第三章 调和方程.ppt

数学物理方程,第三章 调和方程,1,建立方程、定解条件,第三章 调和方程,2,格林公式及其应用,1.1,方程的导出,1,建立方程、定解条件,1.2,定解条件和定解问题,1.3,变分原理,物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。,1,方程的建立及其定解条件,调和方程，又称拉普拉斯,(,Laplace,),方程，其三维形式为,这个方程相应的非齐次方程，称为泊松,(,Poisson,),方程，即,这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。,调和方程举例：静电场,电势,u,确定所要研究的物理量：,根据物理规律建立微分方程：,对方程进行化简：,拉普拉斯方程,泊松方程,1-1,方程的导出,下面我们回忆物理学中导出调和方程和泊松方程的实例。历史上导致调和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),处质量为,M,的质点对位于,(,x,，,y,，,z,),处具有单位质量的质点的引力,其大小等于,M/r,2,，而作用方向沿着这两点的连线，指向,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),点，其中,r,为两点之间的距离。写为向量形式，即为,F,(,x,y,z,),称为引力场函数。显然引力场函数是位势函数,(,x,y,z,)=,M/r,的梯度：,F=grad,。除了允许相差一个任意常数外，位势函数是任意确定的。,对于以密度,(x,y,z),分布在区域,上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的总引力位势为,通过直接计算可以验证，,(,x,y,z,),在,外,满足调和方程,0,，,还可以进一步验证，若,(x,y,z),满足,Holder,条件，则,(,x,y,z,),在,内满足泊松方程,4,。,另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密度为,(x,y,z),的静电场，在此电场内任取一个封闭曲面,包围的区域,G,，由静电学知，通过,向外的电通量等于,G,中总电量的,4,倍，即成立,其中,E,为电场强度矢量，而,n,为,上的单位外法线向量。利用格林公式并注意到,G,的任意性，可得,div,E,=4,。,又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势,u=,u(x,y,z,),，使,E=-grad u,。,于是得到静电位势,u,满足以下的泊松方程,u,4,。,特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。,与复变函数中一样，我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。,1-2,定解条件和定解问题,要在空间的某个区域中确定方程,(3.1),和,(3.2),的解，还必须附加一些定解条件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是一种边值问题。,与前面的波动方程和热传导方程类似，对方程,(3.1),和,(3.2),也可以提出三种类型的边界条件。本次课程只研究第一及第二边值问题。,1),第一边值问题,(,狄利克雷条件,),：,2),第二边值问题,(,诺依曼条件,),：,习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某光滑的闭曲面,的,内部寻找满足边界条件的调和函数。但在实际运用中，常常会遇到一些无界区域的问题。例如：要确定一个热源物体外部的稳定温度场。这种情况下，需要在闭曲面,的,外部寻找满足边界条件的调和函数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。,流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界,上有,法向无穿透条件,内流问题的求解在边界,内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题需要在边界,外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条件是不够的，还需要在无穷远处施加来流条件,(,速度大小和迎角等,),。（这个问题课本上也有举例）,1-2,定解条件和定解问题,因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即,泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解：首先寻找一个泊松方程的特解,u,1,，作代换,u=v+u,1,把原方程转化为关于,v,的调和方程。,1-2,定解条件和定解问题,积分表达式的极值问题被称为变分问题。,1-3,变分原理,2.1,格林（,Green,）公式,2,格林公式及其应用,2.2,平均值定理,2.3,极值原理,2.4,第一边值问题解的,唯一性和稳定性,2-1,格林（,Green,）公式,高等数学中的高斯公式如下,在上式中，令,，于是有,得到格林第一公式：,如果作 代换，那么格林第一公式写为：,把,(3.5),和,(3.6),相减，我们得到格林第二公式,利用上述公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。首先我们导出调和函数的积分表达式。考察函数,此处,M,0,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),是区域,内的某一个固定点，可以验证，,(3.8),表示的,函数在除去,M,0,的,区域,上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三维拉普拉斯方程的基本解。,2-1,格林（,Green,）公式,在公式,(3.7),中取,u,是调和函数，而取,v=1/r,M,0,M,。由于,函数,v,在,区域,上存在奇点,M,0,，因此对于区域,不能直接运用格林第二公式,(3.7),，但如果在区域,内除去一个以,M,0,为中心，半径,充分小的球,K,，则在剩下的区域,K,内就可以运用,公式,(3.7),了。,在,区域,K,内,u,=0,，,(1/r),=0,，,在球面,上由于,这里星号代表球面,上的平均值。于是,公式,(3.7),可以化为,2-1,格林（,Green,）公式,上式中当,0,时，就得到了调和函数的基本积分,公式,M,0,在,外,M,0,在,上,M,0,在,内,对于泊松方程,u,=,F,，也有类似公式,2-1,格林（,Green,）公式,由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。,定理,2.1,调和函数的一个充要条件,设函数,u,在以曲面,为境界的区域,内调和，在,U,上有连续一阶偏导数，则,反之亦然。由此，我们得到诺依曼内问题,有解的必要条件为,满足调和方程,由叠加原理，是泊松方程,u,=,F,的一个特解。,（与万有引力势函数公式类似）,2-1,格林（,Green,）公式,物理意义：,对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任何封闭曲面上的热流量应该为零。,2-1,格林（,Green,）公式,定理,2.2,球面平均值定理,设函数,u,在以曲面,为境界的区域,内调和，对于包含在 内的每一个闭球，,u,在球心处的值等于,u,在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示可以写为,证：把公式,(3.11),运用到球心在,M,0,点，半径为,a,的球面,a,上，得到,这里，在球面上,2-2,平均值定理,为零,2-2,平均值定理,定理,2.3,极值原理,设不恒为常数的函数,u,在以曲面,为境界的区域,内调和，它在,的内点上的值不可能达到它在,上的上界或下界。,推论,1,：调和函数的最大值和最小值只能在区域边界取得。,推论,2,：两个调和函数在边界,上成立不等式,u,v,，那么在,内该不等式同样成立；只有在,u,v,时，不等式中的等号才有成立的可能。,2-3,极值原理,先考察调和方程的狄利克雷内问题。,定理,2.4,：,调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件,f,。,证：假设两个调和函数,u,1,(,x,y,z,),和,u,2,(,x,y,z,),，它们在有界区域,的边界,上完全相同，那么它们的差,u,=,u,1,(,x,y,z),-,u,2,(,x,y,z,),在,中也满足调和方程，而在,上等于零。按照前面的推论一，,u,1,u,2,，,即,狄利克雷内问题的解唯一。,其次，假设在边界上给定了两个函数,f,和,f*,，,而且在,上处处成立,设,u,和,u*,，,分别是调和方程在区域,上的以,f,和,f*,为,边界条件的,狄利克雷内问题的解,。那么调和函数,u,-,u,*,在,上取值,f,-,f,*,。由极值定理的推论,1,得到,因此，在区域,上各点有,（连续依赖性得证）,2-4,第一边值问题解的唯一性和稳定性,现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。,设,u,1,，,u,2,是狄利克雷外问题的解，令,v=u,1,-,u,2,，则调和函数,v,在边界,和无穷远处取值为零。即,此时取一个半径足够大的球面,R,，让这个球面与边界,一起形成封闭的空间,，,利用前面,狄利克雷内问题,解的唯一性和稳定性证明方法，我们可以得到下面的定理：,定理,2.5,：,调和方程的狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件,f,。,此定理的证明作为课后练习。,2-4,第一边值问题解的唯一性和稳定性,课后作业：题,3,，,P 79,。,