第二章-§2.1-2.1.1-倾斜角与斜率.pptx

,2.1.1,倾斜角与斜率,第二章,2.1,直线的倾斜角与斜率,1.,了解直线的斜率和倾斜角的概念,.,2,.,理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性,.,3,.,了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率,.,学习目标,交通工程上一般用,“,坡度,”,来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从,A,点前进到,B,点，在水平方向前进的距离为,AD,，竖直方向上升的高度为,DB,(,如果是下降，则,DB,的值为负实数,),，则坡度,k,若,k,0,，则表示上坡，若,k,0,，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小,.,那么,“,坡度,”,是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？,导语,随堂,演练,课时对,点练,一、直线的倾斜角,二、直线的斜率,三、倾斜角和斜率的应用,内容索引,一、直线的倾斜角,问题,1,在平面中，怎样才能确定一条直线？,提示,两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线,.,问题,2,在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点,P,的直线有什么区别？,提示,直线的方向不同，相对于,x,轴的倾斜程度不同,.,当直线,l,与,x,轴相交时，我们以,x,轴为基准，,x,轴,与,直线,l,向上的方向之间所成的角,叫做直线,l,的倾斜角,.,当直线,l,与,x,轴平行或重合时，规定它的倾斜角,为,.,注意点：,(1),从运动变化的观点来看，当直线,l,与,x,轴相交时，直线,l,的倾斜角是由,x,轴,绕直线,l,与,x,轴的交点按逆时针方向旋转到与直线,l,重合时所得到的最小正角,.,(2),倾斜角从,“,形,”,的方面直观地体现了直线对,x,轴正向的倾斜程度,.,(3),直线的倾斜角,的取值范围为,0,180.,正向,0,知识梳理,例,1,(1)(,多选,),下列命题中，正确的是,A.,任意一条直线都有唯一的倾斜角,B.,一条直线的倾斜角可以为,30,C.,倾斜角为,0,的直线有无数条,D.,若直线的倾斜角为,，则,sin,(0,1),解析,任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为,0,的直线有无数条，它们都垂直于,y,轴，因此,A,正确，,B,错误，,C,正确,.,D,中，当,0,时，,sin,0,；当,90,时，,sin,1,，故,D,错误,.,(2)(,多选,),设直线,l,过坐标原点，它的倾斜角为,，如果将,l,绕坐标原点按逆时针方向旋转,45,，得到直线,l,1,，那么,l,1,的倾斜角可能为,A.,45,B.,135,C.135,D.,45,解析,根据题意，画出图形，如图所示,.,通过图象可知，,当,0,135,，,l,1,的倾斜角为,45,；,当,135,180,时，,l,1,的倾斜角为,45,180,135.,反思感悟,直线倾斜角的概念和范围,(1),求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论,.,(2),注意倾斜角的范围,.,跟踪训练,1,(1),已知直线,l,向上方向与,y,轴正向所成的角为,30,，则直线,l,的倾斜角为,.,解析,有两种情况：,如图,(1),，直线,l,向上方向与,x,轴正向所成的角为,60,，即直线,l,的倾斜角为,60.,60,或,120,如图,(2),，直线,l,向上方向与,x,轴正向所成的角为,120,，即直线,l,的倾斜角为,120.,(2),已知直线,l,1,的倾斜角,1,15,，直线,l,1,与,l,2,的交点为,A,，直线,l,1,和,l,2,向上的方向所成的角为,120,，如图，则直线,l,2,的倾斜角为,.,解析,设直线,l,2,的倾斜角为,2,，,l,1,和,l,2,向上的方向所成的角为,120,，,所以,BAC,120,，,所以,2,120,1,135.,135,二、直线的斜率,问题,3,在平面直角坐标系中，设直线,l,的倾斜角为,.,(3),一般地，如果直线,l,经过两点,P,1,(,x,1,，,y,1,),，,P,2,(,x,2,，,y,2,),，,x,1,x,2,，那么,与,P,1,，,P,2,的坐标有什么关系？,1.,把一条直线的倾斜角,的,叫做,这条直线的斜率，斜率常用小写字母,k,表示，即,k,.,2.,直线的方向向量与斜率的关系：若直线,l,的斜率为,k,，它的一个,方向向量,的,坐标为,(,x,，,y,),，则,k,.,正切值,tan,知识梳理,注意点：,(1),当,x,1,x,2,时，直线的斜率不存在，倾斜角为,90.,(2),斜率公式中,k,的值与,P,1,，,P,2,两点在该直线上的位置无关,.,(3),斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换,.,(4),若直线与,x,轴平行或重合，则,k,0.,例,2,(1),经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角,.,A,(2,3),，,B,(4,5),；,则直线,AB,的倾斜角,满足,tan,1,，,又,0,180,，,所以倾斜角,45.,C,(,2,3),，,D,(2,，,1),；,则直线,CD,的倾斜角,满足,tan,1,，,又,0,180,，,所以倾斜角,135.,P,(,3,1),，,Q,(,3,10).,解,不存在,.,因为,x,P,x,Q,3,，,所以直线,PQ,的斜率不存在，倾斜角,90.,(2),求经过两点,A,(,a,2),，,B,(3,6),的直线的斜率,.,解,当,a,3,时，斜率不存在；,反思感悟,求直线的斜率的两种方法,(1),利用定义：已知直线的倾斜角为,，且,90,，则,k,tan,.,跟踪训练,2,(1),若直线的倾斜角为,120,，则直线的斜率为,.,(2),若过点,P,(,2,，,m,),，,Q,(,m,4),的直线的斜率为,1,，则,m,的值为,.,1,解析,设直线,l,的斜率为,k,，,三、倾斜角和斜率的应用,问题,4,当直线的倾斜角由,0,逐渐增大到,180,，其斜率如何变化？为什么？,提示,当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大,.,的大小,0,0,90,90,90,0,k,0,知识梳理,增大,增大,例,3,已知两点,A,(,3,4),，,B,(3,2),，过点,P,(1,0),的直线,l,与线段,AB,有公共点,.,(1),求直线,l,的斜率,k,的取值范围；,要使,l,与线段,AB,有公共点，则直线,l,的斜率,k,的取值范围是,(,，,1,1,，,).,(2),求直线,l,的倾斜角,的取值范围,.,解,由题意可知直线,l,的倾斜角介于直线,PB,与,PA,的倾斜角之间，又,PB,的倾斜角是,45,，,PA,的倾斜角是,135,，,所以,的取值范围是,45,135.,反思感悟,倾斜角和斜率的应用,(1),倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系,.,(2),涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解,.,跟踪训练,3,已知,A,(3,3),，,B,(,4,2),，,C,(0,，,2).,(1),求直线,AB,和,AC,的斜率；,(2),若点,D,在线段,BC,(,包括端点,),上移动时，求直线,AD,的斜率的变化范围,.,解,如图所示，当,D,由,B,运动到,C,时，直线,AD,的斜率由,k,AB,增大到,k,AC,，,1.,知识清单：,(1),直线的倾斜角及其范围,.,(2),直线斜率的定义和斜率公式,.,2.,方法归纳：数形结合思想,.,3.,常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清,.,课堂小结,随堂演练,1.(,多选,),下列说法正确的是,A.,若,是直线,l,的倾斜角，则,0,180,B.,若,k,是直线的斜率，则,k,R,C.,任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率,D.,任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角,1,2,3,4,2.,若经过,A,(,m,3),，,B,(1,2),两点的直线的倾斜角为,45,，则,m,等于,A.2,B.1 C,.,1,D,.,2,1,2,3,4,3.,已知经过点,P,(3,，,m,),和点,Q,(,m,，,2),的直线的斜率为,2,，则,m,的值为,1,2,3,4,4.,经过,A,(,m,3),，,B,(1,2),两点的直线的倾斜角,的取值范围是,.,(,其中,m,1),0,90,1,2,3,4,解析,当,m,1,时，倾斜角,90,；,0,90.,故,0,90.,课时对点练,1.,下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是,A.(4,2),与,(,4,1),B,.(0,3),与,(3,0),C.(3,，,1),与,(2,，,1),D,.(,2,2),与,(,2,5),解析,D,项，因为,x,1,x,2,2,，,所以,直线垂直于,x,轴，倾斜角为,90,，斜率不存在,.,基础巩固,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(,多选,),已知直线斜率的绝对值,为,则,直线的倾斜角可以为,A.30,B.60,C.120,D.150,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故直线的倾斜角为,60,或,120.,A.60,B.30,C.120,D.150,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.,如图，若直线,l,1,，,l,2,，,l,3,的斜率分别为,k,1,，,k,2,，,k,3,，,则,A.,k,1,k,3,k,2,B.,k,3,k,1,k,2,C.,k,1,k,2,k,3,D.,k,3,k,2,k,1,解析,设直线,l,1,，,l,2,，,l,3,的倾斜角分别为,1,，,2,，,3,，,则由图知,0,3,2,90,1,180,，,所以,tan,1,0,，,tan,2,tan,3,0,，,即,k,1,0,，,k,2,k,3,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.,直线,l,过点,A,(1,2),，且不过第四象限，则直线,l,的斜率的取值范围是,解析,如图所示，当直线,l,在,l,1,的位置时，,k,tan 0,0,；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故直线,l,的斜率的取值范围是,0,2.,7.,已知点,A,(1,2),，若在坐标轴上存在一点,P,，使直线,PA,的倾斜角为,135,，则点,P,的坐标为,.,(3,0),或,(0,3),解析,由题意知，,k,PA,1,，,若点,P,在,x,轴上，设点,P,的坐标为,P,(,m,0)(,m,1),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得,m,3,，即,P,(3,0).,若点,P,在,y,轴上，设点,P,的坐标为,P,(0,，,n,),，,解得,n,3,，即,P,(0,3,).,综,上，点,P,的坐标为,(3,0),或,(0,3).,8.,若经过点,A,(1,t,1,t,),和点,B,(3,2,t,),的直线的倾斜角为钝角，则实数,t,的取值范围是,.,(,2,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为直线的倾斜角为钝角，,解得,2,t,0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得,1,m,1.,10.,如图所示，菱形,OBCD,的顶点,O,与坐标原点重合，,OB,边在,x,轴的正半轴上，已知,BOD,60,，求菱形,OBCD,各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解,在菱形,OBCD,中，,OD,BC,，,BOD,60,，,所以直线,OD,，,BC,的倾斜角相等，都为,60,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为,CD,OB,，且,OB,在,x,轴上，,所以直线,OB,，,CD,的倾斜角相等，都为,0,，,所以,k,OB,k,CD,0,，,由菱形的性质，知,COB,30,，,OBD,60,，,所以直线,OC,，,BD,的倾斜角分别为,30,，,120,，,11.,如果直线,l,先沿,x,轴负方向平移,2,个单位长度，再沿,y,轴正方向平移,2,个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线,l,的斜率是,A.,2,B,.,1,C.1 D.2,解析,设,A,(,a,，,b,),是直线,l,上任意一点，,则平移后得到点,A,(,a,2,，,b,2),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综合运用,12.,已知点,A,(2,3),，,B,(,3,，,2),，若直线,l,过点,P,(1,1),，且与线段,AB,始终没有交点，则直线,l,的斜率,k,的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,直线,l,与线段,AB,始终没有交点，,(,，,1,1,，,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.,已知,O,(,O,为坐标原点,),是等腰直角三角形,OAB,的直角顶点，点,A,在,第一,象限,，,AOy,15,，则斜边,AB,所在直线的斜率为,.,解析,设直线,AB,与,x,轴的交点为,C,，,(,图略,),则,ACO,180,A,AOC,180,45,105,30,，,或,ACO,180,A,AOC,180,45,75,60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.,直线,l,的方向向量为,(,1,2),，直线,l,的倾斜角为,，则,tan 2,的值,是,拓广探究,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,直线,l,的方向向量为,m,(,1,2),，,直线,l,的斜率等于,2,，,因为点,M,在函数,x,2,y,6,的图象上，且,1,x,3,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,