拉普拉斯定理与行列式的乘法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节 拉普拉斯定理、行列式的乘法,一、拉普照拉斯定理,定义,1,在,n,阶行列式,D=,中任取,K,行、,K,列，位于这些行、,列相交处的元素按原来的相对次序构成的,K,阶行列式,S,称为,D,的,一个,K,阶子式；在,D,中去掉,S,所在的行与列，剩下的元素按原来,的相对次序构成的,n-k,阶行列式,M,称为,S,的余子式；设,S,来自,D,的,第 行和第 列，这里,，我们把,称为,S,的代数余子式。,定理,1(,拉普拉斯定理,),在,n,阶行列式,D,中任取,K,个,行,(,或,K,个列,),(1Kn),由这,K,行,(,列,),元素构成的,K,阶,子式,(,共有 个,),与它们的,代数余子式,的乘积之和等于行列式,D.,即,D=,为某,K,个行,构成的,K,阶子式,;,分别是它们的代数余子式,.,例,1,把行列式,按第,1,2,两行展开,.,解,:,由第,1,2,两行可以得到,=6,个,2,阶子式,:,因为,所以只需求出,的,代数余子式,于是,二 行列式的乘法公式,定理,2,两个,n,阶行列式,的乘积等于一个,n,阶行列式,其中 是 的第,i,行元素与,的第,j,列对应元素的乘积之和,即,证明,:,作,2n,阶行列式,利用拉普拉斯定理把 按前,n,行展开,.,由于 的前,n,行中,除了左上角的,n,阶子式 之外,其余子式全为零,所以,下面我们来证,.,为此,对于,I=1,2,n,将 的,第,n+1,行的 倍,第,n+2,行的 倍,第,2n,行的 倍,加到第,i,行,得,其中 把上,面的行列式按前,n,行展开,由拉普拉斯定理,得,