常微分方程3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法.ppt

*,3.4,线性非齐次常系数方程,线性非齐次常系数方程的,待定系数法,.,在第,2,节给出的,常数变易法,比较繁琐，,本节将给出比较简单的解法,.,1,考虑常系数非齐次线性方程,(3.4.1),当 是一些特殊函数，,如,指数函数，正余弦,函数，,及,多项式,时，,通常利用,待定系数法,来求解。,2,一、非齐次项,是多项式,（,3.4.2,）,当 时,零不是方程的特征根,.,可取特解,形式为,（,3.4.3,）,其中,是待定常数,.,比较方程,同次幂的系数,解出,3,当 时,零,为方程的单特征根,，令,当 时,零,为方程的二重特征根,，,直接积分得方程的特解,4,综合情况,我们得到特解形式,:,通过比较系数法来确定待定常数,5,例,1,求方程 的一个特解,.,解,:,对应的齐次方程的,特征根,为,零不是特征根,因此,设方程特解的形式为,将 代入方程得,比较上式两端的系数,可得,因此,原方程的一个特解为,6,例,2,求方程 的通解,.,解,:,对应的齐次方程的特征根为,齐次方程通解为,:,因为,零是特征方程的单根,将 代入方程得,:,原方程的特解为,:,原方程的通解为,:,故特解形式为,7,二、非齐次项,是多项式与指数函数之积,做变换,则方程变为,:,8,(1),当,不是特征根,时,方程的特解形式为,(2),当,是单特征根,时,方程的特解形式为,(3),当,是二重特征根,时,方程的特解形式为,对应的齐次方程的特征方程,9,例,3,求方程 的一个特解,.,解,:,对应的齐次方程的特征根为,二重根,因此,该方程特解的形式为,将 代入方程,可得,因此,原方程的一个特解为,10,例,4,求 的特解,.,解,:,做变换,则原方程变为,对上面方程积分得到一个特解,因此,原方程的特解为,11,例,7,求方程,的通解,.,这里的特征方程,有两个解,对应齐次方程的通解为,:,再求非齐次方程的一个特解,.,因为方程的右端由两项组成,根据解的叠加原理,可先分别求下面两个方程的特解,.,解,:,先求对应齐次方程的,的通解,.,12,这两个特解之和为原方程的一个特解,.,对于第一个方程,设特解,代入第一个方程得,:,对第二个方程,设特解,代入第二个方程得,:,原方程的通解为,13,三、非齐次项,为多项式与指数函数，正余弦函数,之积,当,不是,对应齐次方程,的,特征根,时,取,.,当,是,对应齐次方程,的,特征根,时,取,.,方程的特解 形式为,14,例,5,求 的通解,.,解：先求对应齐次方程 的通解,特征方程,的根为,所以齐次方程的通解为,再求非齐次方程的一个通解，,15,不是特征根,，故,代入原方程得到,得,A,=2,，,B,=1,，,故原方程的特解为,于是通解为,16,例,6,求方程,的通解,.,解,:,先求对应齐次方程的,的通解,.,这里的特征方程,有两个解,对应齐次方程的通解为,:,再求非齐次方程的一个特解,.,是特征根,故原方程特解的形式为,17,代入原方程得,比较方程两边的系数得,:,故原方程的特解为,:,因而原方程的通解为,:,例,6,求方程,的通解,.,方程特解的形式为,18,作业,:P149,2,，,3,，,6,，,7,，,8(1),，,9,10,19,