉普拉斯算子,20,例,求到任一点的位置矢量的散度。,解,21,矢量场散度的,体积分,等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的,总通量,，记为,数学上看，利用散度定理可以将矢量函数的,面积分,转化为标量函数的,体积分,，或反之。,场的观点看，散度定理建立了,区域中,的场与包围该区域的,边界上,的场之间的关系。,3.,散度定理,22,例,已知,判断,散度定理,是否适用于图中所示的壳层区域。壳层的封闭面是以原点为中心而半径分别为,R=R,1,和,R=R,2,（,R,2,R,1,）的两个,球面,。,解,在外表面上：,在内表面上：,R,2,R,1,23,Example:,example：For vector function,verify the,divergence theorem,for the circular cylindrical region enclosed by r=5,z=0,and z=4,24,25,26,summary,1.,标量场的梯度,2.,矢量场的散度,3.,散度定理,27,homework,Thank you!Bye-bye!,答疑安排,时间：周二,下午,16,：,0018,：,00,地点：,1401,，,1403,P33:1-5,1-8,28,