整除的概念(高等代数).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3,整除的概念,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、带余除法,二、整除,1.3 整除的概念,提供网站：,对,一定存在,使,成立，其中,或,一、带余除法,定理,并且这样的,是唯一决定的,称 为 除 的,商,，为 除,的,余式,若,则令,结论成立,若,设,的次数分别为,证,：,当 时，,结论成立,显然取,即有,下面讨论的情形，,假设,对,次数小于,n,的,，,结论已成立,先证存在性,对,作数学归纳法,次数为时结论显然成立,设 的首项为,的首项为,则,与 首项相同，,因而，多项式,的次数小于,n,或,f,1,为,0,若,令,即可,若,由归纳假设，存在,使得,现在来看次数为,n,的情形,其中,或者,于是,即有,使,成立,的存在性得证,由归纳法原理，对,再证唯一性,若同时有,其中,其中,和,则,即,但,矛盾,所以,从而,唯一性得证,二、整除,1,定义,设,若存在,使,则称,整除,记作,时，称,为,的,因式,，,为,的,倍式,不能整除,时记作：,允许,，此时有,即,区别,：,零多项式整除零多项式，有意义,除数为零，无意义,当,时，如果,则 除,所得的商可表成,定理,1,2,整除的判定,提供网站：,3,整除的性质,1),对,有,对,有,即，任一多项式整除它自身；,零多项式能被任一多项式整除；,零次多项式整除任一多项式,时，与 有相同的因式和倍式,2),若 ，则,3),若,则,证：,若,则,使得,使得,若,则,皆为非空常数,4),若,（整除关系的传递性）,成立,故有,5),若,则对,有,注,：反之不然如,但,6),整除不变性：,两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变,例,3,求实数 满足什么条件时多项式,整除多项式,附：,整数上的带余除法,对任意整数,a,、,b,（,b,0,）都存在唯一的整数,q,、,r,，,使,a,qb,r,，,其中,作业,P44,1.2),2.1),3.2),4.2),提供网站：,