2023-2024学年广东省广州市天河区七年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024学年广东省广州市天河区七年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本题有8个小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．12 C．2 D．±2
2．（3分）下列各组数中，大小关系正确的是（　　）
A．﹣7＜﹣5＜﹣2 B．﹣7＞﹣5＞﹣2 C．﹣7＜﹣2＜﹣5 D．﹣2＞﹣7＞﹣5
3．（3分）2023年8月21日，广州市委书记在接受南方日报采访时透露：“广州是超大城市，每天实时在穗人口约24000000，规模巨大；广州包容性强、烟火气旺、藏富于民，具有扎实推进共同富裕的良好基础”．人口24000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.24×108 B．2.4×107 C．2.4×106 D．24×106
4．（3分）下列各式中正确的是（　　）
A．2x+2y＝4xy B．3x2﹣x2＝3
C．3xy﹣2xy＝xy D．2x+4x＝6x2
5．（3分）如图，是从不同的方向看一个物体得到的平面图形，该物体的形状是（　　）

A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱
6．（3分）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a=23b+53 D．3ac＝2bc+5
7．（3分）在直线l上截取线段AB＝10cm，BC＝4cm，若点D，E分别是AB和BC的中点，则DE的长是（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或4cm D．7cm或3cm
8．（3分）广州市政府为了打造绿化带，将一段长为360米的绿化规划道路承包给了甲、乙两个工程队．两队先后接力完成，共用时20天．已知甲工程队每天可以完成24米，乙工程队每天可以完成16米．求甲、乙两个工程队分别完成了多长的绿化带？若设甲完成了x米，则下列式子正确的是（　　）
A．x16+360-x24=20 B．x24+360-x16=20
C．24x+16（20﹣x）＝360 D．16x+24（20﹣x）＝360
二、多项选择题（本题有2个小题，每小题4分，共8分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（4分）关于x的方程2x﹣5+a＝bx+1（a，b为常数），下列说法正确的是（　　）
A．当b≠2时，该方程有唯一解
B．当a≠6，b＝2时，该方程有无数解
C．当a＝6，b＝2时，该方程有无数解
D．当a≠6，b＝2时，该方程无解
（多选）10．（4分）已知OD，OE是∠AOC的三等分线，OF，OG是∠BOC的三等分线，则结论正确的有（　　）

A．∠EOF=13∠AOB
B．∠COF＝∠COD
C．OG是∠BOF的角平分线
D．若∠FOG＝2∠DOE，则∠AOE和∠BOF互余
三、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）某天的最高气温是17℃，最低气温是﹣2℃，该天的温差是 　 　．
12．（3分）请写出一个含有字母a，b，且次数是5的单项式 　 　．
13．（3分）已知∠A＝25°，那么∠A的补角是 　 　°．
14．（3分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字一面的相对面上的字是 　 　．

15．（3分）已知关于x的方程2x﹣6＝﹣mx（m为正整数）有整数解，则m的值为 　 　．
16．（3分）观察一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按照这样的规律，若其中连续三个数的和为2023，则这三个连续的数中最小的数是 　 　．
四、解答题（本大题有9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17．（4分）（1）计算：15﹣（﹣23）；
（2）计算：﹣1×（﹣2）3÷4．
18．（4分）（1）化简：（8x+2y）+（5x﹣y）；
（2）化简：3b﹣3（a2﹣2b）．
19．（6分）（1）解方程：3y+2＝10﹣5y；
（2）解方程：x+52=2x-13．
20．（6分）已知：设A＝3a2+5ab+3，B＝a2﹣ab，求当a、b互为倒数时，A﹣3B的值．
21．（8分）如图，点C是线段AB的中点．
（1）尺规作图：在线段AB的延长线上作线段BD，使得BD＝AB；
（2）若（1）中的线段AD＝8，求线段BC的长；并任选三条线段，求出它们的长度和．

22．（10分）为总结和推广我市中小学班级文化建设先进经验，广州市教育局举办了第四届广州市中小学班级文化建设展示活动．经过多轮角逐，天河区某学校的“龙舟班”荣获示范班称号．学校打算在校门口一个长为1400cm的长方形电子屏上发布喜报，喜报内容为：“热烈祝贺龙舟班荣获第四届广州市中小学班级文化建设示范班”，为了制作及显示方便，负责发布喜报信息的老师对有关数据作出如下规定：（如图）边空宽：字宽：字距＝3：4：1．请用列方程的方法求出字距是多少？

23．（10分）我们记一对有理数a，b为数对（a，b）．如果数对（a，b）使等式a+b+1＝ab成立，则称之为“有趣数对”．
（1）如果数对(m，34)是“有趣数对”，那么(34，m)是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对（|x|，2）是“有趣数对”，求x4﹣2x2+1的值；
（3）如果a和b互为相反数，那么（a，b）是“有趣数对”吗？请说明理由．
24．（10分）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒，纸板厚度及接缝处忽略不计）．
操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法是：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b cm的小正方形，再沿虚线折合起来，并设该长方体的长、宽、高之和为S1．
操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．并设该长方体的长、宽、高之和为S2．
（1）按照操作一，若a＝12cm，b＝3cm，则S1＝　 　；
（2）按照操作二，则S2＝　 　；（用含a，b的代数式表示）
（3）现有两张边长为a cm的正方形纸板，分别按操作一和操作二的要求制作两个长方体盒子，问：S1与S2的值能相等吗？请说明理由．

25．（12分）将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线MN上，且三角板ADE始终摆放在直线MN下方，三角板ABC可绕点A任意旋转．已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°．设∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150）．
（1）当m+n＝0时，求∠CAE的度数；
（2）当n＝2m（m≠0）时，求∠CAM与∠MAE的数量关系；
（3）当点C，A，E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系．

2023-2024学年广东省广州市天河区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题有8个小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．12 C．2 D．±2
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：根据绝对值的定义，|﹣2|＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
2．（3分）下列各组数中，大小关系正确的是（　　）
A．﹣7＜﹣5＜﹣2 B．﹣7＞﹣5＞﹣2 C．﹣7＜﹣2＜﹣5 D．﹣2＞﹣7＞﹣5
【分析】根据负数的绝对越大数越小直接作答即可．
【解答】解：由负数的绝对值越大数越小可知，
|﹣7|＞|﹣5|＞|﹣2|，
∴﹣7＜﹣5＜﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查有理数大小的比较，会对多个负数进行比较大小是关键．
3．（3分）2023年8月21日，广州市委书记在接受南方日报采访时透露：“广州是超大城市，每天实时在穗人口约24000000，规模巨大；广州包容性强、烟火气旺、藏富于民，具有扎实推进共同富裕的良好基础”．人口24000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.24×108 B．2.4×107 C．2.4×106 D．24×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：24000000用科学记数法可表示为2.4×107，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列各式中正确的是（　　）
A．2x+2y＝4xy B．3x2﹣x2＝3
C．3xy﹣2xy＝xy D．2x+4x＝6x2
【分析】先判断是否为同类项，再进行计算即可．
【解答】解：A、2x与2y不是同类项，不能进行合并，故不符合题意；
B、3x2﹣x2＝2x2，故该项不正确，不符合题意；
C、3xy﹣2xy＝xy，故该项正确，符合题意；
D、2x+4x＝6x，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．
5．（3分）如图，是从不同的方向看一个物体得到的平面图形，该物体的形状是（　　）

A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．
【解答】解：∵主视图和左视图都是三角形，
∴此几何体为锥体，
∵俯视图是一个圆及圆心，
∴此几何体为圆锥，
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
6．（3分）已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C．a=23b+53 D．3ac＝2bc+5
【分析】按照等式的性质分析求解即可．
【解答】解：已知3a＝2b+5
选项A：按照等式的性质1，等式两边同时减去5，可得3a﹣5＝2b，故A一定成立；
选项B：按照等式的性质1，等式两边同时加上1，可得3a+1＝2b+6，故B一定成立；
选项C：按照等式的性质2，等式两边同时除以3，可得a=23b+53，故C一定成立；
选项D：只有在c＝1时，可由3a＝2b+5推得3ac＝2bc+5，故D不一定成立．
故选：D．
【点评】本题考查了等式的性质在等式变形中的应用，明确等式的性质是解题的关键．本题属于基础知识的考查，比较简单．
7．（3分）在直线l上截取线段AB＝10cm，BC＝4cm，若点D，E分别是AB和BC的中点，则DE的长是（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或4cm D．7cm或3cm
【分析】分两种情况进行解答，即点C在线段AB上，点C在线段AB延长线上，分别画出相应的图形，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可．
【解答】解：如图1，当点C在线段AB上，
∵点D，E分别是AB和BC的中点，
∴AD＝BD=12AB＝5cm，BE＝CE=12BC＝2cm，
∴DE＝BD﹣BE＝3cm；
如图2，当点C在线段AB的延长线上，
∵点D，E分别是AB和BC的中点，
∴AD＝BD=12AB＝5cm，BE＝CE=12BC＝2cm，
∴DE＝BD+BE＝7cm；
综上所述，DE＝3cm或DE＝7cm．
故选：D．

【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键．
8．（3分）广州市政府为了打造绿化带，将一段长为360米的绿化规划道路承包给了甲、乙两个工程队．两队先后接力完成，共用时20天．已知甲工程队每天可以完成24米，乙工程队每天可以完成16米．求甲、乙两个工程队分别完成了多长的绿化带？若设甲完成了x米，则下列式子正确的是（　　）
A．x16+360-x24=20 B．x24+360-x16=20
C．24x+16（20﹣x）＝360 D．16x+24（20﹣x）＝360
【分析】设甲完成了x米，乙完成了（360﹣x）米，由题意：将一段长为360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用20天，列出一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意得：x24+360-x16=20，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程，难度不大．
二、多项选择题（本题有2个小题，每小题4分，共8分，每小题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（4分）关于x的方程2x﹣5+a＝bx+1（a，b为常数），下列说法正确的是（　　）
A．当b≠2时，该方程有唯一解
B．当a≠6，b＝2时，该方程有无数解
C．当a＝6，b＝2时，该方程有无数解
D．当a≠6，b＝2时，该方程无解
【分析】首先将方程2x﹣5+a＝bx+1整理为（2﹣b）x＝6﹣a，然后通过讨论即可得出答案．
【解答】解：由关于x的方程2x﹣5+a＝bx+1（a，b为常数），得：（2﹣b）x＝6﹣a，
当2﹣b≠0时，该方程有唯一解，
即当b≠2时，该方程有唯一解，
故选A正确；
当2﹣b＝0且6﹣a≠0时，该方程无解，
即当a≠6，b＝2时，该方程有无解，
故选项B不正确，选项D正确；
当2﹣b＝0且6﹣a＝0时，该方程有无数解，
即当a＝6，b＝2时，该方程有无数解，
故选项C正确；
综上所述：正确的选项是A，C，D．
故答案为：ACD．
【点评】此题主要考查了一元一次方程解的讨论，理解对于一元一次方程ax＝b，①当a≠0时，该方程有唯一解；②当a＝0，b≠0时，方程无解；③当a＝0且b＝0时，该方程有无数解是解决问题的关键．
（多选）10．（4分）已知OD，OE是∠AOC的三等分线，OF，OG是∠BOC的三等分线，则结论正确的有（　　）

A．∠EOF=13∠AOB
B．∠COF＝∠COD
C．OG是∠BOF的角平分线
D．若∠FOG＝2∠DOE，则∠AOE和∠BOF互余
【分析】首先设∠AOD＝α，∠BOG＝β，根据已知条件得∠AOD＝∠DOE＝∠EOC＝α，则∠AOC＝3α，∠BOG＝∠FOG＝∠COF＝β，∠COB＝3β，进而得∠AOB＝3（α+β），∠EOF＝α+β，由此可对选项A进行判断；由∠COF＝β，∠COD＝2α可对选项B进行判断；由∠BOG＝∠GOF＝β，根据角平分线的定义可对选项C进行判断；先由∠FOG＝2∠DOE得β＝2α，由于∠AOE＝2α，∠BOF＝2β，可得∠AOE+∠BOF＝2α+2β＝5α，据此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：设∠AOD＝α，∠BOG＝β，
∵OD，OE是∠AOC的三等分线，
∴∠AOD＝∠DOE＝∠EOC＝α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOE+∠EOC＝3α，
又∵OF，OG是∠BOC的三等分线，
∴∠BOG＝∠FOG＝∠COF＝β，
∠COB＝∠BOG+∠FOG+∠FOC＝3β，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝3α+3β＝3（α+β），
又∵∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+β，
∴∠EOF=13∠AOB，
故选项A正确；
∵∠COF＝β，∠COD＝∠DOE+∠EOC＝2α，
根据已知条件无法判定β和2α相等，
因此无法判定∠COF和∠COD相等，
故选项B不正确；
∵∠BOG＝∠GOF＝β，
∴OG是∠BOF的角平分线，
故选项C正确；
∵∠FOG＝2∠DOE，
∴β＝2α，
∵∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝2α，∠BOF＝∠BOG+∠FOG＝2β，
∴∠AOE+∠BOF＝2α+2β＝6α，
根据已知条件无法判定6α＝90°，
因此无法判定∠AOE和∠BOF互余，
故选项D不正确．
综上所述：正确的结论有A，C．
故答案为：AC．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，互为余角的定义，准确识图，熟练掌握角度的计算，理解角平分线的定义，互为余角的定义是解决问题的关键．
三、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）某天的最高气温是17℃，最低气温是﹣2℃，该天的温差是 　19℃　．
【分析】首先根据题意列出算式17﹣（﹣2），然后再进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵17﹣（﹣2）＝19（℃），
∴该天的温差是19℃．
故答案为：19℃．
【点评】此题主要考查了有理数的运算，理解题意，正确地列出算式，熟练掌握有理数的运算法则是解决问题的关键．
12．（3分）请写出一个含有字母a，b，且次数是5的单项式 　ab4（答案不唯一）　．
【分析】根据单项式的概念解答即可．
【解答】解：这个单项式可以是ab4．
故答案为：ab4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．
13．（3分）已知∠A＝25°，那么∠A的补角是 　155　°．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝25°，
∴∠A的补角＝180°﹣25°＝155°．
故答案为：155°．
【点评】本题考查补角的定义，和为180°的两个角互为补角．
14．（3分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字一面的相对面上的字是 　学　．

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：把展开图折叠成小正方体后，有“我”字一面的相对面上的字是：学，
故答案为：学．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
15．（3分）已知关于x的方程2x﹣6＝﹣mx（m为正整数）有整数解，则m的值为 　1或4　．
【分析】首先解方程2x﹣6＝﹣mx，得x=62+m，再根据m为正整数得2+m＞2且为正整数，然后根据x为整数得2+m＝3或6，由此解出m即可．
【解答】解：由方程2x﹣6＝﹣mx，解得x=62+m，
∵m为正整数，
∴2+m＞2且为正整数，
又∵x为整数，
∴2+m＝3或6，
当2+m＝3时，解得：m＝1，
当2+m＝6时，解得：m＝4．
∴关于x的方程2x﹣6＝﹣mx（m为正整数）有整数解，则m的值为1或4．
故答案为：1或4．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法与技巧是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
16．（3分）观察一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按照这样的规律，若其中连续三个数的和为2023，则这三个连续的数中最小的数是 　﹣2023　．
【分析】根据所给数列的排列规律可知，正负数相间排列，且绝对值依次加1，再根据第一个数是﹣1便可解决问题．
【解答】解：设中间的一个数为x，则第一个数为﹣（x﹣1），第三个数为﹣（x+1），
根据题意得：﹣（x﹣1）+x﹣（x+1）＝2023，
∴x＝﹣2023，
则第一个数为2022，第三个数为2024，
则这三个连续的数中最小的数是﹣2023．
故答案为：﹣2023．
【点评】本题考查数的排列规律，能根据题意列方程是解题的关键．
四、解答题（本大题有9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17．（4分）（1）计算：15﹣（﹣23）；
（2）计算：﹣1×（﹣2）3÷4．
【分析】（1）利用有理数的减法法则进行计算，即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，即可解答．
【解答】解：（1）15﹣（﹣23）
＝15+23
＝38；
（2）﹣1×（﹣2）3÷4
＝﹣1×（﹣8）÷4
＝8÷4
＝2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（4分）（1）化简：（8x+2y）+（5x﹣y）；
（2）化简：3b﹣3（a2﹣2b）．
【分析】（1）去掉小括号，再将同类项合并即可；
（2）先用3去乘多项式，再进行合并化简．
【解答】解：（1）（8x+2y）+（5x﹣y）
＝8x+2y+5x﹣y
＝13x+y；
（2）3b﹣3（a2﹣2b）
＝3b﹣3a2+6b
＝﹣3a2+9b．
【点评】本题考查了整式的加减，关键根据计算方法进行化简．
19．（6分）（1）解方程：3y+2＝10﹣5y；
（2）解方程：x+52=2x-13．
【分析】（2）首先移项得3y+5y＝10﹣2，再合并同类项得8y＝8，然后再将未知数的系数化为1即可得出方程的解；
（2）首先去分母，方程两边同时乘以6，得3（x+5）＝2（2x﹣1），再去括号，移项，合并同类项，得﹣x＝﹣17，然后再将未知数的系数化为1即可得出方程的解．
【解答】解：（1）3y+2＝10﹣5y，
移项，得：3y+5y＝10﹣2，
合并同类项，得：8y＝8，
未知数的系数化为1，得：y＝1；
（2）x+52=2x-13，
去分母，方程两边同时乘以6，得：3（x+5）＝2（2x﹣1），
去括号，得：3x+15＝4x﹣2，
移项，得：3x﹣4x＝﹣2﹣15，
合并同类项，得：﹣x＝﹣17，
未知数的系数化为1，得：x＝17．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法与技巧是解决问题的关键．
20．（6分）已知：设A＝3a2+5ab+3，B＝a2﹣ab，求当a、b互为倒数时，A﹣3B的值．
【分析】把A与B代入A﹣3B中，去括号合并得到最简结果，由a，b互为倒数得到ab＝1，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵A＝3a2+5ab+3，B＝a2﹣ab，
∴A﹣3B＝（3a2+5ab+3）﹣3（a2﹣ab）＝3a2+5ab+3﹣3a2+3ab＝8ab+3，
由a、b互为倒数，得到ab＝1，
则原式＝8×1+3＝11．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）如图，点C是线段AB的中点．
（1）尺规作图：在线段AB的延长线上作线段BD，使得BD＝AB；
（2）若（1）中的线段AD＝8，求线段BC的长；并任选三条线段，求出它们的长度和．

【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）利用线段和差定义，线段的中点的定义求解．
【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求；

（2）∵AB＝BD，AD＝8，
∴AB＝BD＝4，
∵C是AB的中点，
∴BC=12AB＝2，
∵AC＝CB＝2，BD＝4，
∴AC+CB+BD＝2+2+4＝8（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图，复杂作图，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
22．（10分）为总结和推广我市中小学班级文化建设先进经验，广州市教育局举办了第四届广州市中小学班级文化建设展示活动．经过多轮角逐，天河区某学校的“龙舟班”荣获示范班称号．学校打算在校门口一个长为1400cm的长方形电子屏上发布喜报，喜报内容为：“热烈祝贺龙舟班荣获第四届广州市中小学班级文化建设示范班”，为了制作及显示方便，负责发布喜报信息的老师对有关数据作出如下规定：（如图）边空宽：字宽：字距＝3：4：1．请用列方程的方法求出字距是多少？

【分析】首先根据边空宽：字宽：字距＝3：4：1，设边空宽＝3x cm，字宽＝4x cm，字距＝x cm，再根据等量关系“2个边空宽+27个字宽+26个字距＝1400cm”列出方程，然后解方程求出x即可．
【解答】解：∵边空宽：字宽：字距＝3：4：1，
∴可设边空宽＝3x cm，字宽＝4x cm，字距＝x cm，
又∵喜报内容为：“热烈祝贺龙舟班荣获第四届广州市中小学班级文化建设示范班”，
∴共有2个边空宽，27个字宽，26个字距，
∴2×3x+27×4x+26x＝1400，
解得：x＝10．
答：字距是10cm．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系“2个边空宽+27个字宽+26个字距＝1400cm”列出方程是解决问题的关键．
23．（10分）我们记一对有理数a，b为数对（a，b）．如果数对（a，b）使等式a+b+1＝ab成立，则称之为“有趣数对”．
（1）如果数对(m，34)是“有趣数对”，那么(34，m)是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对（|x|，2）是“有趣数对”，求x4﹣2x2+1的值；
（3）如果a和b互为相反数，那么（a，b）是“有趣数对”吗？请说明理由．
【分析】（1）先根据数对(m，34)是“有趣数对”得m+34+1=m×34，由此可判定(34，m)是“有趣数对”；
（2）先根据数对（|x|，2）是“有趣数对”，得|x|+2+1＝2|x|，进而得|x|＝3，由此可得x4＝81，x2＝9，据此可得x4﹣2x2+1的值；
（3）根据a，b互为相反数，b＝﹣a，再根据“有趣数对”的定义得a+b+1＝1，ab＝﹣a2，然后根据1≠﹣a2可得出答案．
【解答】解：（1）数对(34，m)是“有趣数对”，理由如下：
∵数对(m，34)是“有趣数对”，
∴m+34+1=m×34，
即34+m+1=34×m，
∴(34，m)是“有趣数对”，
（2）∵数对（|x|，2）是“有趣数对”，
∴|x|+2+1＝2|x|，
整理得：|x|＝3，
∴x4＝81，x2＝9，
∴x4﹣2x2+1＝81﹣2×9+1＝64；
（3）如果a和b互为相反数，那么（a，b）不是“有趣数对”，理由如下：
∵a，b互为相反数，
∵b＝﹣a，
∴a+b＝0，ab＝﹣a2，
由a+b+1＝ab，得：a2＝﹣1，
∵不存在a的值使a2＝﹣1，
∴a+b+1≠ab，
∴a和b互为相反数时，（a，b）不是“有趣数对”．
【点评】此题主要考查了整式的运算，求代数式的值，相反数的概念等，熟练掌握整式的运算，求代数式值的方法，理解相反数的概念是解决问题的关键．
24．（10分）某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒，纸板厚度及接缝处忽略不计）．
操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，方法是：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b cm的小正方形，再沿虚线折合起来，并设该长方体的长、宽、高之和为S1．
操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．并设该长方体的长、宽、高之和为S2．
（1）按照操作一，若a＝12cm，b＝3cm，则S1＝　15cm　；
（2）按照操作二，则S2＝　3a-4b2　；（用含a，b的代数式表示）
（3）现有两张边长为a cm的正方形纸板，分别按操作一和操作二的要求制作两个长方体盒子，问：S1与S2的值能相等吗？请说明理由．

【分析】（1）由题意可求出图1长方体的长宽高，再求它们之和即可得出答案；
（2）由题意可求出图2长方体的长宽高，再求它们之和即可得出答案；
（3）用假设法推导，得出与题意矛盾，即可解决．
【解答】解：（1）12﹣3﹣3＝6（cm），
则图1长方体的长宽高分别为6cm，6cm，3cm，
所以S1＝6+6+3＝15cm；
故答案为：15cm．
（2）S2＝（a﹣2b）+a-2b2+b=3a-4b2，
故答案为：3a-4b2．
（3）S1≠S2，理由如下：
S1＝2（a﹣2b）+b＝2a﹣3b，
S2＝（a﹣2b）+a-2b2+b=3a-4b2，
若S1＝S2，
则2a﹣3b=3a-4b2，
所以a＝2b与图2矛盾，
所以S1≠S2．
【点评】本题主要考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键．
25．（12分）将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线MN上，且三角板ADE始终摆放在直线MN下方，三角板ABC可绕点A任意旋转．已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°．设∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150）．
（1）当m+n＝0时，求∠CAE的度数；
（2）当n＝2m（m≠0）时，求∠CAM与∠MAE的数量关系；
（3）当点C，A，E三点共线时，请通过画图探究说明m与n的数量关系．

【分析】（1）已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°，∠BAN＝m°，∠DAN＝n°，当m+n＝0时，因为∠CAE＝∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD，所以可以直接计算出∠CAE的度数；
（2）根据三角形的余角和补角之间的关系，利用已知条件，可以得出∠CAM与∠MAE的数量关系；
（3）当点C，A，E三点共线时，此时∠CAE＝180°，利用已知条件，可以探究出m与n的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠EAD＝30°，∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150），
又∵∠CAE＝∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD，
∴当m+n＝0时，
∴∠CAE＝90°+30°＝120°，
答：∠CAE的度数为120°；
（2）∵MN是直线，∠CAB＝∠AED＝90°，∠BAN＝m°，∠DAN＝n° （0≤m≤180，0≤n≤150），
∴∠CAM＝180°﹣90°﹣m°＝90°﹣m°，
∴∠MAE＝180°﹣30°﹣n°＝150°﹣n°，
∵n＝2m（m≠0），
∴∠MAE＝2∠CAM﹣30°，
答：∠CAM与∠MAE的数量关系为：∠MAE＝2∠CAM﹣30°；
（3）当点C，A，E三点共线时，

∵点C，A，E三点共线，
∴∠CAE＝180°，
∵∠CAE＝∠CAB+∠BAN+∠DAN+∠EAD，
∴180°＝90°+30°+m+n，
∴m+n＝60°，
答：m+n＝60°．
【点评】考查重点是熟练掌握三角形的余角，补角的定义，学会利用三角形余角和补角之间的关系，进行综合运算．
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