多元复合函数与隐函数微分法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,证略,第五节 多元复合函数与隐函数微分法,一、多元复合函数的偏导数,1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形,1,解,例1,2,以上公式中的导数 称为,全导数,.,3,解,例,2,4,链式法则如图示,2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形,5,解,例,3,注,：,如果函数的自变量只有一个，则求导时要用微分符号,d,；否则，就要用符号,.,6,7,解,例,4,或用求导法则，,8,例,5,设,w,=,f,(,x,+,y,+,z,，,xyz,),，,f,具有二阶连续偏导数，,求 及,解,令,u,=,x,+,y,+,z,，,v,=,xyz,，则,w,=,f,(,u,，,v,).,引入记号：,其中下标,1,表示对,第,1,个变量,u,求偏导数，下标,2,表示对第,2,个变量,v,求偏导数,.,同理有 等,.,由定理,2,可得,上式再对变量,z,求偏导数，得到,9,又,得,.,10,3.,复合函数的中间变量既有一元又有多元函数的情形,定理,3,如果函数,u,=,u,(,x,y,),在点,(,x,y,),具有对,x,及对,y,的偏导数，函数,v,=,v,(,y,),在点,y,可导，函数,z,=,f,(,u,v,),在对应点,(,u,v,),具有连续偏导数，则复合函数,z,=,f,u,(,x,y,),v,(,y,),在对应点,(,x,y,),的两个偏导数存在，且有,11,例,6,求 的偏导数,.,解,设,则,.,则,12,13,二、一阶全微分的形式不变性,回顾,：,结论,：,此性质称为,一阶微分的形式不变性,.,14,可以证明，,仍有公式,这就是说，不论,x,y,是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为,一阶微分的形式不变性,.,二、二阶全微分的形式不变性,15,解,例,7,求下列函数的偏导数和全微分.,所以,16,例,8,解,方程两边关于,x,求,偏导数,17,例,9,解,18,