2024-2025学年广东省广州市番禺区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市番禺区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形具有稳定性的是（　　）
A．正方形 B．长方形
C．直角三角形 D．平行四边形
2．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣b）3＝b3 B．（a﹣b）2＝（b﹣a）2
C．3mn﹣m＝3n D．（m﹣1）2＝m2﹣1
4．（3分）若分式x+1x-1有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x≠1
5．（3分）已知∠AOB，下面是“作一个角等于已知角，即作∠A′O′B′＝∠AOB”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
6．（3分）航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于0.00000002m，0.00000002用科学记数法表示为（　　）
A．2.0×10﹣8 B．2.0×10﹣9 C．2.0×108 D．0.2×10﹣8
7．（3分）在△ABC中，∠B＝30°，BC＝4，则AB边上的高的长度为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．23
8．（3分）计算22-13+32-225+42-327+⋯[phone]=（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．（3分）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖x米，则所列方程正确的是（　　）
A．48x-2-48x=2 B．48x-48x+2=2
C．48x+2-48x=2 D．48x-48x-2=2
10．（3分）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）计算x2y﹣3•（x﹣1y）3的结果等于 　 　 ．
12．（3分）化简分式a2-aba2-2ab+b2的结果为 　 　 ．
13．（3分）若三角形的两条边长分别是2和5，则这个三角形的第三边长可以是 　 　 （要求：只需填一个答案即可）．
14．（3分）如图，AD＝AE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　 　 （添加一个即可）．

15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（3，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为 　 　 ．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（a，b）（a＞2，b＞2），AC⊥AB，且AC＝AB，则点C坐标为 　 　 ．

三、解答题：本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。
17．（4分）计算：28x4y2÷7x3y．
18．（4分）分解因式：3ax2+6axy+3ay2．
19．（6分）化简：12p+3q+12p-3q．
20．（6分）解方程：2x-3=3x．
21．（8分）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM和ON的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据．

22．（10分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＝∠B+2∠E．

23．（10分）如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF交AB于点G，求证：G为AB的中点．

24．（10分）在△ABC与△A′B′C′中，边BC与边B′C′上的中线分别为AD与A′D′．若AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A′B′C′．

25．（14分）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且x2+y2＝z2，则称数组（x，y，z）为基本勾股数组．
观察下列基本勾股数组：
（3，4，5）；
（5，12，13）；
（7，24，25）；
（9，40，41）；
…
（1）根据以上规律，写出x＝11时，基本勾股数组中y，z之值；
（2）若（x，y，z）为基本勾股数组，当y＝8时，求x与z的值；
（3）请你猜想基本勾股数组（x，y，z）中x，y，z的规律，并证明你的猜想．

2024-2025学年广东省广州市番禺区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
D
B
A．
B
B
B
D

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列图形具有稳定性的是（　　）
A．正方形 B．长方形
C．直角三角形 D．平行四边形
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴正方形，长方形，直角三角形，平行四边形中，具有稳定性的是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，解答本题的关键是熟练掌握三角形的特性．
2．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据多边形内角和与外角和的关系列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和与外角和的计算方法是正确解答的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣b）3＝b3 B．（a﹣b）2＝（b﹣a）2
C．3mn﹣m＝3n D．（m﹣1）2＝m2﹣1
【分析】A．根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可；
B．根据互为相反数的偶次方相等，然后判断即可；
C．先判断3mn，m是不是同类项，能否合并，然后判断即可；
D．根据完全平方公式进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵（﹣b）3＝﹣b3，∴此选项的运算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（a﹣b）2＝（b﹣a）2，∴此选项的运算正确，故此选项符合题意；
C．∵3mn，m不是同类项，不能合并，∴此选项的运算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（m﹣1）2＝m2﹣2m+1，∴此选项的运算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式和同类项的定义．
4．（3分）若分式x+1x-1有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x≠1
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：D．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．
5．（3分）已知∠AOB，下面是“作一个角等于已知角，即作∠A′O′B′＝∠AOB”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是（　　）

A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：由作图方法可知OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，
∴△COD≌△C′O′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
故选：B．
【点评】此题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
6．（3分）航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于0.00000002m，0.00000002用科学记数法表示为（　　）
A．2.0×10﹣8 B．2.0×10﹣9 C．2.0×108 D．0.2×10﹣8
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（3分）在△ABC中，∠B＝30°，BC＝4，则AB边上的高的长度为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．23
【分析】根据含30°的角的直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，CD为AB边上的高，

∵∠B＝30°，CD⊥AB，BC＝4，
∴CD=12BC＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了含30°的角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°的角的直角三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）计算22-13+32-225+42-327+⋯[phone]=（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】根据算式，得到每个加法算式结果为1，再根据共有2023个算式，即可得到结果．
【解答】解：原式=33+55+77+⋯[phone]
＝1+1+1⋯+1
＝2023，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是观察每个算式的特征来计算．
9．（3分）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖x米，则所列方程正确的是（　　）
A．48x-2-48x=2 B．48x-48x+2=2
C．48x+2-48x=2 D．48x-48x-2=2
【分析】设原计划每天挖x米，根据某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，可列方程．
【解答】解：设原计划每天挖x米，则实际每天挖（x+2）米，
根据题意得，48x-48x+2=2．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出每天挖的米数，以天数作为等量关系列方程．
10．（3分）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点P，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形．
【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个．
故选：D．

【点评】本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的P点．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）计算x2y﹣3•（x﹣1y）3的结果等于 　1x　 ．
【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘单项式的法则计算，最后根据负整数指数幂的法则计算即可．
【解答】解：x2y﹣3•（x﹣1y）3
＝x2y﹣3•x﹣3y3
＝x﹣1y0
=1x，
故答案为：1x．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
12．（3分）化简分式a2-aba2-2ab+b2的结果为 　aa-b　 ．
【分析】利用提公因式法、完全平方公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【解答】解：a2-aba2-2ab+b2=a(a-b)(a-b)2=aa-b，
故答案为：aa-b．
【点评】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
13．（3分）若三角形的两条边长分别是2和5，则这个三角形的第三边长可以是 　6（答案不唯一）　 （要求：只需填一个答案即可）．
【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边长是x，得到3＜x＜7，即可得到答案．
【解答】解：设三角形第三边长是x，
由三角形三边关系定理得：5﹣2＜x＜5+2，
∴3＜x＜7，
∴第三边长可以是6（答案不唯一）．
故答案为：6（答案不唯一）．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
14．（3分）如图，AD＝AE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　∠B＝∠C　 （添加一个即可）．

【分析】添加条件∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
【解答】解：添加条件：∠B＝∠C，
理由：由题意可得，AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
若添加条件：∠B＝∠C，则△ABE≌△ACD（AAS）；
故答案为：∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（3，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为 　（0，2）　 ．

【分析】根据对称性，作出点A关于y轴的对称点A'，连接BA'与y轴交于点P，根据两点之间线段最短即可得结论．
【解答】解：

如图所示，作出点A关于点y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点P，
此时PA+PB＝P′A+PB＝A′B，
根据两点之间线段最短，所以点P的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性性质．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（a，b）（a＞2，b＞2），AC⊥AB，且AC＝AB，则点C坐标为 　（2﹣b，a﹣2）　 ．

【分析】由“AAS”可证△ACF≌△BAE，可得CF＝AE，AF＝BE，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于F，
∴∠AFC＝∠AEB＝90°＝∠BAC，
∴∠CAF+∠BAE＝90°＝∠CAF+∠ACF，
∴∠ACF＝∠BAE，
在△ACF和△BAE中，
∠AFC=∠BEA∠ACF=∠BAEAC=AB，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴CF＝AE，AF＝BE，
∵点A（2，0），B（a，b），
∴BE＝AF＝b，AO＝2，AE＝a﹣2，
∴OF＝b﹣2，
∴点C坐标为（2﹣b，a﹣2），
故答案为：（2﹣b，a﹣2）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。
17．（4分）计算：28x4y2÷7x3y．
【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：28x4y2÷7x3y＝4xy．
【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是单项式除以单项式的法则，在计算时要注意系数和指数的变化．
18．（4分）分解因式：3ax2+6axy+3ay2．
【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3ax2+6axy+3ay2，
＝3a（x2+2xy+y2），
＝3a（x+y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
19．（6分）化简：12p+3q+12p-3q．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2p-3q+2p+3q4p2-9q2=4p4p2-9q2．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）解方程：2x-3=3x．
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣3），得2x＝3（x﹣3）．
解这个方程，得x＝9．
检验：将x＝9代入x（x﹣3）知，x（x﹣3）≠0．
所以x＝9是原方程的根．
【点评】本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验．
21．（8分）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM和ON的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据．

【分析】连接AB，作线段AB的垂直平分线交∠MON的角平分线于点P，点P即为所求．
【解答】解：如图，点P即为所求．

方法：连接AB，作线段AB的垂直平分线交∠MON的角平分线于点P，点P即为所求．
依据：角平分线上的点到角的两边距离相等，线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＝∠B+2∠E．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠1，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式证明即可．
【解答】证明：在△BCE中，∠1＝∠B+∠E，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，
∴∠1＝∠2，
在△ACE中，∠BAC＝∠E+∠2＝∠E+∠B+∠E＝∠B+2∠E，
即：∠BAC＝∠B+2∠E．

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
23．（10分）如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF交AB于点G，求证：G为AB的中点．

【分析】证明△AFC≌△BFC（SSS），可得∠ACF＝∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可解题．
【解答】证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵△AEC和△BCD为等边三角形，
∴∠CAE＝∠CBD，∠FAG＝∠FBG，
∴AF＝BF．
在△AFC和△BFC中，
AF=BFAC=BCCF=CF，
∴△AFC≌△BFC（SSS），
∴∠ACF＝∠BCF，
即CF平分∠ACB，
又∵AC＝BC，
∴AG＝BG，
即G为AB的中点．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形底边三线合一的性质；证明三角形全等是解题的关键．
24．（10分）在△ABC与△A′B′C′中，边BC与边B′C′上的中线分别为AD与A′D′．若AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A′B′C′．

【分析】首先证明△ABD≌△A′B′D′（SSS），推出∠B＝∠B′，再根据SAS证明△ABC≌△A′B′C′．
【解答】证明：∵AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的中线，BC＝B′C′，
∴BD=12BC，B′D′=12B′C′，
∴BD＝B′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，
AB=A′B′AD=A′D′BD=B′D′，
∴△ABD≌△A′B′D′（SSS），
∴∠B＝∠B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′∠B=∠B′BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
25．（14分）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且x2+y2＝z2，则称数组（x，y，z）为基本勾股数组．
观察下列基本勾股数组：
（3，4，5）；
（5，12，13）；
（7，24，25）；
（9，40，41）；
…
（1）根据以上规律，写出x＝11时，基本勾股数组中y，z之值；
（2）若（x，y，z）为基本勾股数组，当y＝8时，求x与z的值；
（3）请你猜想基本勾股数组（x，y，z）中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【分析】（1）观察所给数据，找出规律求解即可；
（2）根据题意可知（z﹣x）（z+x）＝y2＝64，因为x和z均为整数，所以将64因式分解，再逐一讨论即可；
（3）猜想：猜想：当x为大于1的奇数时，x＝2k+1（k为正整数），y=x2-12=2k2+2k，z=x2+12=2k2+2k+1．然后代入验证是否符合x2+y2＝z2即可得证．
【解答】解：（1）观察数据我们发现：
（3，4，5）中，4=32-12，5=32+12，
（5，12，13）中，12=52-12，13=52+12
（7，24，25）中，24=72-12，25=72+12，
（9，40，41）中，40=92-12，41=92+12，
.....．
（x，y，z）中，y=x2-12，z=x2+12，
∴当x＝11时，y=112-12=60，z=112+12=61；
（2）∵（x，y，2）为基本勾股数组，
∴x2+y2＝z2，即z2﹣x2＝y2，
∴（z﹣x）（z+x）＝y2，
已知y＝8，则y2＝64，
设z﹣x＝m，z+x＝n（m，n为正整数，且n＞m），
则z-x=mz+x=n，
解得z=m+n2，x=n-m2，
又∵mn＝64，且x，z为正整数，x与y互素，
对64进行因数分解64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8．
①当m＝1，n＝64时，z=1+642=32.5（舍去，2不是正整数）；
②当m＝2，n＝32时，z=2+322=17，x=32-22=15，
∵8和15互素，
∴x＝15，z＝17符，合题意；
③当m＝4，n＝16 时，z=4+162=10，x=16-42=6，
∵6和8有公约数，不互素，
∴x＝6，z＝10，不符合题意；
④当m＝8，n＝8时，x＝0（舍去，x不是正整数）；
综上，x＝15，z＝17；
（3）猜想：当x为大于1的奇数时，x＝2k+1（k为正整数），y=x2-12=2k2+2k，z=x2+12=2k2+2k+1．
证明：∵x＝2k+1，y＝2k（k+1），
∴x、y互素，
∵x2＝（2k+1）2＝4k2+4k+1，
y2=((2k+1)2-12)2=(4k2+4k+1-1)24=(4k2+4k)24=4k2（k+1）2，
则x2+y2＝4k2+4k+1+4k2（k+1）2
＝4k2+4k+1+4k2（k2+2k+1）
＝4k2+4k+1+4k4+8k3+4k2
＝4k4+8k3+8k2+4k+1，
z2＝（2k2+2k+1）2
＝4k4+4k2（2k+1）+（2k+1）2
＝4k4+8k3+8k2+4k+1，
∴x2+y2＝z2．
【点评】本题主要考查了新定义：基本勾股数组，乘法公式的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
声明：
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