2021-2022学年广东省广州市花都区八年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022学年广东省广州市花都区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列标志图形属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．11
3．（3分）新型冠状病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链RNA病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳．新型冠状病毒的直径平均约为100纳米，合约0.0000001米，用科学记数法表示0.0000001米为（　　）
A．﹣1×106米 B．﹣1×107米 C．1×10﹣6米 D．1×10﹣7米
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（　　）

A．72° B．60° C．50° D．58°
5．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．3x3+2x2＝5x2 B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2 D．（ab）3＝a3b
6．（3分）计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（　　）
A．2x2﹣9x﹣5 B．2x2﹣9x+5 C．2x2﹣11x﹣5 D．2x2﹣11x+5
7．（3分）一个凸多边形的内角和与外角和之比为2：1，则这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝8cm，BD：CD＝3：4，则点D到AC的距离为（　　）cm．

A．3 B．4 C． D．
9．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2022的值为（　　）

A．32022 B．﹣1 C．1 D．0
10．（3分）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足的条件是 　 　．
12．（3分）计算＝　 　．
13．（3分）如图，已知∠1＝∠2，要判定△ABD≌△ACD，请你添加一个条件，是　 　．（写出一个条件即可）

14．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝　 　．

15．（3分）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高的夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 　 　°．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 　 　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本题有9个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．（4分）解方程：．
18．（4分）因式分解：ab2﹣4a．
19．（6分）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．
求证：OB＝OC．

20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，并交于点H．
（1）若DC＝2，则AD＝　 　；
（2）∠AHB的度数．

21．（8分）已知：．
（1）化简A；
（2）当a3＝8时，求A的值．
22．（10分）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

23．（10分）某校推行“新时代好少年•红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了10%，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．
（1）原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
（2）该校实际共建设了多少间青少年党史“读书吧”？
24．（12分）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．

（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1：　 　；
方法2：　 　；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：　 　．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．

25．（12分）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝　 　°；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．

2021-2022学年广东省广州市花都区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列标志图形属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．11
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可．
【解答】解：在△ABC中，AB＝4，BC＝7，
则7﹣4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，
∴边AC的长可能是4，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
3．（3分）新型冠状病毒是冠状病毒的一种，该病毒是一种单链RNA病毒，侵入人体后可引起上下呼吸道感染，主要症状为发热、乏力、干咳．新型冠状病毒的直径平均约为100纳米，合约0.0000001米，用科学记数法表示0.0000001米为（　　）
A．﹣1×106米 B．﹣1×107米 C．1×10﹣6米 D．1×10﹣7米
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000001米＝1×10﹣7米．
故选：D．
【点评】此题主要考查用科学记数法表示较小的数，关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法．
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于（　　）

A．72° B．60° C．50° D．58°
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由于两个三角形全等，
∴∠1＝180﹣50°﹣72°
＝58°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型．解答本题的关键是熟练运用全等三角形的性质
5．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A．3x3+2x2＝5x2 B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2 D．（ab）3＝a3b
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：A.3x3与2x2不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．a•a2＝a3，故B符合题意；
C.3a6÷a3＝3a3，故C不符合题意；
D．（ab）3＝a3b3，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，整式的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
6．（3分）计算（2x+1）（x﹣5）的结果是（　　）
A．2x2﹣9x﹣5 B．2x2﹣9x+5 C．2x2﹣11x﹣5 D．2x2﹣11x+5
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算即可．
【解答】解：（2x+1）（x﹣5）
＝2x2﹣10x+x﹣5
＝2x2﹣9x﹣5，
故选：A．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算过程中注意符号的变化．
7．（3分）一个凸多边形的内角和与外角和之比为2：1，则这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和2倍可得方程180（n﹣2）＝360×2，再解方程即可．
【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n﹣2）＝360×2，
解得：n＝6，
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝8cm，BD：CD＝3：4，则点D到AC的距离为（　　）cm．

A．3 B．4 C． D．
【分析】由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案．
【解答】解：∵BC＝8cm，BD：CD＝3：4，
∴BD＝（cm），
∵AD平分∠BAC，∠B＝90°，
∴D到AC的距离等于BD，
∴D点到线段AC的距离为cm，
故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2022的值为（　　）

A．32022 B．﹣1 C．1 D．0
【分析】利用轴对称的性质构建方程组，求出m，n，可得结论．
【解答】解：∵E（2m，﹣n），F（3﹣n，﹣m+1）关于y轴对称，
∴，
解得，，
∴（m﹣n）2022＝（﹣4+5）2022＝1，
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，二元一次方程组等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B＝30°，则BE'＝2BF，再由BF＝5，BE＝4，可得10＝2CE+4，解得CE＝3，可求BC＝7．
【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE＝PE'，
∴EP+FP＝PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B＝60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B＝30°，
∴BE'＝2BF，
∵BF＝5，BE＝4，
∴E'B＝10，
∵CE＝CE'，
∴10＝2CE+BE＝2CE+4，
∴CE＝3，
∴BC＝7，
故选：A．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.
11．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足的条件是 　x≠3　．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
12．（3分）计算＝　　．
【分析】先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：
＝1+
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
13．（3分）如图，已知∠1＝∠2，要判定△ABD≌△ACD，请你添加一个条件，是　AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADB＝∠ADC．　．（写出一个条件即可）

【分析】判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠1＝∠2，AD＝AD，根据全等三角形的判定定理即可确定．
【解答】解：判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠1＝∠2，AD＝AD，
因而根据SAS，可以添加条件：AB＝AC；
根据AAS，可以添加条件：∠B＝∠C；
根据ASA可以添加∠ADB＝∠ADC．
故答案是：AB＝AC或∠B＝∠C或∠ADB＝∠ADC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝　5　．

【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD＝BD，从而得解．
【解答】解：∵S△ABD＝15，AE是BC边上的高，
∴BD•AE＝15，
则×6BD＝15，
解得：BD＝5，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．
15．（3分）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高的夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 　70或110　°．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，画出图形分两种情况讨论即可解决问题．
【解答】解：①∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；

②∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝∠ABD+∠ADB＝20°+90°＝110°．
故答案为：70或110．

【点评】此题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 　①②④　．（填写所有正确结论的序号）

【分析】由“筝形”的性质可得AB＝BC，AD＝CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠BDC＝60°，由直角三角形的性质可得BD＝2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD＝×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE＝AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN＝EN，由线段和差关系可得MN＝AM+CN，故④正确，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB＝BC，AD＝CD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵AD＝CD，∠ADC＝120°，
∴∠DAC＝∠DCA＝30°，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝CD，AB＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠BDC＝60°，
∴BD＝2AD，故②正确；
∵∠DOC＝∠DAC+∠ADB＝60°+30°＝90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACB，
∴S四边形ABCD＝×AC×OD+×AC×OB＝×AC×BD，故③错误；
延长BC到E，使CE＝AM，连接DE，如图所示：

∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠DAB＝∠DCE＝90°，
又∵AM＝CE，AD＝CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，
∵∠ADC＝120°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠ADM+∠CDN＝∠ADC﹣∠MDN＝60°，
∴∠CDE+∠CDN＝∠EDN＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝CE+CN＝AM+CN，
∴AM+CN＝MN，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．（4分）解方程：．
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：，
3x＝2（x﹣3），
3x＝2x﹣6，
3x﹣2x＝﹣6，
x＝﹣6，
经检验，x＝﹣6是方程的根，
∴原方程的解为x＝﹣6．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．
18．（4分）因式分解：ab2﹣4a．
【分析】先提公因式，然后再利用平分差公式继续分解即可．
【解答】解：ab2﹣4a．
＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19．（6分）如图，AB⊥AC，CD⊥BD，AB＝DC，AC与BD交于点O．
求证：OB＝OC．

【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB，可得∠DBC＝∠ACB，可得OB＝OC．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠DBC＝∠ACB，
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，并交于点H．
（1）若DC＝2，则AD＝　4　；
（2）∠AHB的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠CAD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的定义分别求出∠DAB、∠EBA，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，DC＝2，
∴AD＝2CD＝2×2＝4，
故答案为：4；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，
则∠ABC＝30°，
∵AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠DAB＝CAB＝30°，∠EBA＝ABC＝15°，
∴∠AHB＝180°﹣∠DAB﹣∠EBA＝180°﹣30°﹣15°＝135°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
21．（8分）已知：．
（1）化简A；
（2）当a3＝8时，求A的值．
【分析】（1）原式中被减式的分子分母进行因式分解后约分化简，然后再按照同分母分式减法运算法则进行计算；
（2）利用立方根的概念求得a的值，然后代入求值即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝，
即化简A的结果为；
（2）∵a3＝8，
∴a＝＝2，
∴原式＝＝1，
即A的值为1．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解立方根的概念，掌握利用公式法进行因式分解是解题关键．
22．（10分）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）由角平分线的定义得∠ABD＝∠CBD＝36°，再由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C＝72°，然后证证∠BDC＝∠C，则BD＝BC，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求；
（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BDC是黄金三角形．

【点评】本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）某校推行“新时代好少年•红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了10%，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．
（1）原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
（2）该校实际共建设了多少间青少年党史“读书吧”？
【分析】（1）设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用是（1+10%）x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据＝间数，可得结论．
【解答】解：（1）设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为（1+10%）x元，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元；
（2）＝7，
答：该校实际共建设了7间青少年党史“读书吧”．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
24．（12分）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．

（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1：　（a+b）2　；
方法2：　a2+2ab+b2　；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．

【分析】（1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由题意得，a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，两个等式作差可求得此题结果；
（3）由题意得+a2﹣＝，从而可解得此题结果．
【解答】解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，
关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，
∴ab＝＝＝＝12；
（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：+a2﹣＝＝，
∴当a+b＝8，ab＝15时，
图3中阴影部分的面积为：＝＝．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用．
25．（12分）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．
（1）当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
（2）已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
（3）若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝　30　°；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）由CE平分∠ACD，得∠ACE＝60°，从而证明∠BAC＝∠ACE，则AB∥CE；
（2）首先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得AC＝CF，从而有BC＝CF，∠BFC＝∠CBF＝＝，代入即可得出答案；
（3）①根据角之间的转化可得∠AFB＝∠AFC﹣∠BFC＝∠CAP﹣∠BFC，代入化简即可；
②过C作CN⊥BF于N，得∠NCQ＝∠AFB＝30°，从而有QC＝2QN，QF＝2QP，由BN＝FN，得QB＝QF+2QN，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝120°，∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CE；
（2）解：如图，

∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP＝PF，
∴∠APC＝∠FPC＝90°，
又∵CP＝CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC＝CF，∠ACE＝∠ECF＝α，∠CAP＝∠CFP，
∴BC＝CF，
∴∠BFC＝∠CBF＝＝，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝＝60°﹣α；
（3）①∠AFB＝∠AFC﹣∠BFC
＝∠CAP﹣∠BFC
＝180°﹣∠CPA﹣∠ACE﹣∠BFC
＝90°﹣α﹣∠BFC
＝90°﹣α﹣（60°﹣α）
＝30°，
故答案为：30；
②QB＝2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ＝∠AFB＝30°，
∴QC＝2QN，QF＝2QP，
∵BC＝CF，
∴BN＝FN，
∴QB＝QF+2QN，
∴QB＝2QP+QC．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，平行线判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，利用角之间的转化是解题的关键．

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